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大学高中数学公式大全



数学公式大全
常见公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tan

AtanB) 倍 角 公 式

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) tan2A=2tanA/(1-tan2A) 半角公式 ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a cos(A/2)=√((1+cosA)/2) 和 差 化 积

cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 某些数列前 n 项和 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 正 弦 定 理

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 b^2=a^2+c^2-2accosB (注: B 是边 a 和边 c 的夹角) 角 (a,b) 是圆心坐标) 标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py S=c'*h S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球 的 表 面 积 S=4pi*r2 S=1/2*c*l=π*r*l

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ( 注 : 其 中 R 表 示 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 ) 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (注: D^2+E^2-4F>0)

余弦定理 抛物线

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (注: 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 圆台侧面积 圆 柱 侧 面 积 S=c*h=2π*h 圆 锥 侧 面 积 斜棱柱体积 V=S'L 注:其

正 棱 锥 侧 面 积 S=1/2c*h' 正 棱 台 侧 面 积 S=1/2(c+c')h'

弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r^2h

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 中,S'是直截面面积, L 是侧棱长

基本公式
(1)抛物线
y = ax^2 + bx + c(a≠0) 就是 y 等于 a 乘以 x 的平方加上 b 乘以 x 再加上 c 置 于平面直角坐标系中 a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 (a=0 时为一元一次 函数) c>0 时函数图像与 y 轴正方向相交 c< 0 时函数图像与 y 轴负方向相交 c
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= 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴 (当然 a=0 且 b≠0 时该函数为 一次函数) 还有顶点公式 y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)) 就是 y 等于 a 乘以 (x+h) 的平方+k -h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 一般用于求 最大值与最小值和对称轴 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在 x 的正 半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为 x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有 标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

(2)圆
球 体 积 = ( 4/3 ) π(r^3) 面 积 =π(r^2) 周 长 =2πr =πd 圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注: (a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注: D^2+E^2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 按标准椭圆方程:长半轴 a,短半轴 b 设 λ= (a-b) (a+b) / 椭圆周长 L=π a+b) 1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......) ( ( 简化:L≈π[1.5(a+b)- sqrt(ab)] 或 L≈π(a+b) (64 - 3λ^4)/(64 - 16λ^2) (二)椭 圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理: 椭圆的面积等于圆周率 (π) 乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有 出现椭圆周率 T,但这两个公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭球物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*π*高

(3)三角函数
和 差 角 公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ; sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA ; cos(A+B)=cosAcosB sinAsinB ; cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB ; tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ; tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ; cot(A+B)=(cosAcotB-1)/(cosB+cotA) ;cot(A-B)=(cosAcotB+1)/(cosB-cotA) ; 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan^2A) ; cot2A=(cot^2A-1)/2cota ; cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a ; sin2A=2sinAcosA=2/(tanA+cotA); 另: sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 ; cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以 及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 ; tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0; 四倍角公式: sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五 倍 角 公 式 : sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六 倍 角 公 式 : sin6A=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式: sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八 倍 角 公 式 : sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角公式: sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tan

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A^6+9*tanA^8) 十 倍 角 公 式 : sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4 +210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半 角 公 式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和 差 化 积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) ; 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ; 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) ; -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) ; sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 ; cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) ; tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB ; tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ; cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB ; -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB ; 降 幂 公 式 sin&sup2;(A)=(1-cos(2A))/2=versin(2A)/2 ; cos&sup2;(α)=(1+cos(2A))/2=covers(2A)/2 ; tan&sup2;(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A)); 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹 角 诱导公式 公式一: 弧 度 制 下的角的表示: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot (2kπ+α)=cotα (k∈Z) sec(2kπ+α)=secα (k∈Z) csc(2kπ+α)=cscα (k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (α+k·360° )=sinα(k∈Z) cos(α+k·360°) =cosα (k∈Z) tan (α+k·360°)=tanα (k∈Z) cot α+k·360°) ( =cotα (k∈Z) sec (α+k·360°)=secα (k∈Z) csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z) 公式二: 弧 度制下的角的表示: sin(π+α)=-sinα (k∈Z) cos(π+α)=-cosα(k∈Z) tan(π+α)=tanα(k∈Z) cot(π+α)=cotα(k∈Z) sec(π+α)=-secα(k∈Z) csc (π+α) =-cscα (k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (180°+α) =-sinα (k∈Z) cos(180°+α)=-cosα(k∈Z) tan(180°+α)=tanα(k∈Z) cot(180°+α)= cotα (k∈Z) sec (180°+α) =-secα (k∈Z) csc (180°+α) =-cscα (k∈Z) 公 式三: sin(-α)=-sinα(k∈Z) cos(-α)=cosα(k∈Z) tan(-α) =-tanα(k∈Z) cot(-α)=-cotα(k∈Z) sec(-α)=secα(k∈Z) csc -α)=-cscα(k∈Z) 公式四: 弧度制下的角的表示: sin(π-α)=sinα (k∈Z) cos(π-α)=-cosα(k∈Z) tan(π-α)=-tanα(k∈Z) cot (π-α)=-cotα(k∈Z) sec(π-α)=-secα(k∈Z) cot(π-α)=cscα(k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (180° -α) =sinα (k∈Z) cos 180° ( -α) =-cosα (k∈Z) tan(180° -α)=-tanα(k∈Z) cot(180° -α)=-cotα(k∈Z) sec(180° -α) =-secα(k∈Z) csc(180° -α)=cscα(k∈Z) 公式五: 弧度制下的角的 表示: sin(2π-α)=-sinα(k∈Z) cos(2π-α)=cosα(k∈Z) tan(2π -α)=-tanα(k∈Z) cot(2π-α)=-cotα(k∈Z) sec(2π-α)=secα(k∈Z) csc (2π-α) =-cscα (k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (360° -α) =-sinα (k∈Z) cos(360° -α)=cosα(k∈Z) tan(360° -α)=-tanα(k∈Z) cot(360° -α) =-cotα(k∈Z) sec(360° -α)=secα(k∈Z) csc(360° -α)=-cscα(k∈Z) 公式六: 弧度制下的角的表示: sin(π/2+α)=cosα(k∈Z) cos(π/2+α) =—sinα(k∈Z) tan(π/2+α)=-cotα(k∈Z) cot(π/2+α)=-tanα(k∈Z) sec(π/2+α)=-cscα(k∈Z) csc(π/2+α)=secα(k∈Z) 角度制下的角的表

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示: sin(90° +α)=cosα(k∈Z) cos(90° +α)=-sinα(k∈Z) tan(90° +α)=-cotα(k∈Z) cot(90° +α)=-tanα(k∈Z) sec(90° +α)=-cscα (k∈Z) csc(90° +α)=secα(k∈Z) ⒉ 弧度制下的角的表示: sin (π/2-α) =cosα (k∈Z) cos (π/2-α) =sinα (k∈Z) tan (π/2-α) =cotα (k∈Z) cot(π/2-α)=tanα(k∈Z) sec(π/2-α)=cscα(k∈Z) csc(π/2-α)=secα (k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (90° -α)=cosα(k∈Z) cos (90° -α)= sinα(k∈Z) tan (90° -α)=cotα(k∈Z) cot (90° -α)=tanα(k∈Z) sec (90° -α)=cscα(k∈Z) csc (90° -α)=secα(k∈Z) 3 弧度制下的角的表示: sin(3π/2+α)=-cosα(k∈Z) cos(3π/2+α)=sinα(k∈Z) tan(3π/2+α)= -cotα (k∈Z) cot 3π/2+α) ( =-tanα (k∈Z) sec 3π/2+α) ( =cscα (k∈Z) csc (3π/2+α) =-secα (k∈Z) 角度制下的角的表示: sin (270° +α) =-cosα (k∈Z) cos(270° +α)=sinα(k∈Z) tan(270° +α)=-cotα(k∈Z) cot(270° +α) =-tanα(k∈Z) sec(270° +α)=cscα(k∈Z) csc(270° +α)=-secα(k∈Z) 4 弧度制下的角的表示: sin(3π/2-α)=-cosα(k∈Z) cos(3π/2-α)= -sinα (k∈Z) tan (3π/2-α) =cotα (k∈Z) cot 3π/2-α) ( =tanα (k∈Z) sec (3π/2-α)=-secα(k∈Z) csc(3π/2-α)=-secα(k∈Z) 角度制下的角的 表示: sin(270° -α)=-cosα(k∈Z) cos(270° -α)=-sinα(k∈Z) tan (270° -α)=cotα(k∈Z) cot(270° -α)=tanα(k∈Z) sec(270° -α)=-cscα (k∈Z) csc(270° -α)=-secα(k∈Z)

(4)反三角函数
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx (-x)=π-arccotx arc sin x+arc cos x=π/2 arc tan x+arc cot x=π/2 arccot

(5)数列
等差数列通项公式:an﹦a1﹢(n-1)d 等差数列前 n 项和:Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2 等比数列通项公式:an=a1*q^(n-1) ; 等比数列前 n 项和: Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n (n≠1) 某些数列前 n 项和: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n^2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

(6)乘法与因式分解
因 式 分 解 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3± 3a^2b+3ab^2± b^3=(a± b)^3 过来就是乘法公式 a^2-b^2=(a+b)(a-b) 乘法公式 a^2± 2ab+b^2=(a± b)^2 a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 把上面的因式分解公式左边和右边颠倒

(7)三角不等式
-|a|≤a≤|a| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a|≤b<=>-b≤a≤b |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| |z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1-z2-...-zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1+z2+...+zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn| |z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1±z2±...±zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|
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(8)一元二次方程
一元二次方程的解 wx1= -b+√(b^2-4ac)/2a x2= -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系(韦 达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a 判别式△ = b^2-4ac=0 则方 d 程有相等的个实根 △ >0 则方程有两个不相等的两实根 △ <0 则方程有两共轭复数根 d(没有实根)

对数基本性质
如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: 1、a^log(a)(b)=b 2、log(a)(a)=1 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4 、 log(a)(M÷ N)=log(a)(M)-log(a)(N); log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n 3、 5 、

