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河南省南阳市部分示范高中(五校)2015-2016学年高一上学期第一次联考数学试题



2015—2016 学年五校联考高一年级数学试题
(满分 150 分,时间 120 分钟)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M ? N =( ) A. (﹣2,1) B.(﹣

1,1) C.(1,3) 2.满足 A∪{﹣1,1}={﹣1,0,1}的集合 A 共有( ) A. 4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 D.(﹣2,3)

3.已知集合 A ? {x | ax2 ? 2x ? a ? 0.a ? R} ,若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是 ( ) A. 1 B.﹣1 C.0 或 1 D.﹣1,0 或 1 4.下列图形中,不能表示以 x 为自变量的函数图象的是( )

(A) (B) 5.下列各组函数表示相同函数的是( A.f(x)= x2,g(x)=( x)2
? ?x,x≥0, g (t ) ?| t | C.f(x)=? ?-x,x<0, ?

(C) ). B.f(x)=1,g(x)=x2 x2-1 D.f(x)=x+1,g(x)= x-1

(D)

6.若 f ( x ) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f ( 2) 的值为( A. 1 B. ?1 C. ?

1 x



3 2

D.

3 2


7.已知函数 f ( x ) 的定义域为(﹣1,0),则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为( A. ( ?1,1) B.(0, ) C. (?1,0)

D. ( ,1) ).

cx 3 8.函数 f(x)= (x≠- )满足 f ( f ( x)) ? x ,则常数 c 等于( 2 2x+3 A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3

9.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1)

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( x+1 C.(0,1) D.(0,1]

).

B.(-1,0)∪(0,1]

10. f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,则不等式 f ( x) ? f [8( x ? 2)] 的解集是( A. (0,??) 11.已知函数 f ( x) ? A. ? 12 ? a ? 0 B.(0,2)
3



C.(2,+∞)

D. ( 2,

16 ) 7


3x ? 1 的定义域是 R ,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
2

B. a ?

1 3

C. ? 12 ? a ? 0

D. a ?

1 3


?? x 2 ? ax ? 5 ( x ? 1) ? 12.已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( ( x ? 1) ? ? x
A. ? 3 ? a ? 0 B. ? 3 ? a ? ?2 C. a ? ?2 D. a ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 f ( x) ? ? 14.函数 f ( x) ?

5 x ?1 ) ? x ?( ,则 f [ f (1)] =________. 2 1 x ?1 ) ?2 x ?(
4 ? 2x ? 1 的定义域是______________. x ?1

15.设集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则右图中阴影部分表示的集合为_________. 16 . 对 任 意 两 个 实 数 x1 , x2 , 定 义

? x , x1 ? x2 , 若 f(x) = x2 - 2 , max{x1 , x2 } ? ? 1 x , x ? x 1 2 ? 2
g ( x) ? ? x ,则 max{f(x),g(x)}的最小值为__________.

第Ⅱ卷
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分)已知 A={x|x2+(2+p)x+1=0,x∈R},若 A∩(0,+∞)=?,求 p 的取 值范围.

18. (本小题 12 分) 已知集合 A ? { y | y ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1} , B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}. 分 别根据下列条件,求实数 a 的取值范围. (1)A∩B=A;(2) A ? B ? ? .

19.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 , x ?[?5,5] . (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的最大值与最小值; (2)求函数 f ( x) 的最小值 g ( a ) .

20.(本小题 12 分)甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家 到公园的距离都是 2km,甲 10 时出发前往乙家.如图:所示,表示甲从家出发到乙家为止 经过的路程 y(km)与时间 x(分)的关系.试写出 y ? f ( x) 的函数解析式.

ax-1 21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)= . x+1 (1)若 a=-2,试证:f(x)在(-∞,-2)上单调递减. (2)函数 f(x)在(-∞,-1)上单调递减,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题 12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均 有 f(x)≥0 成立. (1)求 f(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围.

