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湖南省师大附中、长沙市一中等六校2014届高三下学期4月联考文科数学试题(word版)



湖南省师大附中、长沙市一中等六校 2014 届高三下学期 4 月联考

数学(文)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量 120 分钟,满分 150 分 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 P={ -1,0, 2 },Q={y|y= sin ?

, ? ∈R) ,则 P I Q= A. ? 2.已知 i 为虚数单位,若 B.{0} C.{ -1,0} D.{-1,0, 2 )

x?i =y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi= i

A. 2+i B.-2-i C.l-2i D.1+2i a b 3.“log2a>log2b”是“2 >2 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知倾斜角为 a 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行,则 tan 2a 的值为 A.

4 5

B.

3 4

C.

2 3

D.

4 3

?y ?1 ? 5.若变量 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,实数 z 是 2x 和-4y 的等差中项,则 z 的最大值等于 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知 x.y∈R+,a=(x,1) ,b=(1,y-1) ,若 a⊥b,则 A.4 7.设函数 f(x)= B.9 C.8

1 1 ? 的最小值为 x y
D.10

f ( x) 是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′ ex

(x)< f(x)对于 x∈R 恒成立,则 A.f(2)>e2f(0) ,f(2 014>e2 014f(0) B.f(2)>e2f(0) , , (2 014)<e2 014f(0) C.f(2)<e2 f(0) ,f(2 014)<e2 014f(0) D.f(2)<e2f(0) ,f(2 014>e2 014f(0) 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是 A. 3 B.

3 2

C.- 3

D.0

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (m>0,n>0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2 =16x 的 m n

焦点重合,则 mn 的值为 A.4 B.12 C.16 D.48 10.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x) 在 x∈ [a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a, 2 b]称为 “关联区间”.若 f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围是 A. ? ? , ?2 ?

? 9 ? 4

? ?

B.[-1,0]

C. ? ??, ?2?

D. ? ? , ?2 ?

? 9 ? 4

? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上.

? 3 x ? 2? t ? ? 2 (t 为参数)的直线 l,被以原点为极点,x 11.在直角坐标系中,参数方程为 ? 1 ?y ? t ? ? 2
轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 cos ? 的曲线 C 所截,则截得的弦长 是 . 2 12.设函数 f(x)=x -5x+4(l≤x≤8) ,若从区间[1,8]内随机选取一个实数 x0,则所选取 的实数 x0 满足 f(x0)≤0 的概率为 . 13.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是 . 14.①函数 y= sin ? x ?

? ?

??

? 在[0, ? ]上是减函数; 2?

②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x-y=0 的两侧; ③数列{an}为递减的等差数列, a1+a5=0, 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则当 n=4 时,Sn 取得最大值; ④定义运算
a1 a2 b1 b2

? a1b2 ? a2b1 ,则函数 f(x)=

x2 ?3 x 1 1 x 3

,

的图象在点(1,

1 )处的切线方程是 6x-3y-5=0. 3
(把所有正确命题的序号都写上) .

其中正确命题的序号是

15. 对于实数 x, 将满足“0≤y<l 且 x-y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分, 用符号 x 表示。对于实数 a,无穷数列{an}满足如下条件:

① a1 ? a ;

? 1 , an ? 0 ? ② an ?1 ? ? an 。 ?0, a ? 0 ? n
。 。

(1)当 a ? 2 时,数列{an}的通项公式为 (2)当 a ?

1 时,对任意的 n ? N * 都有 an ? a ,则 a 的值为 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识, 面向全市征召义务宣传志愿者, 现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) , 第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示, (I)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从 第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(I)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、C 的对边,m=(b,2a-c) ,n=(cos B,cos C) 且 m∥n . (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 f ( x) ? cos ? x ? sin ? ? x ?

? ?

B? ? (? ? 0) ,且 f(x)的最小正周期为 ? ,求 f 2?

(x)在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值。 ? 2? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PB、PD 与平面 ABCD 所成角的正切值依次是 1 和 (I)求证:PB⊥平面 AEFD;

1 ,AP= 2,E、F 依次是 PB、PC 的中点. 2

(Ⅱ)求直线 EC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=-x3+mx 在(0,1)上是增函数. (I) 实数 m 的取值集合为 A, 当 m 取值集合 A 中的最小值时, 定义数列{an}: 满足 a1=3, 且 an ? 0, an ?1 ?

?3 f ?(an ) ? 9(n ? N * ) ,求数列{an}的通项公式;

( sn ? 2)g3n (n ? N * ) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证: (Ⅱ)根据(I)结论,若 b2 ? n 4 gan

Sn ?

2 。 3

20. (本小题满分 13 分) 已知命题“若点 M (x0, y0) 是圆 x2+y2=r2 上一点, 则过点 M 的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2”.

x2 y 2 (I)根据上述命题类比:“若点 M(x0,y0)是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上一点,则 a b
过点 M 的切线方程为 (Ⅱ)已知椭圆 C: ”(写出直线的方程,不必证明) .

x2 y 2 3 ,且经过点(1, ) . ? 2 ? 1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0) 2 a b 2

(i)求椭圆 C 的方程; (ii)过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,过点 A、B 分别作椭圆的两条切线,求其 交点的轨迹方程。

21. (本小题满分 13 分) 已知 f (x) 是定义在 (??, 0) U (0, ??) 上的奇函数, 当 x∈ (0, +?) 时, f (x) =ax+2lnx

(a∈R) . (I)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)是否存在负实数 a,使得当 x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是 4?如果存在,求 出 a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)对 x∈D,如果函数 F(x)的图象在函数 G(x)的图象的下方(没有公共点) , 则称函数 F(x)在 D 上被函数 G(x)覆盖,若函数 f(x)在区间 x∈(1,+ ? )上 被函数 g(x)=x3 覆盖,求实数 a 的取值范围. (注:e 是自然对数的底数,[ln(-x)]′ =

1 ) x

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