公式分类
公式表达式 圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注: (a,b)是圆心坐标 圆的一 般 方 程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注 : △ =D^2+E^2-4F>0 抛 物 线 标 准 方 程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c' *h 正棱锥侧 面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表 面积 S=4π*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥 体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r2h 图形周长 面积 体积公式 长方形的周长= (长+宽)× c =2〔a+b〕 2 正方形的周长=边长× c=4a 4 长方形的面积=长× s=ab 宽 正方形的面积=边长× 边长 s=a2 三角形的面积=底× 2 高÷ 已知三角形底 a,高 h,则 S=ah/2 已知三角形三边 a,b,c,半周长 p,则 S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦秦九韶 公式) (p= (a+b+c)/2) 和: (a+b+c)*(a+b-c)*1/4 已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C,则 S=absinC/2 设三角形三边分别为 a、b、c,内切圆半径为 r 则三角形面积 =(a+b+c)r/2 设三角形三边分别为 a、b、c,外接圆半径为 r 则三角形面积=abc/4r 已知三角形三边 a、 c,则 S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶) b、 注: 秦九韶公式与海伦公式等价 |ab1| S△ =1/2 * | c d 1 | |ef1| 【| a b 1| | c d 1| 为三阶行列式,此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 | e f 1 | ABC 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值, 如 果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形 面 积 的 大 小 !】 秦 九 韶 三 角 形 中 线 面 积 公 式 : S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中 Ma,Mb,Mc 为三角 形的中线长. 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷ 2 直 径=d=2r 圆的周长=πd= 2πr 圆的面积= πr^2 长方体的表面积= (长× 宽+宽× 高+高× 长)× s=2〔ab+bc+ca〕 2 长方体的体积 =长× 高 v=abc 宽× 正 方体的表面积=棱长×棱长× s=6a^2 6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 v=a^3 圆柱 的侧面积=底面圆的周长×高 s=ch 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 s=2╥r^2 圆柱的体积=底面积× v=sh 高 圆锥的体积=底面积× 3 v=sh÷ 高÷ 3 柱体体积=底面积 ×高 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a—边长 C=4a S=a^2 长方形 a 和 b-边长 C=2(a+b) S=ab 三角形 a,b,c-三边长 其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2 h-a 边上的高 =ab/2× sinC s-周长的一半 =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 A,B,C-内角 = a^2sinBsinC/(2sinA)

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概率公式
某事件 A 是有 B,C,D 三种 因素造成的,求这一事件发生的概率 p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D) 其 中 p(A/B)叫条件概率,即:在 B 发生的情况下,A 发生的概率 伯努力公式 是用 以求某事件已经发生,求其是哪种因素的概率造成的 好以上例中已知 A 事件发生了, 用柏努力公式可以求得是 B 因素造成的概率是多大,C 因素,D 因素同样也求. 古典 概型 P(A)=A 包含的基本事件数/基本事件总数 几何概型 P(A)=A 面积/总的面积 条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB 包含的基本事件数/B 包含的基本事件数 概 率的性质 性质1.P(Φ)=0. 性质2(有限可加性) .当 n 个事件 A1,…,An 两两 互不相容时: P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An). 性质3.对于任意一个事件 A: P(A)=1-P(非 A). 性质4.当事件 A,B 满足 A 包含于 B 时:P(BnA)=P(B)-P(A), P(A)≤P(B). 性质5.对于任意一个事件 A,P(A)≤1. 性质6.对任意两个事件 A 和 B , P(B-A)=P(B)-P(AB) . 性质7(加法公式) 对任意两个事件 A 和 B, . P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

定义 :p(A)=m/n,

全概率公式 (贝页斯公式 )

几何公理
线 角
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外 一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且 只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互 相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内 角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补

三角形(三角形具有稳定性)
15 定理 三角形任意两边的和大于第三边 16 推论 三角形任意两边的差小于第三 边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的 两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、 对 应角相等 22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 25 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等 26 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等 27 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点, 在这个角的平分线上 28 角的平分 线是到角的两边距离相等的所有点的集合 29 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两 个底角相等 (即等边对等角) 30 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于 底边 31 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 32 推论 3 等边三角形的各角都相等, 并且每一个角都等于 60° 33 等腰三角形的判定定理 如果 一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 34 推论 1 三 个角都相等的三角形是等边三角形 35 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边

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三角形 36 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一 半 37 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 38 定理 线段垂直平分线上的 点和这条线段两个端点的距离相等 39 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上 40 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有 点的集合 41 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 42 定理 2 如果两个 图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直 线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 43 逆定理 如果两个 图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 44 勾股 定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 45 勾 股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直 角三角形

四边形(四边形具有不稳定性)
46 定理 四边形的内角和等于 360° 47 四边形的外角和等于 360° 48 多边形内 角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)× 180° 49 推论 任意多边的外角和等于 360° 50 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 51 平行四边形性质定理 2 平行四边 形的对边相等 52 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 53 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 54 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形 是平行四边形 55 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 56 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定 理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 58 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直 角 59 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 60 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四 边形是矩形 61 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 62 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 63 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线 平分一组对角 64 菱形面积=对角线乘积的一半,即 s=(a× b)÷ 2 65 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 66 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 67 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角, 四条边都相等 68 正方形性质定理 2 正 方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 69 定理 1 关于 中心对称的两个图形是全等的 70 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过 对称中心,并且被对称中心平分 71 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点, 并且被这一点平分, 那么这两个图形关于这一点对称 72 等腰梯形性质定理 等腰梯形在 同一底上的两个角相等 73 等腰梯形的两条对角线相等 74 等腰梯形判定定理 在同 一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 75 对角线相等的梯形是等腰梯形 76 平行 线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的 线段也相等 77 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线, 必平分另一腰 78 推 论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线, 必平分第三边 79 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 80 梯形中位线定理 梯形的中位线 平行于两底,并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷ s=l× 2 h 81 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 82 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a± b) /b=(c± d)/d 83 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m) /(b+d+…+n)=a/b 84 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 85 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的 对应线段成比例 86 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对 应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 87 平行于三角形的一边,并且和

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其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 88 定理 平 行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相 似 89 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(asa) 90 直角三角 形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 91 判定定理 2 两边对应成比 例且夹角相等,两三角形相似(sas) 92 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似 (sss) 93 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边 和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似 94 性质定理 1 相似三角形对应 高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 95 性质定理 2 相似三角形周 长的比等于相似比 96 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 97 任意 锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 98 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值


99 圆是定点的距离等于定长的点的集合 100 圆的内部可以看作是圆心的距离小于 半径的点的集合 101 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 103 同 圆或等圆的半径相等 104 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为 半径的圆 105 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 106 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 107 到两条平行线距离相 等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 108 定理 不在同一直线 上的三点确定一个圆。 109 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两 条弧 110 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 111 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 112 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 113 定理 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所 对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 114 推论 在同圆或等圆中,如果 两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量 都相等 115 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 116 推论 1 同弧 或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等 117 推论 2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弦是直径 118 推论 3 如果三角 形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 119 定理 圆的内接四 边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 120①直线 l 和⊙o 相交 d﹤r ②直线 l 和⊙o 相切 d=r ③直线 l 和⊙o 相离 d﹥r 121 切线的判定定理 经过半径 的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 122 切线的性质定理 圆的切线垂直于经 过切点的半径 123 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 124 推论 2 经 过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 125 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 126 圆的外切四边形的两 组对边的和相等 127 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 128 推论 如 果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 129 相交弦定理 圆内的两条相 交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 130 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的 一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 131 切割线定理 从圆外一点引圆的 切线和割线, 切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 132 推论 从 圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 133 如 果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 134①两圆外离 d﹥r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r) ④两圆内切 d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含 d﹤r-r(r﹥r) 135

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定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 136 定理 把圆分成 n(n≥3): ?依次 连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ?经过各分点作圆的切线,以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 137 定理 任何正多边形都有一个 外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 138 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)× 180° /n 139 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 149 正 n 边形的面积 sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 141 正三角形面积√3a&sup2;/4( a 表示边长) 142 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360° ,因此 k× (n-2)180° /n=360° 化为(n-2)(k-2)=4 143 弧长计算公式 :l=nπr/180 144 扇形面积公式: 扇形=nπr2/360=lr/2 s 145 内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 146 等腰三角形的两个底脚相等 147 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高相互重合 148 如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 149 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 150 两边的平方的和等于第三边的三角形是 直角三角形

数学归纳法
(—)第一数学归纳法: 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,有如下步骤: (1)证明当 n 取第一个值时命题成立; (2)假设当 n=k(k≥n 的第一个值,k 为自 然数)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 (二)第二数学归纳法: 第二 数学归纳法原理是设有一个与自然数 n 有关的命题,如果: (1)当 n=1 回时,命题 成立; (2)假设当 n≤k 时命题成立,则当 n=k+1 时,命题也成立。 那么,命题 对于一切自然数 n 来说都成立。 (三)螺旋归纳法: 螺旋归纳法是归纳法的一种 变式,其结构如下: Pi 和 Qi 是两组命题,如果: P1 成立 Pi 成立=>Qi 成立 那么 Pi,Qi 对所有自然数 i 成立 利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的

排列,组合
· 阶乘: n!=1×2×3×……×n, 为不小于 0 的整数) (n 规定 0!=1。 · 排列 从 n 个不同元素中取 m 个元素的所有排列个数, A(n,m)= n!/(n - m)! (m 是上 标,n 是下标,都是不小于 0 的整数,且 m≤n) · · 组合 从 n 个不同的元素里,每次 取出 m 个元素,不管以怎样的顺序并成一组,均称为组合。所有不同组合的种数 C(n, m)= A(n,m)/m!=n!/[m!· (n-m)] (m 是上标,n 是下标,都是不小于 0 的整 ! 数, m≤n) 且 ◆组合数的性质: C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1); 对组合数 C(n,k), 将 n,k 分别化为二进制,若某二进制位对应的 n 为 0,而 k 为 1 ,则 C(n,k)为偶数;否则为 奇 数 ◆ 整 次 数 二 项 式 定 理 ( binomial theorem ) (a+b)^n=C(n,0)× a^n× b^0+C(n,1)× a^(n-1)× b+C(n,2)× a^(n-2)× b^2+...+C(n,n)× a^0× b^n 所 以 , 有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n) =C(n,0)× 1^n+C(n,1)× 1^(n-1)× 1+C(n,2)× 1^(n-2)× 1^2+...+C(n,n)× =(1+1)^n 1^n = 2^n