2015—2016 学年五校联考高一年级数学试题答案
(满分 150 分,时间 120 分钟)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M ? N =( B ) A. (﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3) 考点: 交集及其运算. 解析:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M ? N ={x|﹣1<x<1}, 故选:B 2.满足 A∪{﹣1,1}={﹣1,0,1}的集合 A 共有( A ) A. 4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 考点:并集及其运算. 解析:∵A∪{﹣1,1}={﹣1,0,1} ∴A={0}或 A={0,﹣1}或 A={0,1}或 A={﹣1,0,1},共 4 个. 故选:A. 3.已知集合 A ? {x | ax2 ? 2x ? a ? 0.a ? R} ,若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是 ( D ) A. 1 B.﹣1 C.0 或 1 考点: 子集与真子集. 解析:由题意可得,集合 A 为单元素集, D.﹣1,0 或 1

(1)当 a=0 时,A={x|2x=0}={0},此时集合 A 的两个子集是{0}, ? , (2)当 a≠0 时 则△ =0 解得 a=±1, 当 a=1 时,集合 A 的两个子集是{1}, ? , 当 a=﹣1,此时集合 A 的两个子集是{﹣1}, ? . 综上所述,a 的取值为﹣1,0,1. 故选:D. 5.下列图形中,不能表示以 x 为自变量的函数图象的是( B )

(A) (B) (C) (D) 考点: 函数的概念及其构成要素. 解析:B 中,当 x>0 时,y 有两个值和 x 对应,不满足函数 y 的唯一性,A,C,D 满足函数的 定义, 故选:B 5.下列各组函数表示相同函数的是( C ). A.f(x)= x2,g(x)=( x)2
? ?x,x≥0, C.f(x)=? g(t)=|t| ?-x,x<0, ?

B.f(x)=1,g(x)=x2 x2-1 D.f(x)=x+1,g(x)= x-1

解析:A 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和[0,+∞),不相同; B 选项中的两个函数的对应法则不一致; D 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和{x|x≠1},不相同,尽管它们的对应法则一致,但也 不是相同函数; C 选项中的两个函数的定义域都是 R,对应法则都是 g(x)=|x|,尽管表示自变量的字母不同, 但它们依然是相同函数. 故选:C 6.若 f ( x ) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f ( 2) 的值为( B ) A. 1 B. ?1 C. ?

1 x

3 2

D.

3 2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 解析:∵ f ( x ) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,

1 x

1 ? ? f (2) ? 2 f ( 2 ) ? 6 ∴? 1 3 ? f ( ) ? 2 f (2) ? 2 ? 2
故选:B.

∴ f (2) ? ?1 ,

7.已知函数 f ( x ) 的定义域为(﹣1,0),则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为( B ) A. ( ?1,1) B.(0, ) C. (?1,0) D. ( ,1)

考点:函数的定义域及其求法. 解析:∵原函数的定义域为(﹣1,0), ∴﹣1<2x﹣1<0,即 ?

? 2x ?1 ? 0 1 ,解得 0 ? x ? . 2 ?? 1 ? 2 x ? 1
1 2

∴函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 ( 0, ) . 故选 B. cx 3 8.函数 f(x)= (x≠- )满足 f ( f ( x)) ? x ,则常数 c 等于( 2 2x+3 A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3 B ).

考点:函数值。

? ? c2x 解析:f(f(x))= = =x,即 x[(2c+6)x+9-c2]=0, cx 2 cx + 6 x + 9 2?2x+3?+3 ? ?
? ?2c+6=0, 所以? 解得 c=-3. 2 ?9-c =0, ?

cx c?2x+3?

故选:B 9.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1) a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是(D). x+1 C.(0,1) D.(0,1]

B.(-1,0)∪(0,1]

考点:函数的单调性,集合的运算. 解析:f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于 g(x),只有当 a>0 时,它有两个减区间为(-∞,-1) 和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可,则 a 的取值范围是 0<a≤1. 故选:D 10. f ( x ) 是定义在 (0,??) 上的增函数,则不等式 f ( x) ? f [8( x ? 2)] 的解集是( D ) A. (0,??) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(2, )

考点:函数单调性的性质.

解析:由 f ( x ) 是定义在(0,+∞)上的增函数得,

解得: 2 ? x ?

