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正余弦函数的性质1



1.4.2正弦、余弦函数的性质
单调性、奇偶性、最值

知识回顾:
y
1-

正、余弦函数图像特征:

y ? sin x x ?[0,2? ]
? 6

-1

o
-1 -

?

?


2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

注意:函数图 像的凹凸性!
?
2

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: (
,1)

最低点: ( 3? ,?1)
2

与x轴的交点: (0,0) (? ,0) (2? ,0)

余弦函数 图像特征:
-1

y

y ? cos x
-

x ?[0, 2? ]

1-

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

在函数 y ? cos x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有:
最高点: (0,1) (2? ,1) 最低点:
( 3? , 0) 2

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

注意:函数图 像的凹凸性!

(? , ?1)

与x轴的交点: (

?
2

, 0)

重要知识点一:定义域,值域,周期性
一、正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域

R


y=cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

域 [ - 1, 1 ]

周期性 T = 2?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

重要知识点二:奇偶性

y=sinx (x?R) 图象关于原点对称

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx

重要知识点二:奇偶性
二、正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx (x?R) 是偶函数

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

重要知识点三:单调性
三、正弦函数的单调性
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R)
? ? ?? ? 增区间为 [[? +2k?, 2 +2k?],k?Z 其值从-1增至1 , ] 2 2 2 3? ? ? 3? 减区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z 其值从 1减至-1 , ] 2 2 2

重要知识点三:单调性
三、余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cosx

-? -1



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

0

0

y=cosx (x?R) 增区间为 [

? +2k? , 2?

+2k?],k?Z 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z ,

重要知识点三:单调性

单调性
y=sinx在每一个闭区间[一个闭区间[
? +2kπ, 2

(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每
3? +2kπ] (k∈Z)上都是 2

? +2kπ, 2

? +2kπ] 2

减函数,其值从1减小到-1.

y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个 闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上都是减函数,其

值从1减小到-1.

重要知识点四:最值
四、正弦、余弦函数的最值 y
1 -4? -3? -2? -?

y ? sin x( x ? R)
3? 4? 5? 6?

o
-1

?

2?

2 ? 当且仅当 x ? ? ? 2k?,(k ? Z)时,(sin x) min ? ?1. 2

当且仅当 x ?

?

x

? 2k?,(k ? Z)时, (sin x) ; max ? 1

当且仅当 x ? 2k?,(k ? Z)时, (cos x) max ? 1;
当且仅当 x ? ? ? 2k?,(k ? Z)时,(cos x) min ? ?1.
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

y ? cos x( x ? R)

x

重要知识点五:对称性 五、正弦、余弦函数的对称性 y
1 -4? -3? -2? -?

y ? sin x( x ? R)

o
-1

?

2?

y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ?

?
2

3?

4?

5?

6?

,k ? Z;

x

0 y=sinx的图象对称中心为: (k?, ),k ? Z . 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为:
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx的图象对称中心为:(k? y
o
-1 ?

x ? k?,k ? Z;
?
2?
3? 4?

? , ),k ? Z . 0 2
5? 6?

y ? cos x( x ? R)

x

题型总结(五)----对称性的应用:
5? 1、y ? sin(2 x ? )的一条对称轴是 C ) ( 4 5? A、x ? ? B、x ? ? C、x ? D、x ? 2 4 8 4 k? ? ? , ),k ? Z . 0 该函数的对称中心为 ( 2 8

?

?

?

2、若y ? sin 2 x ? a cos 2 x关于x ? ?

?
8

对称,

-1 则a ? __________ . _

题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法:
例3 求下列函数的最大值和最小值,并写出取 最大值、最小值时自变量x的集合
( 1 ) y=cosx + 1 , x∈R ;

解(1): ?1 ? cosx ? 1, ?

? 0 ? cosx+1 ? 2.
?0 ? y ? 2.

?当cosx=1,即{x|x=2k? ,k ? Z}时,ymax =2. ?当cosx=-1,即{x|x=(2k+1)? ,k ? Z}时,ymin =0.

题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法:
例3 求下列函数的最大值和最小值,并写出取 最大值、最小值时自变量x的集合 (2)y=-3sin2x,x∈R. 解(2): ?1 ? sin2x ? 1, ? ??3 ? ?3sin2x ? 3.
? ?当sin2x=-1,即 {x|2x= - +2k? , k ? Z}时,y max =3. 2 ? ?即 {x|x= - +k? , k ? Z}时,y max =3. 4 ? ?当sin2x=1,即 {x|2x= +2k? , k ? Z}时,y min = -3. 2 ? ?即 {x|x= +k? , k ? Z}时,ymin = -3. 4
??3 ? y ? 3.

练习:求下列函数的最值,并找出取最值时的x 的集合
()y ? cos 2 x 1

(2) y ? sin( x ?

?

(1)当 | x ? k? , k ? Z}时,ymax {x

当{x | x ?

?

2

? k? , k ? Z }时,ymin ? ?1.

4 ? 1.

) ?1

(2)当{x | x ?

?

4 5? 当{x | x ? ? 2k? , k ? Z }时,ymin ? 0. 4

? 2k? , k ? Z }时,ymax ? 2.

练习:求下列函数的最值,并求出取最值时的x的集 合 (3) y ?| a | sin x ? b (4) y ? a sin x ? b
(3)当{x | x ?