微积分学
极限的定义:
设函数 f(x)在点 x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数 A,对于任意给定的正数 ε (无论它多么小) ,总存在正数 δ ,使得当 x 满足不等式 0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值 f(x) 都满足不等式: |f(x)-A|<ε 那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 x→x。时的极限 几
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个常用数列的极限: 小于 1 极限为 0

an=c 常数列 极限为 c

an=1/n 极限为 0

an=x^n 绝对值 x

导数:
定 义: f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx 几种 常见 函数 的导 数公 式: ① C'=0(C 为常数函数); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx; ④ (cosx)' = - sinx; ⑤ (e^x)' = e^x; ⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina (ln 为自然对数) ⑦ (Inx)' = 1/x ( ln 为自 然对 数 X>0 ) ⑧ (log a x)'=1/(xlna) ,(a>0 且 a 不等 于 1) ⑨(sinh(x))'=cosh(x) ⑩(cosh(x))'=sinh(x) (tanh(x))'=sech^2(x) (coth(x))'=-csch^2(x) (sech(x))'=-sech(x)tanh(x) (csch(x))'=-csch(x)coth(x) (arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1) (arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1) (arctanh(x))'=1/(1+x^2) (|x|<1) (arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1) (chx)?=shx, (ch 为双曲余弦函数) (shx) '=chx: ( sh 为 双 曲 正 弦 函 数 ) (3)导数的四则运算法则: ①(u± v)'=u'± v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 (4) 复合函数的导数 复合函数对自变量 的导数, 等于已知函数对中间变量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数 (链式法则) : d f[u(x)]/dx=(d f/du)*(du/dx) 。 [∫(上限 h(x) ,下限 g(x) f(x)dx]?=f[h(x)]· ) h' (x)- f[g(x)]· (x) g' 洛必达法则(L'Hospital): 是在一定条件下通过分子分母分 别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当 x→a 时, 函数 f(x)及 F(x)都趋于 零; (2)在点 a 的去心邻域内, f'(x)及 F'(x)都存在且 F'(x)≠0; (3)当 x→a 时 lim f'(x)/F'(x) 存在(或为无穷大), 那么 x→a 时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当 x→∞ 时,函数 f(x)及 F(x)都趋于零; (2)当|x|>N 时 f'(x)及 F'(x)都存在,且 F'(x)≠0; (3) 当 x→∞时 lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ①在着手 求极限以前,首先要检查是否满足 0/0 或∞/∞型,否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时 (不包括∞情形) ,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限。比 如利用泰勒公式求解。 ②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。 ③洛 必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因 此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因 子用等价量替换等。

曲率
K = lim(Δs→0) |Δα/Δs| 率半径 R=1/K; 当曲线 y=f(x)存在二阶导数时,K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2); 曲

不定积分
设 F(x)是函数 f(x)的一个原函数,我们把函数 f(x)的所有原函数 F(x)+C(C 为任意常数) 叫做函数 f(x)的不定积分。 记作∫f(x)dx。 其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对 这个函数进行积分。 由定义可知: 求函数 f(x)的不定积分,就是要求出 f(x)的所 有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数 f(x)的一个原函数,再加上任意的常数 C, 就得到函数 f(x)的不定积分。 也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原 函数. · 基本公式: 1)∫0dx=c; ∫a dx=ax+c; 2)∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c; 3)∫1/xdx=ln|x|+c 4))∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5)∫e^xdx=e^x+c 6)∫sinxdx=-cosx+c 7)∫cosxdx=sinx+c 8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10)∫1/√
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( 1-x^2) dx=arcsinx+c 11 ) ∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12 ) ∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c; 13 ) ∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14 ) ∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15)∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c; 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; · 分部积分法: ∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx. ☆一元函数泰勒公式(Taylor's formula) 泰勒中值定理:若 f(x)在开区 间(a,b)有直到 n+1 阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x0)多项式 和 一 个 余 项 的 和 : f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f 的 n 阶 导 数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn 其中 Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项,这 里 ξ 在 x 和 x0 之间。

定积分
形式为∫f(x) dx (上限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积 分后得出的值是确定的, 是一个数, 而不是一个函数。 牛顿-莱布尼兹公式: F'(x)=f(x), 若 那么∫f(x) dx (上限 a 下限 b)=F(a)-F(b) 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积 分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

微分方程
凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。 如果 在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程 特征 根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。 如 二阶常系数齐次线性微分方程 y''+py'+qy=0 的通解: 设特征方程 r*r+p*r+q=0 两根为 r1,r2。 1 若实根 r1 不等于 r2 y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x). 2 若实根 r=r1=r2 y=(C1+C2x)*e^(rx) 3 若 有一对共轭复根 r1, 2=λ± ib: y=e^ λx) cos ( · [C1· (bx) C2· (bx) + sin ] 普通分类 两 点成一线,多线成面, 多面成体,多体成界,多界成

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导数公式:
( tgx ) ? ? sec
2

x
2

(arcsin x ) ? ?

1 1? x 1 1? x
2 2 2

( ctgx ) ? ? ? csc

x
(arccos x ) ? ? ? ( arctgx ) ? ? 1 1? x 1

(sec x ) ? ? sec x ? tgx (csc x ) ? ? ? csc x ? ctgx ( a ) ? ? a ln a
x x

(log

a

x )? ?

1 x ln a

( arcctgx ) ? ? ?

1? x

2

基本积分表:

? tgxdx ? ctgxdx ? csc ?a ?x ?a ?
2

? ? ln cos x ? C ? ln sin x ? C

? cos ? sin

dx
2

? x ? x

? sec ? csc

2

xdx ? tgx ? C xdx ? ? ctgx ? C

dx
2

2

? sec xdx ? ln sec x ? tgx ? C
xdx ? ln csc x ? ctgx ? C ? ? ? 1 a 1 2a 1 2a
2

? sec ? csc ?a
x

x ? tgx dx ? sec x ? C x ? ctgxdx ? ? csc x ? C a
x

dx ? x dx
2 2

arctg

x a

?C ?C ?C

?a dx ?x dx
2

2

ln

x?a x?a a? x a?x x a

dx ?

?C

ln a ? chx ? C ? shx ? C ? ln( x ?
2

? shxdx ? chxdx ?
dx
2

2

2

ln

a ?x

? arcsin

?C

x ?a

x ?a )?C
2 2

?
2

?
2 n

In ?

? sin
0 2

xdx ? ? cos
0

n

xdx ?

n ?1 n

I n?2 x ?a )?C
2 2

? ? ?
2u 1? u
2

x ? a dx ?
2

x 2

x ?a
2

2

? ?

a

2

ln( x ?
2

2 x ?a
2 2 2

x ? a dx ?
2 2

x 2

a

ln x ?
2

x ?a
2

2

?C

2 a ?x ?
2

a ? x dx ?
2 2

x 2

a

arcsin

x a

?C

2

三角函数的有理式积分:
sin x ? ,  x ? cos 1? u 1? u
2 2

,  u ? tg

x 2

,  dx ?

2 du 1? u
2

一些初等函数:

两个重要极限:
12 / 40

双曲正弦 双曲余弦 双曲正切

: shx ? : chx ? : thx ?

e ?e
x

?x

lim
?x

sin x x 1 x

2 e ?e
x

x? 0

?1 ) ? e ? 2 . 7182818284
x

lim (1 ?
x? ?
?x ?x

59045 ...

2 shx chx arshx ? ln( x ? archx ? ? ln( x ? arthx ? 1 2 ln 1? x 1? x x ? 1)
2

?

e ?e
x

e ?e
x

x ? 1)
2

三角函数公式: ·诱导公式: 函数 角A -α 90° -α 90° +α 180° -α 180° +α 270° -α 270° +α 360° -α 360° +α ·和差角公式:
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tg (? ? ? ) ? tg ? ? tg ? 1 ? tg ? ? tg ? ctg ? ? ctg ? ? 1 ctg ? ? ctg ?
sin ? ? sin ? ? 2 cos cos ? ? cos ? ? 2 cos cos ? ? cos ? ? 2 sin

sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα

cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα

tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα

ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα

·和差化积公式:
sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos sin

? ??
2

? ??
2

? ??
2

? ??
2

cos sin

? ??
2

ctg (? ? ? ) ?

? ??
2

? ??
2

13 / 40

·倍角公式:
sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? sin ?
2 2 2 2

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ?
3

ctg 2? ? tg 2? ?

ctg ? ? 1
2

cos 3? ? 4 cos ? ? 3 cos ?
3

2 ctg ? 2 tg ?
2

tg 3? ?

3 tg ? ? tg ?
3

1 ? 3 tg ?
2

1 ? tg ?

·半角公式:
sin

?
2

?? ??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?

           1 ? cos ? sin ? sin ? 1 ? cos ?

   cos

?
2

?? ??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? ? sin ? 1 ? cos ?

tg

?
2

?

?

   ctg

?
2

·正弦定理:

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2R

·余弦定理: c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2

·反三角函数性质: arcsin x ?

?
2

? arccos x     arctgx ?

?
2

? arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
( uv ) ?u
(n)

?

