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高二导数应2014-2-6



重点中学 2013-2014 高二(下)试题
命题人: 董圣龙 2014-2-6 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分) 1.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图 1 所示, 则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是( )

5. 定义在 R 上的函数 f ( x)满足

f (4) ? 1, f ( x)为f ( x) 的导函数,已知函数 y ? f ?( x) 的图像如 右图所示,若两正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1, 则 A. (??,?3) B. ( , ) C. (??, ) ? (3,??) D. ( ,3) 6.已知 f (x ) ? ax ? bx ? cx ,当 x ? 1时函数 f (x ) 有极大值 4,当 x ? 3 时函数 y f (x ) 有极
3 2

学生-------------------

b?2 的取值范围是( a?2



1 1 3 2

1 2

1 2

小值 0,则 ( A. f (x ) ? x ? 6x
3


2

? 9x ? 9x

B. f (x ) ? x ? 6x
3

2

? 9x ? 9x

–2

x O 1 (第 7 题)
2

2.已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的非负可导函数,且满足 xf ( x) ? f ?x ? ? 0 ,对任意正数 a, b ,
/

C. f (x ) ? x ? 6x
3

2

D. f (x ) ? x ? 6x
3

2

若 a ? b ,则必有 A af (b) ? bf (a)



) C af (a) ? f (b) D bf (b) ? f (a)

7. 右图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象,下列说法错 误 的是 . . A. ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极小值点;B. 1 是函数 y ? f ( x) 的极值点;

B bf (a) ? af (b)

3.已知函数 f ( x) 的定义域 为 (a, e) ,下图是 f ( x) 的导函数 f '( x) 的图像,则下列结论中正确 的有( ) C. y ? f ( x) 在 x ? 0 处切线的斜率大于零;D. y ? f ( x) 在区间 (?2, 2 ) 上单调递增. 8.如图,液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中,开始时漏斗盛满 液体,经过 3 秒漏完,若圆柱桶中液面上升速度是一 个常量,则漏斗中液面的高度 h 与下落时间 t 的函数关系 B 1个 C 2个 D 3个 的图像只可能是 ( )

①函数 f ( x) 在 (a, b) 上单调递增; ②函数 f ( x) 在 (a, c) 上单调递减; ③函数 f ( x) 在 (c, d ) 上单调递减; ④函数 f ( x) 在 (d , e) 上单调递增;A 0 个

4.函数 f ( x) 的导函数 y ? f '( x) 的图像如图所示,其中 ?3, 2, 4 是 f '( x) ? 0 的根,现给出下列 命题: (1) f (4) 是 f ( x) 的极小值; (3) f (?2) 是 f ( x) 极大值; (5) f (?3) 是 f ( x) 极大值。 A. (1) (2) (3) (4) (5) (2) f (2) 是 f ( x) 极大值; (4) f (3) 是 f ( x) 极小值; 其中正确的命题是 C. (1) (2) D. (3) (4)

B. (1) (2) (5)

9.若 f ( x) ? ?
(A)

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
(B)

▲ )

19.已知函数

f ( x) ? x ? ln( x ? a) 在 x ? 1 处取得极值.
1

(1)求实数 a 的值;

[?1, ??)

(?1, ??)

(C)

(??, ?1]
?x ?0

(D)

(??, ?1)

(2)若关于 x 的方程
n

f ( x) ? 2 x ? x 2 ? b 在[2,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围;
(参考数据:ln2≈0.6931).

10.函数

y ? f ( x) 在点(x0,y0)处的切线方程 y ? 2 x ? 1 ,则 lim
B、-2 C、2 D、4

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) 等于 ?x

(3)证明:

A、-4

1 3n 2 ? n ? 2 ? (n ? N ? , n ? 2) ? n(n ? 1) k ? 2 k ? f (k )

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 11.函数 12.已知

y ? 5 x ? 4 ? 12 5 ? x 的最大值是

.

f1 ( x) ? sin x ? cos x ,记 f 2 ( x) ? f1' ( x) , f3 ( x) ? f 2' ( x) ,…, f n ( x) ? f n'?1 ( x)
? ? ?
4 4 4
▲ .