?
2

? 2k? , k ? Z }时,ymax ? a ? b.

? 2k? , k ? Z }时,ymin ? ? a ? b. 2 ? (4)若a ? 0, 当{x | x ? ? 2k? , k ? Z }时,ymax ? a ? b. 2 ? 当{x | x ? ? ? 2k? , k ? Z }时,ymin ? ?a ? b. 2 ? 若a ? 0,当{x | x ? ? ? 2k? , k ? Z }时,ymax ? ?a ? b. 2 ? 当{x | x ? ? 2k? , k ? Z }时,ymin ? a ? b. 2 当{x | x ? ?

?

题型总结(三)---三角函数单调性的应用:
例4.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的 大小:

() ? 1 sin(

?

18

)与 sin(?

?

10

)

解(1) ? ?

?
2

??

?
10

??

?
18

?

?
2

又y ? sin x在[?

? ?

? sin(?

?
18

, ]上是增函数, 2 2

) ? sin(?

?

10

)

题型总结(三)---三角函数单调性的应用:

例4.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的 大小: 23? 17? (2)co s(? )与co s( ? ) 5 4 23? 23? 3? 解(2) cos( ? ) ? cos ? cos , 5 5 5 17? 17? ? cos(? ) ? cos ? cos , 4 4 4 ? 3? ? 0< < <? ,且函数y=cosx在[0,? ]上是减函数, 4 5 ? 3? 即 cos ? 17? ? cos ? 23? ), ( ( ? cos ? cos , 4 5 4 5

题型总结(四)----单调性,单调区间的求法:

1 ? 例5:求函数y ? sin( x ? ),x ? [?2? , 2? ]的单调递增区间。 2 3 1 ? ? ? 解:令z= x ? ,函数y ? sin z的单调递增区间是 [? ? 2k? , ? 2k? ]. 2 3 2 2 ? 1 ? ? 由 ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k? , 2 2 3 2 5? ? 得? ? 4 k? ? x ? ? 4 k? , k ? Z . 3 3 5? ? 设A ? [?2? , 2? ], B ? {x | ? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z .} 3 3 5? ? 易知A ? B ? [? , ]. 3 3 1 ? 5? ? 则函数y ? sin( x ? ),x ? [?2? , 2? ]的单调递增区间是[- , ]。 2 3 3 3

题型总结(四)----单调性,单调区间的求法:
练习 求下列函数的单调区间:
4 ? ? ? 解:由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 ? 3? 得k? ? ? x ? k? ?
3? ? 所求单调增区间为[k? ? , k? ? ], k ? Z 8 8 ? ? 3? 由2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 3? 7? 得k? ? ? x ? k? ? 8 8 3? 7? ?所求单调递减区间为[k? ? , k? ? ], k ? Z 8 8

(2) y ? 3sin(2 x ?

?

)

8

?

8

? 1 你能求函数y ? sin( ? x),x ? [?2? , 2? ]的单调递增区间吗? 3 2 ? 1 ? 3? 解:令z= ? x,函数y ? sin z的单调递减区间是 [ ? 2k? , ? 2k? ]. 3 2 2 2 ? ? 1 3? 由 ? 2 k? ? ? x ? ? 2 k? , 2 3 2 2 7? ? 得? ? 4 k? ? x ? ? ? 4 k? , k ? Z . 3 3 7? ? 设A ? [?2? , 2? ], B ? {x | ? ? 4k? ? x ? ? ? 4k? , k ? Z .} 3 3 ? 5? 易知A ? B ? [?2? , ? ] ? [ , 2? ] 3 3 ? 1 ? 5? 则函数y ? sin( ? x),x ?[?2? ,2? ]的单调递增区间是[-2? ,- ]?[ ,2? ]。 3 2 3 3

? 1 你能求函数y ? sin( ? x),x ? [?2? , 2? ]的单调递增区间吗? 3 2 ? 1 1 ? 另解 : y=sin( ? x) ? ?sin( x ? ), 3 2 2 3 1 ? 令z= x ? ,函数y ? sin z的单调递减区间是 [ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ]. 2 3 2 2 ? 1 ? 3? 由 ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k? , 2 2 3 2 5? 11? 得 ? 4 k? ? x ? ? 4 k? , k ? Z . 3 3 5? 11? B ? { x | ? 4 k? ? x ? ? 4k? , k ? Z .} 设A ? [?2? , 2? ], 3 3 ? 5? 易知A ? B ? [?2? , ? ] ? [ , 2? ] 3 3 ? 1 ? 5? 则函数y ? sin( ? x),x ?[?2? ,2? ]的单调递增区间是[-2? ,- ]?[ ,2? ]。 3 2 3 3

课堂小结:
正弦、余弦函数的性质: 1、定义域 R 2、值域 [ - 1, 1 ] (二次最值问题) 3、周期性 T = 2?
4、奇偶性与单调性:
函数 奇偶性 [? 正弦函数 奇函数 单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增 单调递减

课堂小结:
注: ⑴求函数的单调区间:
1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

⑵函数的单调性应用

5、对称性: ? y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ? ,k ? Z; 2 对称中心为: (k?, ),k ? Z . 0 y=cosx的图象对称轴为: x ? k?,k ? Z; 对称中心为:(k?

? , ),k ? Z . 0 2

?

任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.



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