?C
k ?0

n

k n

u

(n?k )

v

(k )

(n)

v ? nu

( n ?1 )

v? ?

n ( n ? 1) 2!

u

(n?2)

v ?? ? ? ?

n ( n ? 1) ? ( n ? k ? 1 ) k!

u

(n?k )

v

(k )

? ? ? uv

(n)

中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理: 柯西中值定理: f ( b ) ? f ( a ) ? f ? (? )( b ? a ) ? f ? (? ) F ? (? ) 拉格朗日中值定理。

f (b ) ? f ( a ) F (b ) ? F ( a )

当 F ( x ) ? x 时,柯西中值定理就是

曲率:

14 / 40

弧微分公式: 平均曲率: K ?

ds ? ?? ?s

1 ? y ? dx , 其中 y ? ? tg ?
2

.? ? : 从 M 点到 M ?点,切线斜率的倾角变 ?? ?s d? ds y ?? (1 ? y ? )
2

化量; ? s : M M ?弧长。

M 点的曲率: 直线: K ? 0 ;

K ? lim

?s? 0

?

?

.
3

半径为 a 的圆: K ?

1 a

.

定积分的近似计算:
b

矩形法: ? f ( x ) ?
a b

b?a n

( y 0 ? y 1 ? ? ? y n ?1 )

梯形法: ? f ( x ) ?
a b

b?a 1 [ ( y 0 ? y n ) ? y 1 ? ? ? y n ?1 ] n 2 b?a 3n [( y 0 ? y n ) ? 2 ( y 2 ? y 4 ? ? ? y n ? 2 ) ? 4 ( y 1 ? y 3 ? ? ? y n ?1 )]

抛物线法:

?
a

f (x) ?

定积分应用相关公式:
功: W ? F ? s 水压力: F ? p ? A 引力: F ? k m1m 2 r
2

, k 为引力系数 1 b?a
b

函数的平均值: y ?
b

?
a

f ( x ) dx

均方根:

? b?a
a

1

f ( t ) dt

2

空间解析几何和向量代数:

15 / 40

2

d ? M 1M

2

?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 )
2 2

2

Pr j u AB ? AB ? cos ? , ? AB u v v v v Pr j u ( a 1 ? a 2 ) ? Pr j a 1 ? Pr j a 2 v v v v a ? b ? a ? b cos ? ? a x b x ? a y b y ? a z b z , cos ? ?
2

,

a xbx ? a yb y ? a zbz ax ? ay ? az ?
2 2

bx ? by ? bz

2

2

2

i v v v c ? a ? b ? ax bx

j ay by

v v v a z , c ? a ? b sin ? . bz ay by cy az

k

v v v v ? w? r.

ax v vv v v v [a b c ] ? (a ? b ) ? c ? bx cx

v v v b z ? a ? b ? c cos ? , ? cz

平面的方程: 1、点法式: ? A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0,其中 n ? { A , B , C }, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) Ax ? By ? Cz ? D ? 0 x a 平面外任意一点到该平 ? y b ? z c 面的距离: d ? Ax 0 ? By
2 0

2、一般方程: 3、截距世方程:

?1 ? Cz
2 0

?D
2

A ?B ?C

空间直线的方程:

x ? x0 m

?

y ? y0 n

?

z ? z0 p

? x ? x 0 ? mt ? ? ? t , 其中 s ? { m , n , p }; 参数方程: ? y ? y 0 ? nt ? z ? z ? pt 0 ?

二次曲面: 1、椭球面: 2、抛物面: 3、双曲面: 单叶双曲面: 双叶双曲面: x a x a
2 2 2 2

x a

2 2 2

? ?

y b

2 2 2

?

z c

2 2

?1

x

y

? z( p , q 同号) ,

2p

2q

? ?

y b y b

2 2 2 2

? ?

z c z c

2 2 2 2

?1 ? (马鞍面) 1

16 / 40

多元函数微分法及应用
全微分: dz ? ?z ?x dx ? ?z ?y dy     du ? ?u ?x dx ? ?u ?y dy ? ?u ?z dz

全微分的近似计算: 多元复合函数的求导法

? z ? dz ? f x ( x , y ) ? x ? f y ( x , y ) ? y :

dz ?z ?u ?z ?v z ? f [ u ( t ), v ( t )]     ? ? ? ?   dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z ? f [ u ( x , y ), v ( x , y )]     ?   ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x 当 u ? u ( x , y ), v ? v ( x , y )时, du ? ?u ?x dx ? ?u ?y dy     dv ? ?v ?x dx ? ?v ?y dy  

隐函数的求导公式: F F F dy d y ? ? dy 隐函数 F ( x , y ) ? 0,   ? ? x ,   2 ? ( ? x )+ (? x ) ? dx Fy ?x Fy ?y F y dx dx
2

Fy F ?z ?z 隐函数 F ( x , y , z ) ? 0,  ? ? x ,   ? ? ?x Fz ?y Fz

?F ? F ( x, y,u , v) ? 0 ?(F ,G ) 隐函数方程组: ?     J ? ? ?u ?G G ( x, y,u , v) ? 0 ? (u , v ) ? ?u ?u ?x ?u ?y ?? ?? 1 ?(F ,G ) ?v 1 ?(F ,G ) ?      ?? ? J ? ( x, v) ?x J ? (u , x ) 1 ?(F ,G ) ?v 1 ?(F ,G ) ?      ?? ? J ?( y,v) ?y J ? (u , y )

?F ? v ? Fu ?G Gu ?v Fv Gv

微分法在几何上的应用:
? x ? ? (t ) x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? 空间曲线 ? y ? ? ( t ) 在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切线方程: ? ? ? ?( t 0 ) ? ?( t 0 ) ? ?( t 0 ) ? z ? ? (t ) ? 在点 M 处的法平面方程: 若空间曲线方程为:

? ? ( t 0 )( x ? x 0 ) ? ? ? ( t 0 )( y ? y 0 ) ? ? ? ( t 0 )( z ? z 0 ) ? 0
Fz G
z

? F ( x, y, z ) ? 0 ? Fy ? , 则切向量 T ? { ? Gy ?G ( x, y , z ) ? 0 ?

,

Fz Gz

Fx G
x

,

Fx Gx

Fy G
y

}

曲面 F ( x , y , z ) ? 0 上一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ),则: ? 1、过此点的法向量: n ? { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ), F y ( x 0 , y 0 , z 0 ), F z ( x 0 , y 0 , z 0 )} 2、过此点的切平面方程 3、过此点的法线方程: : F x ( x 0 , y 0 , z 0 )( x ? x 0 ) ? F y ( x 0 , y 0 , z 0 )( y ? y 0 ) ? F z ( x 0 , y 0 , z 0 )( z ? z 0 ) ? 0 x ? x0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ? y ? y0 Fy ( x0 , y0 , z0 ) ? z ? z0 Fz ( x0 , y0 , z0 )

17 / 40

方向导数与梯度:
函数 z ? f ( x , y ) 在一点 p ( x , y ) 沿任一方向 其中 ? 为 x 轴到方向 l 的转角。 函数 z ? f ( x , y ) 在一点 p ( x , y )的梯度: grad f ( x , y ) ? 它与方向导数的关系是 单位向量。 ? ?f ?l 是 grad f ( x , y ) 在 l 上的投影。 ?f ? ?f ? i ? j ?x ?y l 的方向导数为: ?f ?l ? ?f ?x cos ? ? ?f ?y sin ?

? ? ?f ? ? : ? grad f ( x , y ) ? e ,其中 e ? cos ? ? i ? sin ? ? j ,为 l 方向上的 ?l

多元函数的极值及其求法:
设 f x ( x 0 , y 0 ) ? f y ( x 0 , y 0 ) ? 0,令: f xx ( x 0 , y 0 ) ? A ,   f xy ( x 0 , y 0 ) ? B ,   f yy ( x 0 , y 0 ) ? C ? ? A ? 0 , ( x 0 , y 0 )为极大值 2 ? ? AC ? B ? 0时, ? A ? 0 , ( x 0 , y 0 )为极小值 ? ? 2 则: AC ? B ? 0时,      无极 值 ? 2 ? AC ? B ? 0时 ,        不确定 ? ? ?

重积分及其应用:

??
D

f ( x , y ) dxdy ?

??

f ( r cos ? , r sin ? ) rdrd ? ? ?z ? ?z ? 1? ? ? ?? ? ? ?x ? ? ?y
2

D?

曲面 z ? f ( x , y )的面积 A ?

??
D x

? ? dxdy ? ? M M

2

平面薄片的重心:

x ?

M M

??
?
D

x? ( x, y )d?

??
y

y? ( x, y )d?

??
D

? ( x, y )d?

,    y ?

?

D

?? ? ( x , y ) d ?
D

平面薄片的转动惯量: 平面薄片(位于 Fx ? f

对于 x 轴 I x ?

??
D

y ? ( x , y ) d ? ,   对于 y 轴 I y ?
2

??
D

x ? ( x, y )d?
2

xoy 平面)对 z 轴上质点 M ( 0 , 0 , a ), ( a ? 0 )的引力: F ? { F x , F y , F z },其中:
3

??
D

? ( x , y ) xd ?
(x ? y ? a )
2 2 2 2

,   F y ? f

??
D

? ( x , y ) yd ?
3

,   F z ? ? fa ??
D

? ( x , y ) xd ?
3

(x ? y ? a )
2 2 2

2

(x ? y ? a )2
2 2 2

柱面坐标和球面坐标:

18 / 40

? x ? r cos ? ? 柱面坐标: ? y ? r sin ? ,     f ( x , y , z ) dxdydz ??? ? ? z ? z ? 其中: F ( r , ? , z ) ? f ( r cos ? , r sin ? , z )

?

???
?

F ( r , ? , z ) rdrd ? dz ,

? x ? r sin ? cos ? ? 2 球面坐标: ? y ? r sin ? sin ? ,   dv ? rd ? ? r sin ? ? d ? ? dr ? r sin ? drd ? d ? ? z ? r cos ? ?
2?

?

r ( ? ,? ) 2

???
?

f ( x , y , z ) dxdydz 1 M

?

???
?

F ( r , ? , ? ) r sin ? drd ? d ? ?
2

? d ? ? d ? ? F ( r , ? ,? ) r
0 0 0

sin ? dr M ? x ?
2 2

重心: x ? 转动惯量:

???
?

x ? dv ,    y ?