16 7

故选 D. 11.已知函数 f ( x) ? A. ? 12 ? a ? 0

3x ? 1 的定义域是 R ,则实数 a 的取值范围是( A ) ax ? ax ? 3
3 2

B. a ?

1 3

C. ? 12 ? a ? 0

D. a ?

1 3

考点:函数的定义域及其求法. 解析:由 a=0 或 可得﹣12<a≤0, 故选 A.

?? x 2 ? ax ? 5 ( x ? 1) ? 12.已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是(B) ( x ? 1) ? ? x
A. ? 3 ? a ? 0 B. ? 3 ? a ? ?2 C. a ? ?2 考点:函数单调性的性质;二次函数的性质. D. a ? 0

?? x 2 ? ax ? 5 ( x ? 1) ? 解析:∵函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数 ( x ? 1 ) ? ? x
设 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5(x≤1),h(x)= (x>1) 由分段函数的性质可知,函数 g(x)=﹣x ﹣ax﹣5 在(﹣∞,1]单调递增,函数 h(x)= 在 (1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1)
2 2





解可得, ? 3 ? a ? ?2 故选 B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 f ( x) ? ?

5 x ?1 ) ? x ?( ,则 f [ f (1)] =8. 2 1 x ?1 ) ?2 x ?(

考点:函数值. 解析:∵f(1)=2+1=3,∴f[f(1)]=f(3)=3+5=8,故答案为:8 14.函数 f ( x) ?

4 ? 2x ?

1 的定义域是____________________________________(﹣∞, x ?1

﹣1)∪(﹣1,2]. (要求用区间表示)

考点:函数的定义域及其求法. 解析:要使原函数有意义,需要: ?

?4 ? 2 x ? 0 解得:x<﹣ ? x ?1 ? 0

1 或﹣1<

x≤2, 所以原函数的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2]. 故答案为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2]. 15.设集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为 _________;{x|1≤x<2} 考点:集合的运算,Venn 图. 解析:阴影部分是 A∩?RB.集合 A={x|-4<x<2}, ?RB={x|x≥1},所以 A∩?RB={x|1≤x<2}. 答案:{x|1≤x<2} 16.对任意两个实数 x1,x2,定义 max{x1,x2}=? 则 max{f(x),g(x)}的最小值为____-1____. 考点:函数的最值问题. 解析:f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2, 当 x2-2-(-x)=x2+x-2≥0 时,x≥1 或 x≤-2; 当-2<x<1 时,x2+x-2<0,即 f(x)<g(x),
?-x,-2<x<1, ? 所以 max{f(x),g(x)}=? 2 ?x -2,x≥1或x≤-2, ? ?x1,x1≥x2, ? ? ?x2,x1<x2,

若 f(x)=x2-2,g(x)=-x,

作出图像如图所示,由图像可知函数的最小值在 最小值为 f(1)=-1. 答案 -1

A 处取得,所以

第Ⅱ卷
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分)已知 A={x|x2+(2+p)x+1=0,x∈R},若 A∩(0,+∞)=?,求 p 的取 值范围. 考点:集合的运算及一元二次方程的根. 2 解析:①若 A=? ,则Δ=(p+2) -4<0,得-4<p<0.………………………4 分 ②若方程的两个根为非正实数, Δ≥0, ? ? 则?x1+x2=-?p+2?≤0, ? ?x1x2=1>0. 解得 p≥0. ………………………………9 分

综上所述,p 的取值范围是{p|p>-4}.…………………………………………10 分 18. (本小题 12 分) 已知集合 A ? { y | y ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1} , B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}. 分 别根据下列条件,求实数 a 的取值范围. (1)A∩B=A;(2) A ? B ? ? . 考点:集合及集合的运算,函数的值域 解析:因为集合 A 是函数 y=2x-1(0<x≤1)的值域,所以 A=(-1,1],B=(a,a+3).
? ?a≤-1, ? (1)A∩B=A? A? B? ?a+3>1, ?

