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河南省许昌市五校2015-2016学年高一数学5月联考试题 文



许昌市五校联考高一下期第三次考试 数学(文科)试卷
考试时间:120 分钟 分值: 150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 为支援西部教育事业,从某校 118 名教师中随机抽取 16 名教师组成暑期西部讲师团. 若先用简单随机抽样从 118 名教师中剔除 6 名,剩下的 112 名再按系统抽样的方法 进行

,则每人入选的可能性( ) A.不全相等 C.均不相等

1 7 8 D. 都相等,且为 59
B.都相等,且为

2.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件 “甲分得红牌”与“乙分得红 牌”是( ) A.互斥但不对立事件 B.对立事件 C.不可能事件 D.必然事件 3.为了得到函数 y ? 2sin( ?

x 3

?
6

), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像

上所有的点 ( ) ? 1 A. 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 4. 设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D. c>b>a ? π π? 5.函数 f(x)=2x-tan x 在?- , ?上的图象大致是( ) ? 2 2?

A

B

C

D

6. 定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值,则 (2 cos 的值( )

5? 5? ) ? (2 tan ) 3 4

A.2

B.3

C.4

D.-1
1

7. 已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心,且 AB=3,AC=4.若存在非零实数 x、y,使得 ???? ??? ? ???? AO ? x AB ? y AC ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ∠BAC 的值为( )

1 2 3 2 B. C. D. 3 3 3 3 2 2 2 8. 若实数 a,b 满足 a +b ≤1,则关于 x 的方程 x -2x+a+b=0 有实数根的概率是 ( ) 3 1 3 1 3 1 3 1 A. + B. + C. + D. + 4 π 4 2π 5 2π 5 π
A. 9. 已知函数 f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 ,则 f (

1 2 ? 3 ? )? f ( ) ?f ? ? 2015 2015 ? 2015 ?

? 4029 ? ?? ? f ? ? 的值为( ) ? 2015 ? A. 4029 B. ?4029 C. ?8058 D. 8058 ? 10.在下列向量组中,可以把向量 a =(3,2)表示出来的是( ) ?? ? ?? ? ?? ?? A. e1 =(-1,2), e2 =(5,-2) B. e1 =(0,0), e2 =(1,2) ?? ? ?? ? ?? ?? C. e1 =(3,5), e2 =(6,10) D. e1 =(2,-3), e2 =(-2 ,3) 3? ? 上是单调 11.函数 的图象关于点 对称,且在区间
f ( x ) ? cos ? x(? ? 0)

M(

4

, 0)

[0, ] 2

2 2 1 C. 或 2 D. 或 3 3 2 2 ? ?x +2,x∈[0,1? 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)=? 且 2 ? ?2-x ,x∈[-1,0? 2x+5 f(x+2)=f(x),g(x)= ,则方程 f(x )=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之 x+2 和为( ) A.-10 B.-9 C.-8 D.-7

函数,则 ? 的值为( ) 2 1 A. B. 3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一扇形的周长等于 4 cm ,面积等于 1 cm 2 ,则该扇形的圆心角为 14.把七进制数 62(7)化为二进制数为________. 15.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=1,则 AP?AC =_________ 。 16.下列叙述: (1)函数 f ( x) ? sin(2 x ?



??? ? ??? ?

?
3

) 的一条对称轴方程 x ? ?

?
12



1 π (2)函数 y=|cos 2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 (3)函数 y=tan x 在定义域内为增函数; (4)函数 f ( x ) ?

cos x ? 3 ? ? , x ? ( ? , ) 有最小值,无最大值. cos x 2 2

则所有正确结论的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤,写在答题纸的相应位置) 17.(本小题满分 10 分)化简:

2

(1) (2)

sin3 (?? ) cos(5? ? ? ) tan( 2? ? ? ) . cos3 (?? ? 2? ) sin(?? ? 3? ) tan 3 (? ? 4? )
1 - 2sin10? cos10? sin170? - 1 - sin 2 170?
2

18.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的方程 2 x ? (1)求

?

3 ? 1 x ? 2m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? :

?