1 M

???
?

y ? dv ,    z ?

1 M

???
?

z ? dv ,  其中

???
?

? dv

Ix ?

???
?

( y ? z ) ? dv ,   I y ?
2 2

???
?

( x ? z ) ? dv ,   I z ?
2 2

???
?

( x ? y ) ? dv

曲线积分:
第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分):

? x ? ? (t ) 设 f ( x , y ) 在 L 上连续, L 的参数方程为: ? ,    ? t ? ? ), 则: (? ? y ? ? (t )
?

?
L

f ( x , y ) ds ?

?

?

? x?t 2 2 f [? ( t ), ? ( t )] ? ? ( t ) ? ? ? ( t ) dt    ? ? )   特殊情况: ? (? ? y ? ? (t )

19 / 40

第二类曲线积分(对坐 设 L 的参数方程为

标的曲线积分):

? x ? ? (t ) ,则: ? ? y ? ? (t )
?

? P ( x , y ) dx
L

? Q ( x , y ) dy ? ? { P [? ( t ), ? ( t )]? ? ( t ) ? Q [? ( t ), ? ( t )]? ? ( t )} dt
?

两类曲线积分之间的关 L 上积分起止点处切向量 格林公式:

系: Pdx ? Qdy ? ?
L

? ( P cos ?
L

? Q cos ? ) ds ,其中 ? 和 ? 分别为

的方向角。 ) dxdy ? ? ?P ?y

?? ( ? x
D

?Q

?

?P ?y

? Pdx
L

? Qdy 格林公式:

?? ( ? x
D

?Q

?

?P ?y

) dxdy ? ? 1 2

? Pdx
L

? Qdy

当 P ? ? y , Q ? x ,即: · 平面上曲线积分与路径

?Q ?x

? 2时,得到 D 的面积: A ?

?? dxdy
D

? xdy
L

? ydx

无关的条件:

1、 G 是一个单连通区域; 2、 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导数 减去对此奇点的积分, · 二元函数的全微分求积 在 ?Q ?x = ?P ?y 注意方向相反! : u ( x , y )的全微分,其中: ,且 ?Q ?x = ?P ?y 。注意奇点,如 ( 0 , 0 ),应

时, Pdx ? Qdy 才是二元函数

(x,y)

u ( x, y ) ?

? P ( x , y ) dx
( x0 , y0 )

? Q ( x , y ) dy ,通常设 x 0 ? y 0 ? 0。

曲面积分:
对面积的曲面积分: 对坐标的曲面积分:

??
? ?

f ( x , y , z ) ds ?

??
D xy

f [ x , y , z ( x , y )] 1 ? z x ( x , y ) ? z y ( x , y ) dxdy
2 2

?? P ( x , y , z ) dydz
D xy

? Q ( x , y , z ) dzdx ? R ( x , y , z ) dxdy ,其中: 号; 号; 号。 ? Q cos ? ? R cos ? ) ds

?? R ( x , y , z ) dxdy
?

? ? ?? R [ x , y , z ( x , y )] dxdy ,取曲面的上侧时取正 ? ? ?? P [ x ( y , z ), y , z ] dydz ,取曲面的前侧时取正
D yz

?? P ( x , y , z ) dydz
?

?? Q ( x , y , z ) dzdx
?

? ? ?? Q [ x , y ( z , x ), z ] dzdx ,取曲面的右侧时取正
D zx

两类曲面积分之间的关

系: Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ??
?

?? ( P cos ?
?

高斯公式:

20 / 40

??? ( ? x
?

?P

?

?Q ?y

?

?R ?z

) dv ?

?? Pdydz
?

? Qdzdx ? Rdxdy ?

?? ( P cos ?
?

? Q cos ? ? R cos ? ) ds

高斯公式的物理意义

— —通量与散度: ? div ? ? 0 , 则为消失 ...

?P ?Q ?R ? 散度: div ? ? ? ? , 即:单位体积内所产生 的流体质量,若 ?x ?y ?z ? ? 通量:?? A ? n ds ? ?? A n ds ? ?? ( P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? ) ds ,
? ?

因此,高斯公式又可写

? 成: div A dv ? ???
?

?

?? A
?

n

ds

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

?? ( ? y
?

?R

?

?Q ?z

) dydz ? (

?P ?z

?

?R ?x

) dzdx ? ( dzdx ? ?y Q

?Q ?x

?

?P ?y

) dxdy ? cos ? ? ?x P

? Pdx
?

? Qdy ? Rdz cos ? ? ?z R

上式左端又可写成:

??
?

dydz ? ?x P

dxdy ? ?z R ?R ?y ?

?

??
?

cos ? ? ?y Q

空间曲线积分与路径无

关的条件:

?Q

?P ?R ?Q ?P ,  ? ,  ? ?z ?z ?x ?x ?y

i j k ? ? ? ? 旋度: rot A ? ?x ?y ?z P Q R ? 向量场 A 沿有向闭曲线 ? 的环流量:

? Pdx ? Qdy ? Rdz ?
?

?
?

? ? A ? t ds

常数项级数:
等比数列: 1 ? q ? q ? ? ? q
2 n ?1

?

1? q

n

1? q

等差数列: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 调和级数: 1 ? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n

( n ? 1) n 2

是发散的

级数审敛法:

21 / 40

1、正项级数的审敛法

— —根植审敛法(柯西判

别法):

设: ? ? lim

n

n? ?

? ? ? 1时,级数收敛 ? u n ,则 ? ? ? 1时,级数发散 ? ? ? 1时,不确定 ? ? ? ? 1时,级数收敛 ? ,则 ? ? ? 1时,级数发散 ? ? ? 1时,不确定 ?

2、比值审敛法: U n ?1 Un

设: ? ? lim

n? ?

3、定义法: s n ? u 1 ? u 2 ? ? ? u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发
n? ?

散。
— —莱布尼兹定理: rn ? u n ? 1。

交错级数 u 1 ? u 2 ? u 3 ? u 4 ? ? ( 或 ? u 1 ? u 2 ? u 3 ? ? , u n ? 0 )的审敛法 如果交错级数满足 ? ? u n ? u n ?1 ,那么级数收敛且其和 ? ? lim? u n ? 0 ? n?

s ? u 1 , 其余项 rn的绝对值

绝对收敛与条件收敛:
(1) u 1 ? u 2 ? ? ? u n ? ? ,其中 u n 为任意实数; (2 ) u1 ? u 2 ? u 3 ? ? ? u n ? ? 如果 ( 2 )收敛,则 (1) 肯定收敛,且称为绝对 如果 ( 2 ) 发散,而 (1)收敛,则称 调和级数:   级数: 收敛级数;

(1)为条件收敛级数。
n

? ?

1 n

发散,而 收敛;

?

( ? 1) n

收敛;

1 n
2

   p 级数:?

1 n
p

p ?1时发散    p ? 1时收敛

幂级数:

22 / 40

1 ? x ? x ? x ? ? ? x ? ?   
2 3 n

x ? 1时,收敛于 x ? 1时,发散

1 1? x

对于级数 ( 3 ) a 0 ? a 1 x   a 2 x ? ? ? a n x ? ? ,如果它不是仅在原点 ?
2 n

收敛,也不是在全

x ? R 时收敛 数轴上都收敛,则必存 在 R ,使 x ? R 时发散 ,其中 R 称为收敛半径。 x ? R 时不定

? ? 0时, R ?
求收敛半径的方法:设 lim a n ?1 an ? ? ,其中 a n, a n ? 1 是 ( 3 )的系数,则

1

?

n? ?

? ? 0时, R ? ?? ? ? ?? 时, R ? 0

函数展开成幂级数:
函数展开成泰勒级数: 余项: R n ? f
( n ?1 )

f ( x ) ? f ( x 0 )( x ? x 0 ) ? ( x ? x0 )
n ?1

f ?? ( x 0 ) 2!

( x ? x0 ) ? ? ?
2

f

(n)

( x0 )

n!

( x ? x0 ) ? ?
n

(? )

( n ? 1)!

, f ( x ) 可以展开成泰勒级数的 f ?? ( 0 ) 2!

充要条件是: lim R n ? 0
n? ?

x 0 ? 0时即为麦克劳林公式:

f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ?( 0 ) x ?

x ?? ?
2

f

(n)

(0 )

x ??
n

n!

一些函数展开成幂级数:
(1 ? x )
m

? 1 ? mx ? x
3

m ( m ? 1) 2!

x ?? ?
2 n ?1

m ( m ? 1) ? ( m ? n ? 1 ) n!

x ? ?    ? 1 ? x ? 1) (
n

sin x ? x ?

?

x

5

? ? ? ( ? 1)

x

2 n ?1

3!

5!

( 2 n ? 1)!

? ?    ?? ? x ? ?? ) (

欧拉公式:
ix ? ix ? e ?e cos x ? ? ? 2 ? cos x ? i sin x    或 ? ix ? ix ? sin x ? e ? e ? 2 ?

e

ix

三角级数:
f (t ) ? A0 ?

?

?

A n sin( n ? t ? ? n ) ?

a0 2

?

n ?1

? (a
n ?1

?

n

cos nx ? b n sin nx )

其中, a 0 ? aA 0, a n ? A n sin ? n, b n ? A n cos ? n, ? t ? x 。 正交性:1, sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x ? sin nx , cos nx ? 任意两个不同项的乘积 上的积分= 0。 在 [ ?? , ? ]

傅立叶级数:

23 / 40

f (x) ?

a0 2

?

? (a
n ?1

?

n

cos nx ? b n sin nx ),周期 ? 2 ?

? 1 ?an ? ? ? 其中 ? 1 ? bn ? ? ? ? 1?   1 2
2

?

??

?

f ( x ) cos nxdx    n ? 0 ,1, 2 ? ) (

?

??

?

f ( x ) sin nxdx    n ? 1, 2 , 3 ? ) (

1 3 ?
2

? 1 4
2

1 5
2

?? ? 1 6
2

?
8

2

1?

