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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解



2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

.........

3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V?

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k P (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k (k ? 01, 2, ,n) , ? n

其中 R 表示球的半径

一、选择题 1.函数 y ?

x( x ?1) ? x 的定义域为(



A. x | x ≥ 0

?

?

B. x | x ≥ 1

?

? ?

C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( )

s

s

s

s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

3.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

??? ?

??? ?

????

????



2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3


D. b ?

1 3

2 c 3

4.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ? ( A.2 B.1 C.0 D. ?1

5.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.138 B.135 C.95 D.23



6.若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln x ? 1的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ( A. e )
2 x ?1

B. e

2x

C. e

2 x ?1

D. e

2 x?2

7.设曲线 y ? A.2

x ?1 2) 在点 (3, 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 B. C. ? D. ?2 2 2



8.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向右平移



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6 f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解 ? 9.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 x
集为( )

, , A. (?1 0) ? (1 ? ?) ? , C. (??, 1) ? (1 ? ?)
10.若直线

? 1) B. (??, 1) ? (0, , 1) D. (?1 0) ? (0,

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ?) ,则( sin ) a b 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

11.已知三棱柱 ABC ? A B C 的侧棱与底面边长都相等, A 在底面 ABC 内的射影为 1 1 1 1

△ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(
A.



1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

12.如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里 种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A.96 B.84 C.60 D.48 A D B C

2008 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修 ? 选修Ⅰ)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,

在试题卷上作答无效. .........
3.本卷共 10 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效) ......... ? x ? y ≥ 0, ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, z ? 2 x ? y 的最大值为 则 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
2



14.已知抛物线 y ? ax ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点 的三角形面积为 .

15.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

椭圆的离心率 e ? . 16.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 18

3 , M ,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN 所成角的余弦值等于 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

3 c. 5

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........

BC 四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE , ? 2 , CD ? 2 ,
AB ? AC .
(Ⅰ)证明: AD ? CE ; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ,求二面角 C ? AD ? E 的大小.
?

A

B C D

E

19. (本小题满分 12 分)

(注意:在试题卷上作答无效) .........
已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ?

? 2 ? 3

1? 3?

20. (本小题满分 12 分)

(注意:在试题卷上作答无效) .........
已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果 呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.

方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任 取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

21. (本小题满分 12 分)

(注意:在试题卷上作答无效) .........
双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1

AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

22. (本小题满分 12 分)

(注意:在试题卷上作答无效) .........
设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数;
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, ,整数 k ≥ 1)

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ)参考答案
1. C. 2. A. 由 x ? x ?1? ? 0, x ? 0, 得x ? 1, 或x ? 0; 根据汽车加速行驶 s ?

1 2 1 at ,匀速行驶 s ? vt ,减速行驶 s ? ? at 2 结合函数图 2 2

像可知; 3. A. 由 AD ? AB ? 2 AC ? AD , 3 AD ? AB ? 2 AC ? c ? 2b , AD ? 4. D. 5. C. 6. B.

???? ??? ?

?

???? ????

?

????

??? ?

?

?

????

1? 2? c? b; 3 3

?a ? i?

2

i ? ? a 2 ? 2ai ? 1? i ? ?2a ? ? a 2 ? 1? i ? 0, a ? ?1;

由 a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10 ? a1 ? ?4, d ? 3, S10 ? 10a1 ? 45d ? 95 ; 由 y ? ln x ? 1 ? x ? e 由y?
2? y ?1?

, f ? x ? 1? ? e2? x?1? , f ? x ? ? e2 x ;

7.D.

x ?1 2 2 1 ? 1? , y' ? ? , y ' |x?3 ? ? , ?a ? 2, a ? ?2 ; 2 x ?1 x ?1 2 ? x ?1?
5? ? ? ? ? ? sin 2 ? x ? ? , 只需将函数 y ? sin 2x 的图 12 ? ? ?

8.A.

?? 5? ? ? y ? cos ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? 3? 6 ? ?

像向左平移

5π π? ? 个单位得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像. 12 3? ?
f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) ? ? 0 , f 1 0 , f (?) ? ?1 0 ? , ) 1 (f ) 而 ( ? 则 x x

9.D. 由奇函数 f ( x ) 可知

? 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (1) ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (?1) ,又 f ( x ) 在 (0, ?) 上为
增函数,则奇函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上为增函数, 0 ? x ? 1, 或 ?1 ? x ? 0 .

10.D.由题意知直线

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b 1 1 a b

1 1 1 ? a 2 b2

≤1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

另解:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ?

cos ? sin ? ? ?1 a b

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? a b a 2 b2

11.C.由题意知三棱锥 A ? ABC 为正四面体,设棱长为 a ,则 AB1 ? 3a ,棱柱的高 1

2 3 2 6 ,故 AB1 与 AO ? a 2 ? AO2 ? a 2 ? ( ? a) ? a (即点 B1 到底面 ABC 的距离) 1 3 2 3
底面 ABC 所成角的正弦值为

A1O 2 . ? AB1 3

另解:设 AB, AC, AA 为空间向量的一组基底, AB, AC, AA 的两两间的夹角为 60 1 1 长度均为 a ,平面 ABC 的法向量为 OA1 ? AA1 ?

??? ??? ???? ? ?

??? ??? ???? ? ?

0

????

???? 1 ??? 1 ???? ???? ??? ???? ? ? AB ? AC , AB1 ? AB ? AA1 3 3

???? ???? 2 ???? 6 ???? OA1 ? AB1 ? a 2 , OA1 ? , AB1 ? 3 3 3 ????????? OA1 ? AB1 2 则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 ???? ???? ? . 3 AO AB1 1
2 3 4 12.B.分三类:种两种花有 A4 种种法;种三种花有 2A4 种种法;种四种花有 A4 种种法.共有 2 3 4 A4 ? 2 A4 ? A4 ? 84 .

