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《余弦定理》参考学案



§ 1.1.2 余弦定理
学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 学习过程 一、课前准备 复习 1: 在一个三角形中, 各 = . 和它所对角的 的 相等, 即 =

复习 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形.

思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

二、新课导学 ※ 探究新知
C

问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b .
???? ∵ AC ? ???? ???? ∴ AC ? AC ?

b A c

a B



同理可得:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bcco s , A c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ac bo s . C

新知: 余弦定理: 三角形中任何一边的 边与它们的夹角的 的积的两倍.

等于其他两边的

的和减去这两

思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc





[理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150? ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

※ 典型例题 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 ,b ? 4 ,c ? 37 ,求三角形的最大内角.

变式:在 ? ABC 中,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的 特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150° ,则边 b 的长为( A.
34 2

).

B.

34

C.

22 2

D.

22

2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( A. 60? B. 75? C. 120? D. 150?

).

3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 5 ? x ? 13 C. 2<x< 5 B. 13 <x<5

).

D. 5 <x<5 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? 4. 在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60° ,则| AB - AC |= ________. 5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足
b2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,则∠C 等于



课后作业 1. 在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=
13 ,求最大角的余弦值. 14
??? ? ??? ?

2. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.



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