即-2<a≤-1,故当 A∩B=A 时,a 的取值范围是(-2,-1].……6 分 (2)当 A ? B ? ? 时,结合数轴知,a≥1 或 a+3≤-1,即 a≥1 或 a≤-4. 故当 A ? B ? ? 时,a 的取值范围是(-4,1). ……12 分

19.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 , x ?[?5,5] . (1)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的最大值与最小值; (2)求函数 f ( x) 的最小值 g ( a ) . 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 解析: (1)当 a=﹣1 时,∵函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ? ( x ?1)2 ? 1 ,x∈[﹣5,5], 故当 x=1 时,函数 f ( x) 取得最小值为 1, 当 x=﹣5 时,函数 f ( x) 取得最大值为 37. …………………………2 分

( 2 ) 当 ? a ? ?5 , 即 a ? 5 时 , 函 数 f ( x) 在 区 间 [ ﹣ 5 , 5] 上 是 单 调 增 函 数 , 最 小 值

g (a) ? f (?5) ? 27 ? 10a .

…………………………5 分

当 ? 5 ? ? a ? 5 , 即 ? 5 ? a ? 5 时 , 函 数 f ( x) 在 区 间 [ ﹣ 5 , 5] 上 的 最 小 值

g (a) ? f (?a) ? 2 ? a 2 .

…………………………8 分

当 ? a ? 5 , 即 a ? ?5 时 , 函 数 f ( x) 在 区 间 [ ﹣ 5 , 5] 上 是 单 调 减 函 数 , 故 最 小 值

g (a) ? f (5) ? 27 ? 10a .

…………………………11 分

?27 ? 10a ( a ? ?5) ? 2 (?5 ? a ? 5) 综上可得, g ( a ) ? ? 2 ? a ?27 ? 10a ( a ? 5) ?

………………………………12 分

20.(本小题 12 分)甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家 到公园的距离都是 2km,甲 10 时出发前往乙家.如图:所示,表示甲从家出发到乙家为止 经过的路程 y(km)与时间 x(分)的关系.试写出 y=f(x)的函数解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 解析:当 0≤x≤30 时,设 f ( x) =kx,将(30,2)代入可得 k= ∴ f ( x) ? ,

1 x 15

……………………………………………………4 分 ………………………………………………2 分

当 30<x≤40 时, f ( x) =2;

当 40<x≤60 时,设 f ( x) ? m x ? b ,则将(40,2),(60,4)代入可得, ,即 f ( x) ?



,解得

1 x ? 2 .………………………10 分 10

综上



………………………………12 分

ax-1 21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)= . x+1

(1)若 a=-2,试证:f(x)在(-∞,-2)上单调递减. (2)函数 f(x)在(-∞,-1)上单调递减,求实数 a 的取值范围. 考点:函数的单调性。 解析:(1)证明 任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= -2x1-1 -2x2-1 ?x1-x2? - =- . x1+1 x2+1 ?x1+1? ? x2+1?

∵(x1+1)(x2+1)>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递减. ………………………………………………6 分

ax-1 a+1 (2)f(x)= =a- ,设 x1<x2<-1, x+1 x+1

? a+1 ?-?a- a+1 ? 则 f(x1)-f(x2)=?a- ? ? ? ? x1+1? ? x2+1?
= a+1 a+1 ?a+1? ? x1-x2? - = , x2+1 x1+1 ?x1+1? ? x2+1?

又函数 f(x)在(-∞,-1)上是减函数, 所以 f(x1)-f(x2)>0. 由于 x1<x2<-1, ∴x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, ∴a+1<0,即 a<-1. 故 a 的取值范围是(-∞,-1). ………………………………………………12 分

22.(本小题 12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均 有 f(x)≥0 成立. (1)求 f(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 考点:二次函数及其性质 解析:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵对任意实数 x 均有 f(x)≥0 恒成立, ∴?

?a ? 0 ……………………………………6 分 2 ? ? ? (a ? 1) ? 4a ? 0 ? a?0 ∴a=1,从而 b=2, 2 ?? ? (a ? 1) ? 0

∴?

∴f(x)=x2+2x+1,………………………………8 分 (2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, ∴ k-2 k-2 ≤-2 或 ≥2,解得 k≤-2 或 k≥6. 2 2 ……………………12 分

故 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).

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