9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (1)



复习引入
(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a?b .

a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表示a ? b呢?<

br />
在直角坐标系中,已知两个非零向量a = (x1,y1), b = (x2,y2), 如何用a 与b的坐标表示a ? b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同,求

1 ① i ? i ? _____ 0 ③ j ? i ? ______

0 ②i ? j ? ______ 1 ④ j ? j ? _____
B(x2,y2)

Y

∵ a = x1 i + y1 j , b = x 2 i + y2 j

b
j O

A(x1,y1)

a ? b ? ? x1i ? y1 j ? ? ? x2 i ? y2 j ?
? x1 x2 i 2 ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2

a
X

i

? x1 x2 ? y1 y2

1、平面向量数量积的坐标表示
在坐标平面xoy内,已知

a =(x1,y1), b = (x2,y2),则

a ? b ? x1x2 ? y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例 1:已知 a=(1,√3 ), b =(– 2,2√3 ),

b 求a·

? ? ? 练习: a ? (1,2),b ? (3,?1), c ? (?3,4),


b =1×(–2)+√3×2√3=4; 解:a ·

? ? ? (?13, ?26) a(b ? c ) ? ____

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

(1).设a ? ? x, y ? , 则 a ? x 2 ? y 2 用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ?, 那么 a?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2 .

即平面内两点间的距离公式.

例 1:已知 a=(1,√3 ), b =(– 2,2√3 ),

求| a |,| b |
| a ?b |

a=

√1 +(√3 ) =2, b =√(– 2) +(2√3 ) =4,
2 2
2 2

a ? b ? (3, ? 3)
?| a ? b |? 32 ? (? 3) 2 ? 12 ? 2 3

3、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为?(0 ? ? ? 180 ),
? ?

则 cos ? ?

a ?b ab

设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.

向量夹角公式的坐标式:

a =(x1,y1), b= (x2,y2),则
cos? ? x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

例 1:已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ),

求a与b的夹角θ.
cos θ = a· b a b 1 4 = = , 2 2×4

∴ θ =60?

4、两向量垂直的坐标表示 垂直

a ? b ? a ?b ? 0

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

a与 b 垂直: a =(x1,y1), b= (x2,y2),则

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? ? ? ? 练习: ( 1, 2) a ? (3,4),b ? a, ? 且 b 起点坐标为 4 1 ? ,) 终点坐标为( x, 3x), 则 b ?( ______ 15 5
例 2:已知a=(5, 0),b=(–3.2, 2.4), 求证:(a+b)⊥b . 证明:∵(a+b)· b =a · b+b2
=5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42 ∴ =0 (a+b)⊥b

例3:已知A(1、2),B(2,3),C(2,5),

求证Δ ABC是直角三角形
证明: ∵AB = (2 - 1,3 - 2)= (1,1) AC = (2 - 1,5 - 2)= (3 ,3 ) ∴AB ? AC = 1╳(3)+ 1╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形
O C

Y
B

A X

注:两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线 是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线垂直等.

5、两向量垂直、平行的坐标表示
a =(x1,y1), b= (x2,y2),则

a // b(b ? 0) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
例4:已知 a ? ?1,2?, b ? ?? 3,2?,当k取何值时, 1). k a ? b 与 a ? 3b 垂直? 2). k a ? b 与 a ? 3b 平行? 平行时它们是同向 还是反向?

例4:已知 a ? ?1,2?, b ? ?? 3,2? ,当k取何值时, 1). k a ? b 与 a ? 3b 垂直? 2). k a ? b 与 a ? 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向?

分析:

由已知启发我们先用坐标表示向量 k a ? b和a ? 3b 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。

解:1) k a ? b ? k ?1,2? ? ?? 3,2? ? ?k ? 3,2k ? 2? a ? 3b ? ?1,2? ? 3?? 3,2? ? ?10,?4?

当 k a ? b ? a ? 3b ? 0时 这两个向量垂直 由?k ? 3??10 ? ?2k ? 2?? ?? 4? ? 0 解得k=19

?k ? ? ? ?1 ? ?3?

?

??

?

?, 使k a ? b ? ? a ? 3b 2) 当k a ? b与a ? 3b平行时, 存在唯一实数

?

1 k ?? ?? 3

?

?