另解:按 A ? B ? C ? D 顺序种花,可分 A、C 同色与不同色有 4 ? 3 ? (1? 3 ? 2 ? 2) ? 84 13.答案:9.如图,作出可行域, 作出直线 l0 : x ? 2 y ? 0 ,将 l0 平移至过点 A 处 时,函数 z ? 2 x ? y 有最大值 9. 14. 答案:2.由抛物线 y ? ax ? 1 的焦点坐标为
2

x? y ?0 x? y?3? 0

y

x?3

O

x
A(3, ?3)

x ? 2y ? 0
13 题图

(0,

1 1 1 ? 1) 为坐标原点得, a ? ,则 y ? x 2 ? 1 4a 4 4

1 ? 4 ?1 ? 2 2 3 7 25 2 2 2 15.答案: .设 AB ? BC ? 1 ,cos B ? ? 则 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 8 18 9 5 5 8 2c 3 AC ? , 2a ? 1 ? ? , 2c ? 1, e ? ? . C 3 3 3 2a 8 1 M 16.答案: .设 AB ? 2 ,作 CO ? 面ABDE, 6 N E OH ? AB ,则 CH ? AB , ?CHO 为二面角 C ? AB ? D 的平面角 A o H CH ? 3, OH ? CH ? cos ?CHO ? 1 ,结合等边三角形 ABC
与坐标轴的交点为 (0, ?1),(?2,0),(2,0) ,则以这三点围成的三角形的面积为

B
与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则 AN ? EM ? CH ? 3

D
16 题图(1)

???? 1 ???? ??? ???? 1 ???? ??? ???? ???? 1 ??? ? ? ? ? ? ? 1 ???? ??? 1 AN ? ( AC ? AB ), EM ? AC ? AE , AN ? EM ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AE ) ? 2 2 2 2 2 ???? ???? ? AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 ???? ???? ? ? z AN EM 6

C
另解:以 O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点 A(?1, ?1,0), B(1, ?1,0), E(?1,1,0), C(0,0, 2) ,

M
N
H
A

E
o
y

1 1 2 1 1 2 M (? , ? , ), N ( , ? , ), 2 2 2 2 2 2

B

D
16 题图(2)

x ???? 3 1 2 ???? ? 1 3 2 ???? ???? 1 ???? ???? ? ? 则 AN ? ( , , ), EM ? ( , ? , ), AN ? EM ? , AN ? EM ? 3 , 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 ???? ???? ? . ? AN EM 6
17.解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4 A 18.解: (1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , ? AB ? AC ,? AF ? BC , 又面 ABC ? 面 BCDE ,? AF ? 面 BCDE , G ? AF ? CE . B

E

tan ?CED ? tan ?FDC ?

2 , 2

F

C

O
18 题图

D

? ?OED ? ?ODE ? 90? ,??DOE ? 90? ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF ,? CE ? AD . (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . ? CG ? AD , CE ? AD ,? AD ? 面 CEG ,? EG ? AD , 则 ?CGE 即为所求二面角的平面角.

CG ?

6 30 AC ? CD 2 3 2 2 , DG ? , EG ? DE ? DG ? , ? 3 3 AD 3 CG 2 ? GE 2 ? CE 2 10 , ?? 2CG? GE 10

CE ? 6 ,则 cos ?CGE ?

? 10 ? ? 10 ? ??CGE ? π ? arccos ? ? ,即二面角 C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ? 10 ? ? 10 ? . ? ? ? ? ?
19. 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当a
2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

当a

2

? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , 即 f ( x ) 在 ? ??, ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递增 ? ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3
7 4

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

20.解: (Ⅰ)解:设 A 、 A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次。 1

B1 、 B2 表示依方案乙需化验 2 次、3 次;
A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。
依题意知 A2 与 B2 独立,且 A ? A ? A2 B 1
1 2 A4 1 C4 ? 2 2 C1 1 1 P( A1 ) ? 1 ? , P( A2 ) ? 2 ? , P( B2 ) ? 3 1 ? C5 5 A5 5 C5 ? 3 5 C

1 1 2 7 P( A) ? P( A1 ? A2 B2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 )?P( B2 ) ? ? ? ? 5 5 5 25 8 ? 0.72 ∴ P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 25
(Ⅱ) ? 的可能取值为 2,3。

P( B1 ) ?

3 C4 C2 3 2 ? 3 4 1 ? , P( B2 ) ? ; 3 C5 C5 ? 3 5 C 5

3 2 , P(? ? 3) ? P( B2 ) ? 5 5 3 2 12 ? 2.4 (次) ∴ E? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 5 5
∴ P(? ? 2) ? P( B1 ) ? 21. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d )2 ? m2 ? (m ? d )2 得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
a x2 y 2 (Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ? ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b
将 a ? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ?? ? ,解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ? ?4 5 ? ?? 15 ? ? ?? ?
故所求的双曲线方程为 22. 解析: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1。 36 9

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
1) 1] 由函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数,且函数 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x ) 在区间 (0, 是增

函数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得 1]

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ)(ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. 、 (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得

a? a b k a a1 ? b ? ? ai ln ai ?? a k ?ln ? k ? b k 1
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥0 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a? a b k a ?? a k ?ln k ? b k 1

a ?1 b ? ln ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ?1 b ka
i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

?1 b ka ? ??1 b 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. a ? 1 b a b( ? ? ? ln 1 a )



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