1 2
2

? ?

1 3
2

? ?

1 4
2

?? ? ?? ?

? ?

2

(相加)
2

6 (相减) 12

?

?? ?

?

2

1? 2
?

1 2
2

1 3
2

1 4
2

24

正弦级数:

a n ? 0, b n ? b n ? 0, a n ?

?
2

?
0

f ( x ) sin n xdx    n ? 1, 2 , 3 ?   f ( x ) ?

?b
a0 2

n

sin nx 是奇函数

?

余弦级数:

?

?
0

f ( x ) cos nxdx    n ? 0 ,1, 2 ?   f ( x ) ?

?

?a

n

cos nx 是偶函数

周期为 2 l 的周期函数的傅立叶级数:
f (x) ? a0 2 ?

? (a
n ?1

?

n

cos

n?x l

? b n sin

n?x l

),周期 ? 2 l

l ? 1 n?x dx    n ? 0 ,1, 2 ? ) ( ? a n ? ? f ( x ) cos l ?l l ? 其中 ? l 1 n?x ? b n ? ? f ( x ) sin dx    n ? 1, 2 , 3 ? ) ( ? l ?l l ?

24 / 40

微分方程的相关概念:
一阶微分方程: y ? ? f ( x , y )  或  P ( x , y ) dx ? Q ( x , y ) dy ? 0 :一阶微分方程可以化 为 g ( y ) dy ? f ( x ) dx 的形式,解法:

可分离变量的微分方程

? g ( y ) dy ? ?

f ( x ) dx   得: G ( y ) ? F ( x ) ? C 称为隐式通解。 程可以写成 du dx ,u ? du dx dy dx ? f ( x , y ) ? ? ( x , y ),即写成 dx x ? du y x 的函数,解法: y x 代替 u ,

齐次方程:一阶微分方 设u ? y x ,则 dy dx ?u? x

? ? ( u ), ?

? (u ) ? u

分离变量,积分后将

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程: dy dx 当 Q ( x ) ? 0时 , 为齐次方程, y ? Ce
?

? P (x) y ? Q (x) ? P ( x ) dx ? P ( x ) dx dx ? C ) e
?

当 Q ( x ) ? 0时,为非齐次方程, 2、贝努力方程: dy dx

y ? ( ? Q ( x )e
n

? P ( x ) dx

? P ( x ) y ? Q ( x ) y ,n ? 0 ,1) (

全微分方程:
如果 P ( x , y ) dx ? Q ( x , y ) dy ? 0中左端是某函数的全微 du ( x , y ) ? P ( x , y ) dx ? Q ( x , y ) dy ? 0,其中: ? u ( x , y ) ? C 应该是该全微分方程的 通解。 ?u 分方程,即:

?u ? P ( x , y ), ? Q ( x , y ) ?x ?y

二阶微分方程:
d y dx
2 2

? P (x)

dy dx

? Q ( x ) y ? f ( x ),

f ( x ) ? 0时为齐次 f ( x ) ? 0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*) y ?? ? p y ? ? qy ? 0,其中 p , q 为常数; 求解步骤: 1、写出特征方程: ( ? ) r ? pr ? q ? 0,其中 r , r 的系数及常数项恰好是
2 2

(*) 式中 y ??, y ?, y 的系数;

2、求出 ( ? ) 式的两个根

r1 , r2
出 (*) 式的通解:

3、根据 r1 , r2的不同情况,按下表写

r1, r2的形式

(*)式的通解

两个不相等实根 ( p ? 4 q ? 0 )
2

y ? c1 e

r1 x

? c2e

r2 x

25 / 40

两个相等实根 ( p ? 4 q ? 0 )
2

y ? ( c1 ? c 2 x ) e y ?e
?x

r1 x

一对共轭复根 ( p ? 4 q ? 0 )
2

( c 1 cos ? x ? c 2 sin ? x )

r1 ? ? ? i ? , r2 ? ? ? i ?

? ??

p 2

,? ?

4q ? p 2

2

二阶常系数非齐次线性微分方程
y ?? ? p y ? ? qy ? f ( x ), p , q 为常数 f (x) ? e
?x ?x

Pm ( x ) 型, ? 为常数;

f ( x ) ? e [ Pl ( x ) cos ? x ? Pn ( x ) sin ? x ]型

26 / 40

解析几何中的基本公式
1、 两点间距离:若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2 2

2、 平行线间距离:若 l 1 : Ax ? By ? C 1 ? 0 , 则: d ?
C1 ? C 2 A
2

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0

?B

2

注意点:x,y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离: P ( x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 则 P 到 l 的距离为: d ?
Ax
?

? By A
2

?

?C
2

?B

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式: ?

? y ? kx ? b ?F(x, y) ? 0

消 y: ax

2

? bx ? c ? 0 ,务必注意 ? ? 0 .

若 l 与曲线交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则: AB ?
(1 ? k )( x 2 ? x 1 )
2 2

5、 若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , (x, 。 在直线 AB 上, P 分有向线段 AB 所成的比为 ? , P y) P 且
x ? ?x2 ? x ? 1 ? ? 1? ? 则? ? y ? y1 ? ? y 2 ? 1? ? ? x1 ? x 2 ? ?x ? ? 2 ,特别地: ? =1 时,P 为 AB 中点且 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
或? ? y ? y1 y2 ? y

变形后: ? ?

x ? x1 x2 ? x

6、 若直线 l1 的斜率为 k1,直线 l2 的斜率为 k2,则 l1 到 l2 的角为 ? , ? ? ( 0 , ? ) 适用范围:k1,k2 都存在且 k1k2 ? -1 ,
tan ? ? k 2 ? k1 1 ? k1k 2

若 l1 与 l2 的夹角为 ? ,则 tan ? ?

k1 ? k 2 1 ? k1k 2

, ? ? (0,

? 2

]

注意: (1)l1 到 l2 的角,指从 l1 按逆时针方向旋转到 l2 所成的角,范围 ( 0 , ? )
27 / 40

l1 到 l2 的夹角:指 l1、l2 相交所成的锐角或直角。 (2)l1 ? l2 时,夹角、到角=
? 2



(3)当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。

7、 (1)倾斜角 ? , ? ? ( 0 , ? ) ; (2) a , b 夹角 ? , ? ? [ 0, ? ] ; (3)直线 l 与平面 ? 的夹角 ? , ? ? [ 0, ] ;
2 ? (4)l1 与 l2 的夹角为 ? , ? ? [ 0, ] ,其中 l1//l2 时夹角 ? =0; 2 ?
? ?

(5)二面角 ? , ? ? ( 0 , ? ] ; (6)l1 到 l2 的角 ? , ? ? ( 0, ? ) 8、 直线的倾斜角 ? 与斜率 k 的关系 a) 每一条直线都有倾斜角 ? ,但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率 k,而倾斜角为 ? ,则 k=tan ? 。 9、 直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合:①l1//l2 ? k1=k2 ②l1 ? l2 ? k1k2=-1 (2)若 l 1 :
A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

若 A1、A2、B1、B2 都不为零 ① l1//l2 ?
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2



② l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0; ③ l1 与 l2 相交 ?
A1 A2 ? B1 B2

28 / 40

④ l1 与 l2 重合 ?

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2



注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。 10、 直线方程的五种形式 名称 方程 注意点 斜截式: y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在 点斜式:
y ? y? ? k ( x ? x? )

(1)斜率不存在: x ? x ? (2)斜率存在时为 y ? y ? ? k ( x ? x ? )

两点式:

y ? y1 y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1

截距式:

x a

?

y b

?1

其中 l 交 x 轴于 ( a , 0 ) , y 轴于 ( 0 , b ) 交 当直线 l 在坐标轴上,截距相等时应 分: (1)截距=0 设 y=kx (2)截距= a ? 0 即 x+y= a 设
x a ? y a ?1

一般式:

Ax ? By ? C ? 0

(其中 A、B 不同时为零)

10、确定圆需三个独立的条件 圆的方程 (1)标准方程: ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , ( a , b ) ? ? 圆心, r ? ? 半径 。
2 2 2

(2)一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , D ? E ? 4 F ? 0 ) (
2 2 2 2

(?

D 2

,?

E 2

) ? ? 圆心 , r ?

D

2

? E 2

2

? 4F

11、直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

Aa ? Bb ? C A ? B
2 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 d ? r ? 相交 ? ? ? 0

29 / 40

12、两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O 1 O 2 ? d
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4 条公切线 d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3 条公切线

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2 条公切线 d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

外离

外切

相交 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 (一)椭圆

内切

内含

定义Ⅰ:若 F1,F2 是两定点,P 为动点,且 PF 1 ? PF 2 ? 2 a ? F1 F 2

( a 为常数)

则 P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ:若 F1 为定点,l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常 数 e(0<e<1) ,则 P 点的轨迹是椭圆。

标 准 方 程 :
(a ? b ? 0)

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

30 / 40

定义域: { x ? a ? x ? a } 值域: { x ? b ? y ? b } 长轴长= 2 a ,短轴长=2b 焦距:2c 准线方程: x ? ?

a

2

c
a
2

焦半径:PF 1 ? e ( x ?

)

,PF

c

2

? e(

a

2

c

? x ) ,PF 1 ? 2 a ? PF 2

a , ?c?

PF 1 ? a ? c

等(注意涉及焦半径①用点 P 坐标表示,②第一定义。 ) 注意: (1)图中线段的几何特征: A1 F1 ? A 2 F 2 ? a ? c , A1 F 2 ? A 2 F1 ? a ? c
B 1 F1 ? B 1 F 2 ? B 2 F 2 ? B 2 F 1 ? a , A 2 B 2 ? A 1 B 2 ?
a
2

?b

2

等等。顶点

与准线距离、焦点与准线距离分别与 a , b , c 有关。 (2) ? PF 1 F 2 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 PF 1 .... ....... 有关角 ? F1 PF 2 结合起来,建立 PF 1 (3)椭圆上的点有时常用到三角换元: ?

