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宁夏银川一中2014-2015学年度高一数学上学期期末考试试题



银川一中 2014/2015 学年度(上)高一期末考试 数
一、选择题(每题 4 分,共计 48 分) 1.在直角坐标系中,直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A.30° B.60° C. 120° ) D.150°







2.在空间给出下面四个命题(其中 m,

n 为不同的两条直线, ? , ? 为不同的两个平面) ① m ? ? , n ∥? ? m ? n ③ m ∥ n,n ? ?,m ∥? ? ? ? ? ④ m ? n ? A,m ∥?,m ∥ ?,n ∥?,n ∥ ? ? ? ∥ ? 其中正确的命题个数有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 ) ② m ∥ n, n ∥ ? ? m ∥ ?

3.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 与 l 2 : 2 x ? ky ? 3 ? 0 平行,则 k 的值是( A.

1 4

B. ?

1 4

C. ? 4

D. 4

4.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1、BC 的中点.则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的正投影为( )

5.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 过点 P(1, 3) 的切线方程是 ( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0

)

B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

6. 如图,正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E,F 分别为棱 AB, CC1 的中点, 在平面 ADD1 A1 内且与平面 D1 EF 平行的直线( A.不存在 B.有 1 条
2 2

) D.有无数条 )

C.有 2 条

7.过点(2,1)的直线中,被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的最长弦所在的直线方程为( A. 3x ? y ? 5 ? 0 B. 3 x ? y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0 ) D. x ? 3 y ? 1 ? 0

8.若用半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

-1-

A.

3 3 ?R 24
?

B.

3 3 ?R 8
?

C.

5 3 ?R 24
?

D.

5 3 ?R 8

?

9.点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数( A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

10.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC, AB⊥BC 且 AB=BC=1, SA= 2 ,则球 O 的表面积是( A. ) C.

4?

B.

3 ? 4

3?

D.

4 ? 3

11.如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△ A?DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列结论 中正确的是( )

①动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A?DE ; ③三棱锥 A? ? FED 的体积有最大值. A.① B.①②
2

C.①②③

D.②③ )

12.曲线 y=1+ 4-x 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围是( 5 A.(0, ) 12 B.( 5 ,+∞) 12 1 3 C.( , ] 3 4 D.( 5 3 , ] 12 4

二、填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 13.点 P(2,7)关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点的坐标为 14.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m).则该几何体 的体积为______m . 15.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且|MA|=|MB|,则 M 的坐标是 .
3

.

16.在平面直角坐标系中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是 三、解答题(本大题共计 56 分) 17. (本题满分 8 分) 已知在平面直角坐标系中,△ ABC 三个顶点坐标分别为 A(1,3), B(5,1), C ( ?1, ?1) (I)求 BC 边的中线 AD 所在的直线方程; (II)求 AC 边的高 BH 所在的直线方程 .

18. (本题满分 8 分)

-2-

已知圆 C1:x 2 ? y 2 ? 2 和圆 C 2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点(1,1) ;圆 C 2 的圆心在射线

2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 上,圆 C 2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 。
(1)求直线 l 的方程; (2)求圆 C 2 的方程。
P

19. (本题满分 10 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°, ∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中 点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF;
B C A F

E

D

20. (本题满分 10 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 , 点 E 是棱 AB 上一点
D1 C1

(I)当点 E 在 AB 上移动时,三棱锥 D ? D1CE 的体积 是否变化?若变化,说明理由;若不变,求这个三棱锥的体积

A1 D

B1 C

(II) 当点 E 在 AB 上移动时,是否始终有 D1E ? A1D , 证明你的结论 。
A E B

21. (本题满分 10 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AB ? BB1 , AC ? BC ? BB1 , D 为 AB 的 中点,且 CD ? DA 1. (1)求证: BC1 ∥平面 DCA1 ; (2)求 BC1 与平面 ABB1 A1 所成角的大小.

22. (本题满分 10 分) 已知圆 M 的半径为 3, 圆心在 x 轴正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 M 相切 (I)求圆 M 的标准方程
-3-

( II )过点 N (0, ?3) 的直线 l 与圆 M 交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,而且满足

x12 ? x22 ?

21 x1x2 ,求直线 l 的方程 2
高一第一学期数学期末试题参考答案

一、选择题(每题 4 分,共计 48 分) 1 D 2 C 3 C 4 A 5 D 6 D 7 A 8 A 9 C 10 A 11 C 12 D

二、填空题(每题 4 分,工 16 分) 13. (-8,-3) 15. (0,-1,0) 三、解答题 17.( 本题满分 8 分) 解: (1)BC 中点 D 的坐标为 (2,0) , 所以直线 k AC ? 14. 4 16.

k??

3 4

y ? 3 x ?1 3 ? ( ?1) ? ? 2 AD 方程为: , 3x ? y ? 6 ? 0 0 ? 3 2 ?1 1 ? ( ?1)

(2)因为, BH ? AC ,所以 kBH ? ?

1 2

所以直线 BH 方程为: y ? 1 ? ? ( x ? 5) , x ? 2 y ? 7 ? 0 18.( 本题满分 8 分) 解: (1)?点(1,1)在圆C1:x 2 ? y 2 ? 2上 ,? 直线l的斜率k ? ?1

1 2

?直线l的方程为x ? y ? 2 ? 0
(2)由已知可设 C2 (a,2a)

? r 2 ? 5a 2 (a ? 0) ,?圆C 2过原点,

圆C2: ( x ? a)2 ? ( y ? 2a)2 ? 5a 2
圆心C 2到l之距d ? ?12 ? | 3a ? 2 | ,又弦长为 4 3 2

(3a ? 2) 2 ? 5a 2 , 得a ? 2或a ? ?14 2
2 2

又 a ? 0,? a ? 2,?圆C2的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20

-4-

19.(本题满分 10 分) 【解】 (Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60°, 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=
1 1 AB ? BC ? AC ? CD 2 2
1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3
F A B C M D

∴BC= 3 ,AC=2.
P

E

1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3. 2 2 2

(Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD.

