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立体几何第二讲球体测试题(含答案)



立体几何练习题

第二节
一,选择题



1.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 ,则球的表面积是( ) A. 8? cm
2

B. 12? cm

2

C. 16? cm

2

D. 20? cm

2

3.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 : 27 B. 2 : 3 C. 4 : 9 D. 2 : 9 4.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( ) A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2
0

5.已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60 二面角的平面 ? 截该球面得圆 N,若 该球面得半径为 4,圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为( A. 7? B. 9? C. 11? D. 13? )

6.高为 2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S,A,B,C,D 均在半径为 1 的同 一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( A. )

10 2

B.

2? 3 2

C.

3 2

D.

2

二,填空题 1.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 2.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 3.已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正 方形。若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 4. 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 AB ? AC ? AA1 ? 2 ,

?BAC ? 1200 ,则球的表面积为______________.
5.已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直, 则球心都到截面 ABC 的距离为______________. 三,简答题 1,正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,内有一个球与它的四个面都相切,求内切球的表 面积和体积。

1

立体几何练习题

球答案
一 。选择题

1.【答案】B
【解析】球半径 r ? 1 ? ( 2 ) ?
2

4 3 ,所以球的体积为 ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? ,选 B. 3

2.B

正 方 体 的 顶 点 都 在 球 面 上 , 则 球 为 正 方 体 的 外 接 球 , 则 2 3 ? 2R ,

R ? 3, S ? 4? R 2 ? 12?
3.C

V1 : V2 ? 8 : 27, r1 : r2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9

4.A 解析:本题考查与球有关的组合体与球的性质及空间几何体体积的运算,难度中等

据题意得

2 3 3 CD = ? ?1 ? , 3 2 3 故 OD ? CO ? CD ? 1 ? (
2 2

3 2 6 ) ? , 3 3

因此顶点 S 到底面 ABC 的距离为

h ? 2 OD ?

2 6 1 3 2 2 6 2 , 故VS ? ABC ? ? ?1 ? ? . 3 3 4 3 6

5.D[命题立意]本小题主要考察球的半径,球心到截面的距离和截面圆半径间的关系;二面 角的平面角以及相关的平面几何知识的综合应用能力,解题关键是确定二面角的位置。 解析: 设圆 N 的半径为 r, 球心为 O, 平面 ? ? ? ? AB , 其中线段 AB 是圆 M 的一条直径, 联接 OM,ON,MN,NA,NB,则有 NA=NB;又 M 为 AB 的中点, 于是又 NM ? AB ,过点 M 在平 面

?





AB





线





M





C



?NMC ? 600.又AB ? OM , AB ? ON ,因此AB ? 平面OMN ; 又AB ? 平面CMN , 因 此
平面 OMN 与平面 CMN 重合,即点 O,C,M,N 四点共面,在四边形 OCMN 中,

?OMN ? ?OMC ? ?NMC ? 900 ? 600 ? 300,?ONM ? 900, 1 OM ? 42 ? 22 ? 2 3,ON ? OM ? 3. 2
因此, 球心 O 到截面 ? 的距离等于 ON ? 3 ,截面圆 N 的半径 r ? 的面积等于 ? r ? 13? ,选 D
2

42 ? 3 ? 13, 截面圆 N

6.A[命题立意]本小题主要考察考生的空间想象力以及如何有效的利用已知条件恰当的将空
2

立体几何练习题

间问题平面化,从而借助于平面几何知识将相关问题解决。 解析:设题中的球的球心为 O,球心 O 与顶点 S 在底面 ABCD 上的射影分别是 O1 ,E,联接 OA,OB,OC,OD,OS,则有 OA=OB=OC=OD=OS=1,点 O1 是底面正方形 ABCD 的中心,

OO1 ? SE , 且OO1 ? OA2 ? OO1 A2 ? 12 ? (

2 2 2 ) ? , SE ? 2 . 2 2

在直角梯形 O O1 ES 中,作 OF ? SE ,于点 F,则四边形 O O1 ES 是矩形,

2 2 2 , SF ? SE ? EF ? 2 ? ? . 2 2 2
EF= O O1 = 在RT ?SOF中,OF 2 ? OS 2 ? SF 2 ? 1 ? (

2 2 1 ) ? , 2 2

即O1 E ?
选A 二,填空题 1. 8

2 2 10 .在RT ?SO1中,SO1 = O1E 2 ? SE 2 ? ( ) 2 ? ( 2) 2 ? , 2 2 2

r2 ? 2r1 ,V2 ? 8V1
r1 : r2 : r3 ? 1: 2 : 3, r 31 : r23 : r33 ? 13 : ( 2)3 : ( 3)3 ? 1: 2 2 : 3 3

2. 1: 2 2 : 3 3 3.【答案】 3 3

【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能 力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。 【解析】点 P、A、B、C、D为球O内接长方体的顶点,

球心O为该长方体对角线的中点, 1 ??OAB的面积是该长方体对角面面积的 , 4

1 ? AB ? 2 3, PA ? 2 6, ? PB ? 6, ??OABD面积= ? 2 3 ? 6=3 3 4
【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化 为长方体来考虑就容易多了。 4. 20? 5.

3 【命题立意】 本题考查正三棱锥的结构特点与球的相关知识, 同时考查了空间想象力, 3
3

立体几何练习题

难度较大。 解析:因为 PA,PB,PC 两两互相垂直,故正三棱锥 P-ABC 的外接球即是以 PA,PB,PC 为棱的 正 方 体 的 外 接球 , 所 以球 心 到 截 面 ABC 的 距离 即 为 球 半 径减 去 正 三棱 锥 的 高 。设 PA=PB=PC=a,则 3a ? 4 R ? 12 ,所以 a=2,设正三棱锥 P-ABC 的高为 h,则
2 2

1 1 1 3 2 3 V ? ? a3 ? ? (2 2) 2 h, 解得h= , 3 2 3 4 3
故球心到截面 ABC 的距离为 3 ?

2 3 3 ? . 3 3

三,简答题 1,解析:设正三棱锥 P-ABC 的内切球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而 O 点到三棱锥的四个 面的距离都为球的半径 r,

?VP ? ABC ? VO ? PAB ? VO ? PBC ? VO ? PAC ? VO ? ABC 1 1 1 ? ? S侧 ? r ? ? S ABC ? r= ? S表 ? r ? (3 2 ? 2 3)r 3 3 3 1 1 3 又VP ? ABC ? ? ? (2 6) 2 ? 1 ? 2 3, 3 2 2 ? (3 2 ? 2 3) r ? 2 3, 得r ? 2 3 2 3(3 2 ? 2 3) ? ? 6 ? 2. 18 ? 12 3 2?2 3

2 ? S内切球 =4? ( 6-2) =(40-16 6)? .

4 3 8 V内切球 = ? ( 6-2) = (9 6-22)? . 3 3

4



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