1 因此 k ? ? 时, k a ? b与a ? 3b平行 , 此时它们方向相反。 3

逆向及综合运用 例5 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是

垂直于 a 的单位向量,求 b . (2)已知a ? 10, b ? (1,2),且a // b,求a的坐标. 3? (3)已知a ? (3,0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值.
3 4 3 4 答案: (1)b ? ( , ? )或b ? (? , ) 5 5 5 5

(2)( 2, 2 2)或(? 2, ?2 2)

(3)k ? ?5

提高练习
1、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB, BC ? AB ,则点C的坐标为
29 C (?3, ) 3

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩形 .

b = (-3,2), a = (1,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k = - 1 .
3、已知

小结:
(1)掌握平面向量数量积的坐标表示,

即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和; (2)要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.

a =(x1,y1), b= (x2,y2),则

???a??b ? b ? ? a ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
2.a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

3.a ? b ?| a | ? | b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2
4.(1)a ?| a | ?| a |? a ? x 2 ? y 2
2 2
2

其中a ? ( x, y)

a ?b 5.cos ? ? ? | a |?| b |

x1 x2 ? y1 y2 x ? y ? x2 ? y2
2 1 2 1 2 2

作业:
1.课本P10 8A组5(1),9,10,11.
2. (1)已知a ? (?1, 2 ? 3), b ? (1,1), 求a ? b,| a | ? | b |, a与b的夹角? ; (2)已知a ? (2,3), b ? (?2, 4), 求(a ? b) ( ? a ? b).

例1 (1)已知a ? (?1,2 ? 3 ), b ? (1,1), 求a ? b, a ? b, a与b的夹角? .

a ? b ? 1 ? 3, a ?b

a ? b ? 2 4 ? 2 3 ? 2(1 ? 3),

1 ? ? ? cos? ? ? ,? 0 ? ? ? 180 ,?? ? 60 . a?b 2

(2)已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b) ( ? a ? b) ? .
法一: a ? b ? (0,7), a ? b ? (4,?1) ? (a ? b) ( ? a ? b) ? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7. 法二:(a ? b) ( ? a ? b) ? a ?b
2 2 2 2

? a ? b ? 13 ? 20 ? ?7

1.有四个式子: ?1?0 ? a ? 0, ?2?0 ? a ? 0, ?3?a ? b ? a ? c ? b ? c,

基础训练题

?4? a ? b ? a ? b , 其中正确的个数为:
A. 4个 B.3个
2 2

D
D.1个

C. 2个

2. 已知a, b均为单位向量 , 下列结论正确的是 :B
A.a ? b ? 1
B.a ? b
C.a平行b ? a ? b

D.a ? b ? 0

3.设向量a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 有下列命题: ?1? a ? x12 ? y12 ,

?2?b

2

2 2 ? x2 ? y2 , ?3?a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , ?4?a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

其中假命题序号是: ⑵

4.若a ? ?0,1?, b ? ?1,1?且 a ? ?b ? a, 则实数?的值是 A
A.-1 B.0 C.1 D.2

?

?

能力训练
2 2

1.已知 a ? 1, b ? 4, a ? b ? a ? 0, 则a与b的夹角是 :
A.90
?

? ?

B.60?

C.120?

D.150?

2.已知 a ? 3, b ? 5, 且a ? b ? 12, 则b在a的方向上投影为___

3. 已知向量x与a ? ?2,?1?共线, 且a ? x ? ?18, 则x的坐标为_________
4.已知a与b的夹角为 30? 且 a ? 3, b ? 1, 求向量p ? a ? b与q ? a ? b的夹角的余弦 .

5.已知平面四边形 ABCD中, AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , 且a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a, 试判断四边形 ABCD的形状特征 .



更多相关文章:
1-导学案(2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
1.三维目标 (1) )知识与技能 ①掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 ②能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的...
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教案设计
课堂教学设计课 题: 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示夹角 日期:2014 年 12 月 15 日 设计 要素 设计内容 授课时数: 1 课时 教学 内容 分析平面向量...
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(公开课教学设计)
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示夹角一、教学目标 1、掌握平面向量数量积的坐标表示 2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以及垂 二、教学重点:平面...
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量数量积的坐标表示、 2.4 第 2 课时 平面向量数量积的坐标表示夹角【学习目标】 1、 掌握向量数量积的坐标表达式,会进行向量数量积的坐标运算; 2...
数学(人教版)必修四:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
了解向量的夹角等公式。 二、预习内容: 1.平面向量数量积( 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量数量积的...
教案:平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教案)教学目标 1. 知识目标: ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ⑵掌握平面向量的的坐标公式...
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
板书设计: (1)向量的 (2)平面内两点间的距离公式 (3)平面向量数量积的意义、运算律 (4)两向量垂直的坐标 表示的判断条件 (5)两向量的夹角的坐标 表示...
2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示夹角_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修...2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 a = ___或 a ___...
(课堂设计)2014-2015高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示夹角自主学习 知识梳理 1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b= ___ 2.4.2 平面向量数...
更多相关标签:
向量数量积的坐标表示    向量的数量积坐标公式    向量数量积的坐标运算    向量数量积坐标表示    向量坐标数量积    空间向量与坐标轴夹角    三维向量与坐标轴夹角    向量与坐标轴夹角    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图