∴AF⊥PC.

∵AC⊥CD,PA∩AC=A,

∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC.

∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ∵AF∩EF=F, ∴PC⊥平面 AEF.

20.(本题满分 10 分) 解: (I)三棱锥 D ? D1CE 的体积不变, S?DCE ? 所以 VD ? D1CE ? VD1 ? DCE ?

1 1 DC ? AD ? ? 2 ?1 ? 1, DD1 ? 1 2 2
D1 A1 D B1 C C1

1 1 1 S?DCE ? DD1 ? ? 1 ? 1 ? 3 3 3

(II)当点 E 在 AB 上移动时,始终有 D1E ? A1D , 证明:连结 AD1 ,四边形 ADD1 A1 是正方形,所以 A1D ? AD1 , 因为 AE ? 平面ADD1A1 , A 1D ? 平面ADD 1A 1 ,? A 1D ? AB ,

A

E

B

? AB ? AD1 ? A, AB ? 平面AD1E, AD1 ? 平面AD1E,? A1D ? 平面AD1E

? D1E ? 平面AD1E,? D1E ? A1D
21.(本题满分 10 分) ⑴证明:如图一,连结 AC1 与 A1C 交于点 K ,连结 DK . 在△ ABC1 中, D 、 K 为中点,∴ DK ∥ BC1 . 又 DK ? 平面 DCA1 , BC1 ? 平面 DCA1 ,∴ BC1 ∥平面 DCA1 .
A A1
A A1

A F

A1

D C B

K C1 B1
B

D C

E C1 B1

D C B

K C1 B1

图一

图二

图三

⑵证明:(方法一)如图二,∵ AC ? BC , D 为 AB 的中点,∴ CD ? AB .
-5-

又 CD ? DA1 , AB ? DA1 ? D ,∴ CD ? 平面 ABB1 A1 . 取 A1B1 的中点 E ,又 D 为 AB 的中点,∴ DE 、 BB1 、 CC1 平行且相等, ∴ DCC1 E 是平行四边形,∴ C1 E 、 CD 平行且相等. 又 CD ? 平面 ABB1 A1 ,∴ C1 E ? 平面 ABB1 A1 ,∴∠ EBC1 即所求角. 由前面证明知 CD ? 平面 ABB1 A1 ,∴ CD ? BB1 , 又 AB ? BB1 , AB ? CD ? D ,∴ BB1 ? 平面 ABC ,∴此三棱柱为直棱柱. 设 AC ? BC ? BB1 ? 2, ∴ BC1 ? 2 2 , EC1 ? 2 ,∠ EBC1 = 30? .

(方法二)如图三,∵ AC ? BC , D 为 AB 的中点,∴ CD ? AB . 又 CD ? DA1 , AB ? DA1 ? D ,∴ CD ? 平面 ABB1 A1 . 取 DA1 的中点 F ,则 KF ∥ CD ,∴ KF ? 平面 ABB1 A1 . ∴∠ KDF 即 BC1 与平面 ABB1 A1 所成的角. 由前面证明知 CD ? 平面 ABB1 A1 ,∴ CD ? BB1 , 又 AB ? BB1 , AB ? CD ? D ,∴ BB1 ? 平面 ABC ,∴此三棱柱为直棱柱. 设 AC ? BC ? BB1 ? 2, ∴ KF ? 22.(本题满分 10 分) 解(I)设圆心为 M (a,0)(a ? 0) ,

2 , DK ? 2 ,∴∠ KDF ? 30? . 2
| 3a ? 9 | 32 ? ( ?4)2

? 3, a ? 2, ?8

因为 a ? 0 ,所以 a ? 2 ,所以圆的方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 (II)当直线 L 的斜率不存在时,直线 L: x ? 0 ,与圆 M 交于 A(0, 5), B(0, ? 5) 此时 x1 ? x1 ? 0 ,满足 x12 ? x22 ?

21 x1 x2 ,所以 x ? 0 符合题意 2

当直线 L 的斜率存在时,设直线 L: y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 消去 y,得 ( x ? 2)2 ? (kx ? 3)2 ? 9, ? 2 2 ?( x ? 2) ? y ? 9
整理得: (1 ? k 2 ) x2 ? (4 ? 6k ) x ? 4 ? 0 所以 x1 ? x2 ?

4 ? 6k 4 , x1 x2 ? 2 1? k 1? k2 25 4 ? 6k 2 25 4 21 ) ? ? x1 x2 得: ( x1 ? x2 ) 2 ? x1 x2 ,( 2 2 1? k 2 1? k2 2
-6-

由已知 x12 ? x22 ?

2 整理得: 7k ? 24k ? 17 ? 0,? k ? 1,

17 7

把 k 值代入到方程(1)中的判别式 ? ? (4 ? 6k )2 ? 16(1 ? k 2 ) ? 48k ? 20k 2 中, 判别式的值都为正数,所以 k ? 1, 即 x ? y ? 3 ? 0,17 x ? 7 y ? 21 ? 0 综上:直线 L 为: x ? y ? 3 ? 0,17 x ? 7 y ? 21 ? 0 , x ? 0

17 17 x ? 3, ,所以直线 L 为: y ? x ? 3, y ? 7 7

-7-



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