、 PF 、2c,
2

+ PF 、 PF
2

1

?

PF

2

等关系

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?



(4)注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,请补充当焦点在 y 轴上时,其相 应的性质。 二、双曲线 (一)定义:Ⅰ若 F1,F2 是两定点, PF 1 ? PF 2 ? 2 a ? F1 F 2 ( a 为常数) ,则动点 P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1) ,则动点 P 的 轨迹是双曲线。 (二)图形:

31 / 40

(三)性质 方程:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? 0, b ? 0)

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 (a ? 0, b ? 0)

定义域: { x x ? a 或 x ? a } ;

值域为 R;

实轴长= 2 a ,虚轴长=2b 焦距:2c 准线方程: x ? ?

a

2

c
a
2

焦半径: PF 1 ? e ( x ?

)

, PF

c

2

? e(

a

2

c

? x ) , PF 1 ? PF 2 ? 2 a



注意: (1)图中线段的几何特征: AF 1 ? BF 2 ? c ? a , AF 2 ? BF 1 ? a ? c
a
2

顶点到准线的距离: a ?

或a ?

a

2

;焦点到准线的距离: c ?

a

2

或c ?

a

2

c 2a c x a
2 2 2

c

c

c

两准线间的距离=

(2)若双曲线方程为

?

y b
b a

2 2

? 1 ? 渐近线方程:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0? y??

b a

x

若渐近线方程为 y ? ?

x ?

x a

?

y b

? 0 ? 双曲线可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ?

若双曲线与

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 有公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ?

( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) (3)特别地当 a ? b 时 ? 离心率 e ?
2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此
2 2

时双曲线为等轴双曲线,可设为 x ? y ? ? ; (4)注意 ? PF 1 F 2 中结合定义 PF 1 ? PF 2 ? 2 a 与余弦定理 cos ? F1 PF 2 ,将有关
32 / 40

线段 PF 1

、 PF 、 F F
2 1

2

和角结合起来。

(5)完成当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质。 二、抛物线 (一)定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e=1) 。 (二)图形:

(三)性质:方程: 焦点: ( 准线:

y

2

? 2 px , ( p ? 0 ), p ? ? 焦参数 ;

p 2

,0 )

,通径
p 2

AB ? 2 p ;

x ? ?


p 2 , 过焦点弦长 CD ? x 1 ? p 2 p 2 ? x2 ? p 2 ? x1 ? x 2 ? p

焦半径: CF ? x ? ?

注意: (1)几何特征:焦点到顶点的距离=

;焦点到准线的距离= p ;通径长= 2 p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ( 2 ) 抛 物 线 y ? 2 px
2

上 的 动 点 可 设 为

P (

y?

2

2p

, y? )



P ( 2 pt , 2 pt ) 或 P ( x ? , y ? ) 其中 y ? ? 2 px ?
2 2

33 / 40

1、 行 列 式
1. 2. 行列式共有 n 2 个元素,展开后有 n ! 项,可分解为 2 n 行列式; 代数余子式的性质: ①、 A ij 和 a ij 的大小无关;
n

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 3. 4. 代数余子式和余子式的关系: M ij 设 n 行列式 D :
n ( n ? 1)

A


i? j

? ( ? 1)

i? j

A ij

A ij ? ( ? 1)

M ij

将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D 1 ,则 D 1

? ( ? 1) ? ( ? 1)
? D

2

D
2


D

n ( n ? 1)

将 D 顺时针或逆时针旋转 9 0 ? ,所得行列式为 D 2 ,则 D 2 将 D 主副角线翻转后,所得行列式为 D 4 ,则 D 4 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
n ( n ? 1)



将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 D 3 ,则 D 3
? D





②、副对角行列式:副对角元素的乘积 ??( ? 1) ③、上、下三角行列式( ④、
?◤ ? ?◥ ? ? ?◣ ?

2



):主对角元素的乘积;
n ( n ? 1) 2



?◢ ?

:副对角元素的乘积 ??( ? 1)
A C O B ? A O C B

; 、
C B A O ? O B A C ? ( ? 1)
m ?n

⑤、拉普拉斯展开式:

? A B

A B

⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 7. 对于 n 阶行列式 证明 ①、
A ? 0 A

,恒有: ? E

? A ? ?

n

?

? ( ? 1)
k ?1

n

k

Sk?

n?k

,其中 S k 为 k 阶主子式;

的方法: ;

A ? ? A

②、反证法; ③、构造齐次方程组 A x
? 0
n

,证明其有非零解;

④、利用秩,证明 r ( A ) ?



⑤、证明 0 是其特征值;

2、 矩 阵
1.
A ?

是 n 阶可逆矩阵: A ? 0 (是非奇异矩阵); (是满秩矩阵)

? r ( A) ? n

? A

的行(列)向量组线性无关;
34 / 40

?

齐次方程组 A x
n

? 0

有非零解;

? ?b ? R ? A ? A ? A

, Ax

? b

总有唯一解;

与 E 等价; 可表示成若干个初等矩阵的乘积; 的特征值全不为 0;
T

? A A ? A ? A

是正定矩阵;

的行(列)向量组是 R n 的一组基; 是 R n 中某两组基的过渡矩阵;
? A A ? A E
*

2. 3.

对于 n 阶矩阵 A : A A *
(A ) ? (A )
* ?1 * ?1

无条件恒成立;
?1

(A )

?1 T

? (A )
T
* *

(A )

*

T

? (A )
T
?1

*

( AB)

T

? B A
T

T

( AB ) ? B A
*

( AB )

? B

?1

A

?1

4. 5.

矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论,其中均 A 、 B 可逆: 若
? A1 ? A ? ? ? ? ? A2 ? ? ? ? ? ? As ?

,则:

Ⅰ、

A ? A1 A 2 ? A s


? ? ? ? ? ?1 As ? ?

Ⅱ、 A ? 1

? A1? 1 ? ?? ? ? ? ?
O? ? B?
A? ? O? C? ? B? O? ? B?
?1

A2

?1



?

②、 ? ③、 ?

?A ?O
?O ?B

? A ?1 ?? ? O
? O ? ? ?1 ?A ? A ?1 ?? ? O

O ? ;(主对角分块) ?1 ? B ?
B ? ? ;(副对角分块) O ?
?1 ?1 ?1

?1

?A ④、 ? ?O

?1

? A CB B
?1

? ? ?

;(拉普拉斯)

⑤、 ?

?A ?C

?1

?1 ? A ?? ?1 ?1 ? ?B CA

O ? ?1 ? B ?

;(拉普拉斯)

3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组
1. 一个
m?n

矩阵

A

,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:

? Er F ?? ? O

O? ? O ?m ?n



等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简 单的矩阵; 对于同型矩阵 A 、 B ,若 r ( A ) ?
r ( B )??? ?? A ? B



35 / 40

2.

行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非 0 元素必须为 1; ③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0;

3.

初等行变换的应用: (初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、若 ( A ?,? E ) ?? ?( E ?,? X ) ,则 A 可逆,且 X
r

? A

?1


c

②、 对矩阵 ( A , B ) 做初等行变化, A 变为 E 时,B 就变成 A ? 1 B , 当 即:( A , B )???( E , A ? 1 B ) ; ③、求解线形方程组:对于 n 个未知数 n 个方程 A x 且x 4.
? A b
?1

? b

,如果 ( A , b ) ? ( E , x ) ,则 A 可逆,

r



初等矩阵和对角矩阵的概念: ①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列
? ?1 ? ②、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ?

矩阵;
?2
?

,左乘矩阵 A ,? i 乘 A 的各行元素;右乘,? i 乘 A 的各列元素;

③、对调两行或两列,符号 E ( i ,

j)

,且 E (i , j )

?1

?E (i , j )

? ? ,例如:? 1 ? ?
E ( i( k ) ? )
?1

1

? ? ? 1? ?

?1

?

? ? 1 ? ? ?

1

? ? ? 1? ?



④ 、 倍 乘 某 行 或 某 列 , 符 号
?1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?
?1

E ( i ( k ))

, 且

1 E (i ( ) , )例 k

如 :

k

?1 ? ?? ? ? ?

1 k

? ? ? (k ? 0) ? 1? ?



⑤ 、 倍 加 某 行 或 某 列 , 符 号
?1 ? ? ? ? k? ? ? 1? ?
?1

E ( ij ( k ))

, 且

E ( ij ( k ))

?1

? E ( ij ( ? k ))

, 如 :

1

?1 ? ? ? ? ?

1

?k ? ? (k ? 0) ? 1 ? ?



5.

矩阵秩的基本性质: ①、 0 ? r ( A m ? n ) ? m in( m , n ) ; ②、 r ( A T ) ? ③、若 A
? B
r ( A)


r(B) ; r ( P A ) ? r ( A Q ) ? r ( P A Q ) ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)

,则 r ( A ) ?

④、若 P 、 Q 可逆,则 r ( A ) ? ⑤、 m ax( r ( A ), r ( B )) ? ⑥、 r ( A ? B ) ? ⑦、 r ( A B ) ?

r ( A, B ) ? r ( A) ? r ( B )

;(※)

r ( A) ? r (B )

;(※) ;(※)
?0

m in( r ( A ), r ( B ))

⑧、如果 A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? s 矩阵,且 A B Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 A X
?0

,则:(※)

解(转置运算后的结论);

36 / 40

Ⅱ、 r ( A ) ? r ( B ) ?

n r ( A) ? r (B ) ? n

⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵,则 r ( A B ) ? 6.



三种特殊矩阵的方幂: ①、秩为 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) ? 行矩阵(向量)的形式,再采用 结合律;
?1 ? ②、型如 ? 0 ?0 ? a 1 0 c? ? b ? 1? ?

的矩阵:利用二项展开式;


(a ? b ) ? C n a ? C n a
n 0 n n?


b ?? ? Cn a
m 1 n?m


b
m


n? 1 n?


?