1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 的值; 1 ? sin ? ? cos ? (2)求 m 的值.
19.(本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“ 社区低碳你我他”活动.他们的年龄在 2 5 岁至 50 岁之 间.按年龄分组:第 1 组[25,30),第 2 组[30,35),第 3 组[35,40),第 4 组[40,45), 第 5 组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 人数 [25,30) 25 [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]

a

b

(1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人数分别是 多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概 率. 20.(本小题满分 12 分) 2015 年春晚过后,为了研究演员上春晚次数与受关注的关系,某网站对其中一位经常上春晚的演员 上春晚次数与受关注度进行了统计,得到如下数据: 上春晚次数 x(单位:次) 1 2 4 6 8 粉丝数量 y(单位:万人) 5 10 20 40 80

? ?a ? ? bx ? (精确到 (1)若该演员的粉丝数量 y 与上春晚次数 x 满足线性回归方程,试求回归方程 y 整数); (2)试根据此方程预测该演员上春晚 12 次时的粉丝数;
?? (参考公式: b

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

? . ? ? y ? bx ,a )

21.(本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a =(-1,2),又点 A(8,0), π? ? B(n,t),C(ksinθ ,t)?0≤θ ≤ ?. 2? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1)若 AB ⊥ a ,且| AB |= 5| OA |,求向量 OB ; ? ???? ??? ? ???? (2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求 OA ? OC .

?

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( wx ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, w ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象与

3

x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x) 的表达式;

? ? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?1) . 4 3

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来 8 的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x ) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 ,在区间

(Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? ?? ?0, 2 ? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ?

4

许昌市五校联考高一下学期第三次考试 数学试卷参考答案(文) 一、选择题: 题 1 2 3 4 5 号 答 D A C D D 案 二、填空题: 13. 2 14. 1 011 00 (2) 三、解答题: 17.解: 6 C 7 B 8 B 9 C 10 A 11 C 12 D

15.2

16.(1)(4)

(1)原式

1 ? ?5 分

(2)原 式= 1

= ? ?10 分

=-

18 解:依题得:

, ;

??2 分

(1) (2)

??6 分



??12 分

19.解:(1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35) 两组的人数相同,所以 a=25. 0.08 且 b=25?0.02=100. 25 总人数 N=0.02?5=250. ??3 分 (2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽取 的人数分别为: 25 第 1 组的人数为 6?150=1, 25 第 2 组的人数为 6?150=1, 100 第 3 组的人数为 6?150=4, 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. ?? 6 分
5

(3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B,第 3 组的 4 人分别为 C1,C2,C3,C4,则从 6 人 中抽取 2 人的所有可能结果为: (A ,B), (A, C1), (A ,C2) , (A ,C3), (A, C4) , (B, C1), (B , C2), (B, C3), (B, C4) , (C1, C2), (C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共有 15 种. 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为:(A,C1),(A,C2 ),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B, C2),(B,C3),(B,C4),共有 8 种. 8 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为15. ??12 分

20.解:(1)由题意可知,

xiyi=985,

=121, =4.2, =31,

∴ ∴

= =10x﹣11;

=10,



=31﹣4.2?10=﹣11, ??8 分

(2)当 x=12 时,

=10?12﹣11=109, ??12 分

即该演员上春晚 10 次时的粉丝数约为 109 万人. 21.解:(1)由题设知 =(n-8,t), ∵
2 2 2

⊥a,∴8-n+2t=0.

又∵| |=| |, ∴5?64=(n-8) +t =5t ,得 t=±8. 当 t=8 时,n=24; t=-8 时,n=-8, ∴ =(24,8)或 =(-8,-8). =(ksin θ -8,t), ??6 分

(2)由题设知

∵ 与 a 共线, ∴t=-2ksin θ +16, tsin θ =(-2ksin θ +16)sin θ 42 32 =-2kk + k . ??8 分 4 ∵k>4,∴0<k<1, 4 32 ∴当 sin θ =k时,tsin θ 取得最大值 k . 32 由 k =4,得 k=8, π 此时θ = 6 , =(4,8). ∴ ? =(8,0)?(4,8)=32 ??12 分

22 解:解:(1)由最低点为

得 A=1.

由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为

得 =



即 T=



??3 分

由点

在图象上得,
6









??6 分

(Ⅱ)将

的图象向右平移个

个单位后,得到

的图象,再将所得图象所有点的横坐标 的图象. ?????8 分

伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 所以 因为 ,所以 在区间 上有且只有一个实数解,即函数 或



在区间

上有且只有

一个交点,由正弦函数的图象(图略)可知 所以 或

?????10 分 ?????12 分

7



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