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3.1.2导数的概念



第三章 导数及其应用

3.1.2 导数的概念
1

平均速度不一定能反映物体在某一时刻
的运动情况。 自由落体运动中,物体在不同时刻的 速度是不一样的。 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

2

例1、自由落体运动的运动方程为s=

1 2 2 gt ,



计算t从3s到3.1s, 3.01s , 3.001s 各段时间
内的平均速度(位移的单位为m)。 解:设在[3,3.1]内的平均速度为v1,则

△t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
3

?s1 0.305g ? ? 3.05g (m / s) 所以 v1 ? ?t1 0.1

?s2 0.03005g v2 ? ? ? 3.005g (m / s) 同理 ?t2 0.01

?s3 0.0030005 g v3 ? ? ? 3.0005g (m / s) ?t3 0.001

4

例1是计算了[3,3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
解:设在[2.9,3]内的平均速度为v4,则 △t1=3-2.9=0.1(s) △s1=s(3)-s(2.9)= 0.5g×32-0.5g×2.92 =0.295g(m)
5

所以

?s4 0.295g v4 ? ? ? 2.95g (m / s) ?t4 0.1

设在[2.99,3]内的平均速度为v5,则
?s5 0.02995 g v5 ? ? ? 2.995g (m / s) ?t5 0.01

设在[2.999,3]内的平均速度为v6,则
?s6 0.0029995 g v6 ? ? ? 2.9995g (m / s) ?t6 0.001
6

各种情况的平均速度 △t>0 0.1 0.01 0.001 v3.05g 3.005g 3.0005g △t<0 -0.1 -0.01 -0.001 v 2.95g 2.995g 2.9995g

当△t→0时,

物体的速度趋近于一个确定的值3g
7

在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于

在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度
当△t→0的极限, ?s g v ? lim ? lim ?6 ? ?t ? ? 3g ? 29.4?m / s ? ?t ?0 ?t ?t ?0 2

8

一般结论 设物体的运动方程是 s=s(t),

物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,

当△t→0 时平均速度的极限 ,即
?s s ?t ? ?t ? ? s ?t ? v ? lim ? lim ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t
9

10

例2、

y

y ? f ( x)

相交

o

P

x
再来一次
11

y ? f ( x)

y

Q Q Q P
再来一次
?x? x2x 3 ?

T

o

1

x
12

上面我们研究了切线的斜率问题,
可以将以上的过程概括如下: 设曲线C是函数 y=f(x) 的图象, 在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点 Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线,

则直线PQ的斜率为
( y0 ? ?y) ? y0 ?y k PQ ? ? ? xQ ? xP ( x0 ? ?x) ? x0 ?x
13

yQ ? yP

当直线PQ转动时,Q逐渐向P靠近,

也即△x 变小
当△x→0时,PQ无限靠近PT 因此:
k PT ? lim k PQ
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

14

k PT ? lim k PQ
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?s s ?t ? ?t ? ? s ?t ? v ? lim ? lim ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t

一般地,

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

15

上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数 记作: f ?? x0 ? 或 y ? x ? x0 即
f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ??x0 ? ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

16

注意:
1、函数应在点的附近有定义,

否则导数不存在。

2、在定义导数的极限式中,△x趋近于0

可正、可负,但不为0,而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念,它只与函数在x0 及其附近的函数值有关,与△x无关。
17

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 4、若极限 ?lim 不存在,则称 x ?0 ?x

函数在点x0处不可导。

18

物体的运动方程 s=s(t)在t0处的导数

即在t0处的瞬时速度vt0
函数y=f(x)在x0处的导数 即曲线在x0处的切线斜率.

19

导数可以描述任何事物的瞬时变化率. 瞬时变化率除了瞬时速度,切线的斜率 还有:点密度,国内生产总值(GDP)的增 长率,经济学上讲的一切边际量 等.

20

例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品,需要对原油进行冷却和加 热。如果第xh时,原油的温度(单位:℃) 为f(x)=x2-7x+15 (0?x ?8).计算第2h和第6h 时,原油温度的瞬进变化率,并说明它们 的意义。 解:第2h和第6h时,原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义:
21

?f f ( 2 ? ? x ) ? f ( 2) ? ?x ?x

f(x)=x2-7x+15

(2 ? ?x) 2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x

4?x ? ?x 2 ? 7?x ? ?x

? ?x ? 3
?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 所以,f ?(2) ? ?lim x ?0 ?x ?x ?0

同理可得

f '(6)=5
22

f ?(2) ? ?3

说明在第2h附近,原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降;

f '(6)=5

说明在第6h附近,原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升;

23

练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛
1 2 运动的物体,t秒时的高度为h(t)=v0t-2 gt ,

求物体在时刻t0时的瞬时速度。
1 1 2 2 ? ?h ? v0 (t0 ? ?t ) ? g (t0 ? ?t ) ? v0t0 ? gt 0 2 2

1 2 ? (v0 ? gt 0 )?t ? g?t 2

24

?h 1 ? ? v0 ? gt 0 ? g?t ?t 2
?h 当?t ? 0时, ? v0 ? gt 0 ?t

所以 物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.

25

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在

点x0处的导数的方法是:
(1)求函数的增量 ?y ? f ?x0 ? ?x? ? f ?x0 ? ?y f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? (2)求平均变化率 ?x ? ?x

(3)取极限,得导数

?y f ?? x 0 ? ? lim ?x ? 0 ?x
26

练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动
(位移单位:m , 时间单位:s).若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。 a=2

27

小 结:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 的定义。 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在 点x0处的导数的方法是: (1)求函数的增量 (2)求平均变化率 (3)取极限,得导数
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