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江西省九江市实验中学九年级数学下册《2.8.二次函数与一元二次方程》导学案


《2.8.二次函数与一元二次方程》导学案

【学习目标】 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 及满足什么条 件时方程有两个不等的实根,有两个相等的实根和没有实根. 【媒体使用】 【课前自学】 1.对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a , b , c 是常数, a ? 0)
2

(1)当这个方程有两个实数根的时, b ? 4ac _____0,
2

(2)方程 有一个实数根时, b ? 4ac _____0,
2

(3)方程没有实数根时, b ? 4ac _____0
2

2. 一元二次方程 根 的 判 别 式 根的个数 方程的根是

? ? b 2 ? 4ac

x 2 ? 2x ? 0
x 2 ? 2x ? 1 ? 0 x 2 ? 2x ? 2 ? 0
【学习过程】 【探究 1】 :

b 2 ? 4ac ____0 b 2 ? 4ac ____0 b 2 ? 4ac ____0

有_____个实数根. 有_____个实数根. 有_____个 实数根.

观察二次函数 y ? x ? 2 x , y ? x ? 2 x ? 1 , y ? x ? 2 x ? 2 的图象并回答下列 问题:
2 2 2

二次函数表达式

图象

图象与 x 轴的交点个数

与 x 轴的交点坐标是

y=x
y ? x ? 2x
2

+2x

y=x-2 x+1
1

y ? x 2 ? 2x ? 1

y ? x 2 ? 2x ? 2

y=x2x+2

思 考 : 1 ) 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 象 和 x 轴 交 点 个 数 与 一 元 二 次 方 程 (
2

ax2 ? bx ? c ? 0 的根的判别式 ? ? b 2 ? 4ac 有什么关系?
( 2 ) 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 象 和 x 轴 交 点 的 坐 标 与 一 元 二 次 方 程
2

ax2 ? bx ? c ? 0 的根有什么关系?
归纳: (1)当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=_____时
2

自变量 x 的值, 即一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根.
2

【探究 2】 : 二次函数 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的交点个数
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

图象和 x 轴交点的个数 两个交点 一个交点 没有交点

根的个数

根的判别式 ? ? b ? 4ac
2

2 (1)当 ? ? b ? 4ac _____0 时, y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有 0 个交点.
2

2 (2)当 ? ? b ? 4ac _____0 时, y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有 1 个交点.
2

2

2 (3)当 ? ? b ? 4ac _____0 时, y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有 2 个交点.
2

【自我巩固】 1.抛物线 y ? 2 x ? 6 x ? 3 与 x 轴有 ____个交点.
2

2.抛物线 y ? 2 x ? 8 x ? m 与 x 轴只有一个交点,则 m=
2 2

____________ .

3.二次函数 y ? kx ? 3x ? 4 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围 4 .求下列二次函数的图象与 x 轴的交点的坐标,并作草图: (1) y ? 0.5 x ? x ? 4
2

(2) y ? ?2 x ? 6 x ? 4
2

2 5.如图,已知抛物线 y ? x ? bx ? c 的对称轴

为 x ? 2 ,点 A ,B 均在抛物线上,且 AB 与 x 轴平行,其中 点 A 的坐标为(0,3) ,则点 B 的 坐标为 A. (2,3) B. (3,2) C. (3,3) D. (4,3)
2 6.二次函数 y ? x ? x ? 2 的图象如图所示,则函数值 y<0 时

x 的取值范围是( A.x<-1 C.-1<x<2

) B.x>2 D.x<-1 或 x>2

2 7. 如图,若二次函数 y ? ? x ? 2 x ? k 的部分图 象如图所示,则
2 关于 x 的一元二次方程 ? x ? 2 x ? k ? 0 的一个解 x1 ? 3 ,另一

个解 x 2 ?

【课内互动】

3

1.抛物线 y=x2-2x+3 与两坐标轴交 点的个数为

个.
2

2.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h(m)可以用公式 h ? ?4.9t ? 19.6t 来 表示。其中 t(s)表示足球被踢出后经过的时间. (1)作出函数 h ? ?4.9t ? 19.6t 的大致图象;
2

(2)当 t=1,t=2 时,足球的高度是多少? (3)方程 ? 4.9t ? 19.6t ? 0 、 14.7 ? ?4.9t ? 19.6t 的根的实际意义是 什么?
2 2

你能在图上表示吗?

3.(1)请在坐标系中画出二次函数 y ? x ? 2 x 的大致图象,
2

(2)当 y=1 时,找出 x 的值. (3) 一元二次方程 x ? 2 x ? 1 的根是什么?试把方程的根在图象上表示出来。
2

2 4.已知二次函数 y ? ? x ? bx ? c 的图象如图所示, 它与 x 轴的一个

交点坐标为(-1,0) ,与 y 轴的交点坐标为(0,3) 。 (1)求出 b,c 的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象, 写出函数值 y 为正数时, 自变量 x 的取值范围。

5.公园要建造一个如图 1 的圆形喷水池,在水池中央垂直于水 面安装一个花 形柱子 OA,O 恰在水面中心,OA=1.25 米,安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷 水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径 如图 2 所示.为使水流形状较为漂亮,设计成水流在与 OA 水平距离为 1 米时,达到距水面

4

最 大高度 2.25 米(不计其他因素) . (1)在如图 2 的直角坐标系中,求 y 轴两侧抛物线的解析式; (2)请你通过计算回答水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?

5


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