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第二章基本初等函数、导数及其应用第1课时课后达标检测



[基础达标] 一、选择题 1.(2014· 河北保定模拟)下列各组函数中,表示同一函数的是( ) 2 A.f(x)=x,g(x)=( x) B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2 C.f(x)= x2,g(x)=|x| D.f(x)=0,g(x)= x-1+ 1-x 解析:选 C.在 A 中,定义域不同,在 B 中,解析式不同,在 D 中,定义域不同. 1,x>0, ? ?

?1,x为有理数, ? 2. (2012· 高考福建卷) 设 f(x) =?0,x=0, g(x)=? 则 f(g( π ))的值为 ?0,x为无理数, ? ? ?-1,x<0, ( ) A.1 B .0 C.-1 D.π 解析:选 B.根据题设条件,∵π是无理数,∴g(π)=0, ∴f(g(π))=f(0)=0. 3.(2014· 湖北荆门调研)设 f:x→x2 是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={1,2},则 M 不 可能是( ) A.{-1} B.{- 2, 2} C.{1, 2,2} D.{- 2,-1,1, 2} 解析:选 C.由映射的定义,集合 M 中的每一个元素在集合 N 中必须有唯一的元素与它 对应,对选项 C,22=4?N. 4.(2012· 高考安徽卷)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x ?0,x≥0, ? 解析: 选 C.对于选项 A, f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于选项 B, f(x)=x-|x|=? ?2x,x<0, ? 当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有 f(2x)=2f(x);对于选 项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1. 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是( ) x+|x| A.f(x)=log2x B.f(x)=-log2x - - C.f(x)=2 x D.f(x)=x 2 1 解析:选 B.根据题意知 x>0,所以 f( )=log2x, x 1 则 f(x)=log2 =-log2x. x 二、填空题 6.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(-1)=________. ? ? ?1+b+c=0, ?b=-4, 解析:由已知得? 得? ?9+3b+c=0, ? ?c=3. ? ∴f(x)=x2-4x+3. ∴f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案:8
1

7.已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则:f:x→y=|x|2,若对实数 k∈B,在 集合 A 中不存在元素 x 使得 f:x→k,则 k 的取值范围是________.

1

解析:当 x∈A 时,在映射 f:A→B 的作用下对应象满足:y=|x|2≥0,故若实数 k∈B, 在集合 A 中不存在原象,则 k 应满足 k<0,即满足条件的实数 k 的取值范围是(-∞,0). 答案:(-∞,0) x2-1 f(2) 8.(2014· 湖北荆州市质量检测)若函数 f(x)= 2 ,则(1) =________; 1 x +1 f( ) 2 1 1 1 (2)f(3)+f(4)+?+f(2 014)+f( )+f( )+?+f( )=________. 3 4 2 014 2 2 1 x -1 1-x 解析:(1)∵f(x)+f( )= 2 + =0, x x +1 1+x2 f(x) f(2) ∴ =-1(x≠± 1),∴ =-1. 1 1 f( ) f( ) x 2 1 1 1 (2)∵f(3)+f( )=0,f(4)+f( )=0,?,f(2 014)+f( )=0, 3 4 2 014 1 1 ∴f(3)+f(4)+?+f(2 014)+f( )+?+f( )=0. 3 2 014 答案:(1)-1 (2)0 三、解答题 ?x-1,x>0, ? 9.(2014· 上海徐汇模拟)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ?2-x,x<0. ? (1)求 f(g(2))与 g(f(2)); (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式. 解:(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0; f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3. ?x2-2x,x>0, ? 所以 f(g(x))=? 2 ? ?x -4x+3,x<0. ?x2-2,x<-1或x>1, ? 同理可得 g(f(x))=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1. 3f(x-1)-f(x-2) 10.设 x≥0 时,f(x)=2;x<0 时,f(x)=1,又规定:g(x)= (x> 2 0),试写出 y=g(x)的表达式,并画出其图象. 解:当 0<x<1 时,x-1<0,x-2<0, 3-1 ∴g(x)= =1; 2 当 1≤x<2 时,x-1≥0,x-2<0, 6-1 5 ∴g(x)= = ; 2 2 当 x≥2 时,x-1>0,x-2≥0, 6-2 ∴g(x)= =2. 2 1,(0<x<1),

? ?5 故 g(x)=?2,(1≤x<2), ?2,(x≥2). ?
其图象如图.

[能力提升] 一、选择题

? x,x<A, 1. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位: 分钟)为 f(x)=? c ? A,x≥A
(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那 么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 解析:选 D.因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, c 所以 =15,① A c c 所以必有 4<A,且 = =30.② 4 2 联立①②解得 c=60,A=16. 1? 2.(2014· 河南洛阳模拟)具有性质:f? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的 x (0<x<1) 1 1 0 (x=1) 函数,下列函数:①y=x- ;②y=x+ ;③y= 中满足“倒负”变换的 x x 1 - (x>1) x 函数是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.只有① 解析:选 C.易知①满足条件,②不满足;对于③,易知 1 (x>1), x 1 1? ? f? 满足 f? ?x?= 0 (x=1), ?x?=-f(x),故③满足“倒负”变换.

c

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?-x

(0<x<1),

二、填空题 1 ? ?2x+1,x≤0, 3.已知 f(x)=? 则使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是________. 2 ? ?-(x-1) ,x>0, 解析:∵f(x)≥-1, x≤0 ? ?x>0 ? ? ∴?1 或? , 2 ?-(x-1) ≥-1 x+1≥-1 ? ? ?2 ∴-4≤x≤0 或 0<x≤2,即-4≤x≤2. 答案:[-4,2] 4.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1) 1 =f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cos π x

x.其中属于集合 M 的函数是________.(写出所有满足要求的函数的序号) 1 1 + 解析:对于①, = +1 显然无实数解;对于②,方程 2x 1=2x+2,解得 x=1;对 x+1 x 于③,方程 lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3,显然也无实数解;对于④,方程 cos[π(x+1)] 1 =cos πx+cos π,即 cos πx= ,显然存在 x 使之成立. 2 答案:②④ 三、解答题 5.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 3 所示. 你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? 解:(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图 1、2 中的票价是 2 元,图 3 中的票价是 4 元. 6.(选做题)规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数 x,令 f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1)若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围. 7 7 解:(1)∵x= 时,4x= , 16 4 7? ∴f1(x)=? ?4?=1. 7 7? 3 ∵g(x)= -? = . 4 ?4? 4 3? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1? ?4?=[3]=3. (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3. ?1≤4x<2, ? 7 1 ∴? ∴ ≤x< . 2 ?3≤16x-4<4, 16 ? 7 1 ? 故 x 的取值范围是? ?16,2?.



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