1

?? ? Cn a b

? Cnb
n

n

m ?0

?C

n 1

m n

a b

m

n?m



注:Ⅰ、 ( a ? b ) n 展开后有 n ? 1 项; Ⅱ、 C nm
? n ( n ? 1) ? ? ( n ? m ? 1) 1?2 ?3 ?? ?m
? Cn
n?m

?

n! m !( n ? m ) !
m m

Cn ? Cn ? 1
0 n

Ⅲ、组合的性质: C nm

C n ?1 ? C n ? C n

m ?1

?C
r?0

n

r n

? 2

n

rC n ? n C n ? 1
r

r ?1



③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:
?n ? ①、伴随矩阵的秩: r ( A ) ? ? 1 ?0 ?
*

r ( A ) ? n ????? r ( A) ? n ? 1 r ( A) ? n ? 1
* ?1 *



②、伴随矩阵的特征值: ③、 A * 8.
? A A
?1

A

?

??( A X ? ? X , A ? A A ?? ? A X ?

A

?

X)





A

*

? A

n ?1

关于 A 矩阵秩的描述: ①、 r ( A ) ? n , A 中有 n 阶子式不为 0, n ? 1 阶子式全部为 0;(两句话) ②、 r ( A ) ? ③、 r ( A ) ?
n n

, A 中有 n 阶子式全部为 0; , A 中有 n 阶子式不为 0;

9. 线性方程组: A x ? b ,其中 A 为 m ? n 矩阵,则: ①、 m 与方程的个数相同,即方程组 A x ? b 有 m 个方程; ②、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组 A x
? b

为 n 元方程;

10. 线性方程组 A x ? b 的求解: ①、对增广矩阵 B 进行初等行变换(只能使用初等行变换); ②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得; 11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程:
? a 1 1 x 1 ? a 1 2 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? b1 ??? ? ? a x ? a x ? ? ? a 2 n x n ? b 2 ??? ①、 ? 2 1 1 2 2 2 ? ??????????? ?a x ? a x ?? ? a x ? b m2 2 nm n n ? m1 1



37 / 40

? a11 ? a ②、 ? 2 1 ? ? ? ? am1

a12 a 22 ? am 2

? ? ? ?

a1n ? ? ?? a2n ?? ? ?? ?? amn ? ?

x 1 ? ? b1 ? ? ? ? x2 b ? ? ? 2 ? ? A x ? b (向量方程, A ? ? ? ? ? ? ? ? x m ? ? bm ?

为 m ? n 矩阵, m 个方程,

n

个未知数)
? ? an ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ?? ? ? ? ? xn ? ? b1 ? b (全部按列分块,其中 ? ? ? 2 ? ? ? ? bn ? ? ? ); ? ? ?

③、 ? a 1

a2

?

④、 a1 x1 ? a 2 x 2

? ? ? an xn ? ?

(线性表出)
r ( A, ? ) ? n

⑤、有解的充要条件: r ( A ) ?

( n 为未知数的个数或维数)

4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性
1.
m

个 n 维列向量所组成的向量组 A : ? 1 , ? 2 , ? , ? m 构成 n ? m 矩阵 A

? (? 1 , ? 2 , ? , ? m )



m

T 个 n 维行向量所组成的向量组 B : ? 1T , ? 2T , ? , ? m

? ? 1T ? T ? 构成 m ? n 矩阵 B ? ? 2 ? ? ? T ?? ? m

? ? ?; ? ? ? ?

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2. ①、向量组的线性相关、无关 ? A x ? 0 有、无非零解; (齐次线性方程组) ? A x ? b 是否有解; ②、向量的线性表出 (线性方程组) ? A X ? B 是否有解; ③、向量组的相互线性表示 (矩阵方程) 矩阵 A m ? n 与 B l ? n 行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组 A x ? 0 和 B x ? ( P1 0 1 例 14) 4. 5.
r ( A A) ? r ( A)
T

3.

0

同解;

;( P1 0 1 例 15)

n 维向量线性相关的几何意义: ? ? ?0; ①、 ? 线性相关

②、 ? , ? 线性相关 ③、 ? , ? , ? 线性相关 6.

? ?,?

坐标成比例或共线(平行); 共面;

? ? , ? ,?

线性相关与无关的两套定理: 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关,则 ? 1 , ? 2 , ? , ? s , ? s ? 1 必线性相关; 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关,则 ? 1 , ? 2 , ? , ? s ?1 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为

对偶) 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n ? r 个分量,构成 n 维向量组 B : 若 A 线性无关,则 B 也线性无关;反之若 B 线性相关,则 A 也线性相关;(向量组的维 数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定; 7. 向量组 A (个数为 r )能由向量组 B (个数为 s )线性表示,且 A 线性无关,则 r 版 P7 4 定理 7);
38 / 40
? s

(二

向量组 A 能由向量组 B 线性表示,则 r ( A ) ? 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 ? A X ? B 有解;
? r ( A ) ? r ( A , B ) ( P8 5

( r ( B ) ; P8 6

定理 3)

定理 2)
r ( B ) ? r ( A , B ) ( P8 5

向量组 A 能由向量组 B 等价 ? ?r ( A ) ? 8.

定理 2 推论) ;
? 0

方阵 A 可逆 ? 存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , ? , Pl ,使 A ①、矩阵行等价: A ~ B ②、矩阵列等价: A ~ B
c

? P1 P2 ? Pl

r

? PA ? B

(左乘, P 可逆) ? (右乘, Q 可逆) ; ( P 、 Q 可逆) ;

Ax ? 0

与 Bx

同解

? AQ ? B
PAQ ? B

9.

③、矩阵等价: A ~ B ? 对于矩阵 A m ? n 与 B l ? n :

①、若 A 与 B 行等价,则 A 与 B 的行秩相等; ②、若 A 与 B 行等价,则 A x ? 0 与 B x ? 0 同解,且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相 同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵 A 的行秩等于列秩; 10. 若 A m ? s B s ? n ? C m ? n ,则: ①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示, B 为系数矩阵; ②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示, A T 为系数矩阵; (转置) 11. 齐次方程组 B x ? 0 的解一定是 A B x ? 0 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证 明; ①、 A B x ? 0 只有零解 ? ?? B x ? 0 只有零解; ②、 B x ? 0 有非零解 ? ?? A B x ? 0 一定存在非零解; 12. 设向量组 B n ? r
: b1 , b 2 , ? , b r

可由向量组 A n ? s

: a1 , a 2 , ? , a s

线性表示为: P1 1 0 题 19 结论) (
? AK

( b1 , b 2 , ? , b r ) ? ( a 1 , a 2 , ? , a s ) K

(B

其中 K 为 s ? r ,且 A 线性无关,则 B 组线性无关 ? 相同线性相关性) (必要性:? r 注:当 r

r(K ) ?

) r ; B 与 K 的列向量组具有 (

? r ( B ) ? r ( A K ) ? r ( K ), r ( K ) ? r ,? r ( K ) ? r

;充分性:反证法)

? s 时, K

为方阵,可当作定理使用;
? Em ? r ( A) ? m

13. ①、对矩阵 A m ? n ,存在 Q n ? m , A Q

、 Q 的列向量线性无关; P8 7 ) (

? r ( A ) ? n 、 P 的行向量线性无关; ②、对矩阵 A m ? n ,存在 Pn ? m , P A ? E n 14. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关 ? 存在一组不全为 0 的数 k 1 , k 2 , ? , k s ,使得 k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ? 0 成立;(定义)

? ? (? 1 , ? 2 , ? , ? s ) ? ? ? ? ?

x1 ? ? x2 ?? 0 ? ? ? xs ?

有非零解,即 A x

? 0

有非零解;

? r (? 1 , ? 2 , ? , ? s ) ? s

,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
39 / 40

15. 设 m ? n 的矩阵 A 的秩为 r , n 元齐次线性方程组 A x 则 16. 若 ? * 为 A x
? b

? 0

的解集 S 的秩为: ( S ) ? r

n?r



的一个解,? 1 , ? 2 , ? , ? n ? r 为 A x

? 0

的一个基础解系,则 ? * , ? 1 , ? 2 , ? , ? n ? r 线性

无关; P1 1 1 题 33 结论) (

5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型
1. 正交矩阵 ?
A A ? E
T

或 A ?1

? A

T

(定义) ,性质:
?1 ? ? ?0 i ? j i ? j ( i , j ? 1, 2, ? n )

①、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 a iT a j ②、若 A 为正交矩阵,则 A ? 1
? A
T



也为正交阵,且

A ? ?1



2.

③、若 A 、 B 正交阵,则 A B 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 施密特正交化: ( a 1 , a 2 , ? , a r ) b1 ? a 1 ;
b2 ? a 2 ? [ b1 , a 2 ] [ b1 , b1 ] ?b1

???

br ? a r ?

[ b1 , a r ] [ b1 , b1 ]

?b1 ?

[ b2 , a r ] [ b2 , b2 ]

?b 2 ? ? ?

[ b r ?1 , a r ] [ b r ?1 , b r ?1 ]

?b r ? 1

;

3. 4.

对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; ①、 A 与 B 等价 ? A 经过初等变换得到 B ; ? P A Q ? B , P 、 Q 可逆; ? r ( A ) ? r ( B ) , A 、 B 同型; ②、 A 与 B 合同 ,其中可逆; ? x A x 与 x B x 有相同的正、负惯性指数; ③、 A 与 B 相似 ? P ? 1 A P ? B ; 相似一定合同、合同未必相似; 若 C 为正交矩阵, C T A C ? B ? A ? B , 则 (合同、 相似的约束条件不同, 相似的更严格) ; A 为对称阵,则 A 为二次型矩阵; T n 元二次型 x A x 为正定: ? A 的正惯性指数为 n ; T ? A 与 E 合同,即存在可逆矩阵 C ,使 C A C ? E ; ? A 的所有特征值均为正数; ? A 的各阶顺序主子式均大于 0;
? C AC ? B
T
T T

5. 6. 7.

? a ii ? 0, A ? 0

;(必要条件)

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