(n ? N *, n ? 2) ,则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2009 ( ) ?
13.已知函数 14. 若 函 数

f ( x) ? x 3 ? 2 f / (?1) x, 则f / (1) ?
f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b


.

x?4

处取得极值

0

,则该函数

f ( x)



?? 5,5? 上 的 最 大 值 为
f ( x) ? 1 2 x?t ,函数 f ( x) 在 x ? a 、 x ? b 处取得极 x ? 2tx ? 3ln x , g ( x) ? 2 2 x ?3
(Ⅰ)求实数 t 的取值范围; (Ⅱ)判断

___________. 15.若

f ( x) ? ax3 ? ax 2 ? x 无极值,则 a 的取值范围为______________.
f ? x ? ? x3 ? 3x ? a 的图像与直线 y ? 2 有三个交点,则实数 a 的取值范围是_________。

20.已知函数

16.若函数

值,其中 0 ? a ? b 。 (Ⅲ)已知

g ( x ) 在 [?b, ?a] 上的单调性; f ( x) ? m 有 3 个不同的解,

三、解答题(本大题共 4 小题,共 54 分) 17.已知函数

f ( x) ? ax 4 ln x ? bx 4 ? c ( x ? 0) 在 x ? 1处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a, b, c 为常数.
(2)讨论函数

g ( x ) 在 [?b, ?a] 上的最大值比最小值大

1 3

,若方程

(1)求 a, b 的值; (3)若对任意 x

f ( x) 的单调区间;

求实数 m 的取值范围。

? 0 ,不等式 f ( x) ? 2c 2 ? 0 恒成立,求 c 的取值范围.

18.已知:函数 (1)当 a

f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b( x ? R) ,其中 a,b ? R .

??

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3
2? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11 , ? ?2, ? 上恒成立,求 b 的取值范围.

(2)若对于任意的 a ?

0.重点中学

2013-2014 高二(下)试题答案解析
2014-2-6 4.C 13.-3 5.D 14.32 6.C 7.B 15.BB 8.C 9.C 10.D

所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2, 2 ? 内是减函数. ? ∞) 内是增函数,在 (?∞, 0) , ? ,

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

一、选择题 1.C 二、填空题 11.13 三、解答题

2. A

3.D

2? 可知 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立. (2)解:由条件 a ? ? ?2,
当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .

12. 2

4? 16. ? 0,

17.解: (1) f ( x) ? x (4a ln x ? a ? 4b) , f ?(1) ? 0 ,∴
/ 3

, 因此函数 f ( x) 在 ? ?11 ? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者.

a ? 4b ? 0 ,又 f (1) ? ?3 ? c ,

∴ a ? 12, b ? ?3 ; (2)

2? ,不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11 , 为使对任意的 a ? ? ?2, ? 上恒成立,当且仅当

f ( x) ? 48 x ln x ( x ? 0) ∴由 f ( x) ? 0 得 x ? 1,
/ 3 / / /

? f (1) ≤ 1, ? ? f (?1) ≤ 1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; ∴ f ( x) 单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1,??) (3)由(2)可知, x ? 1时, f ( x) 取极小值也是最小值 f (1) ? ?3 ? c , 依题意,只需 ? 3 ? c ? 2c ? 0 ,解得 c ?
2
3 2 2

2? 上恒成立. 在 a ? ? ?2, ? 4? . 所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 ? ?∞,
19.解:(1)f '(x)=1+ 1

x+a

,由题意,得 f '(1)=0 ? a=0……2 分

3 或 c ? ?1 2 10 时, 3

18.(1)解: f ?( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) .当 a ? ?

(2)由(1)知 f(x)=x-lnx 2 2 ∴f(x)+2x=x +b ? x-lnx+2x=x +b ? xx+lnx+b=0 设 g(x)=xx+lnx+b(x>0) 1 2x -3x+1 (2x-1)(x-1) 则 g'(x)=2x-3+ = =
2

f ?( x) ? x(4 x ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) .
2

x

x

x

……………………………4 分

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

1 , x3 ? 2 . 2

当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(?∞, 0)
?

0

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2? ? , ?2 ?
?

2

(2, ? ∞)

当 x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表 1 1 1 ( , 2 x (0, ) 2 2 1) g'(x) + 0 - 极大 G(x) ↗ ↘ 值

1 0 极小 值

(1,2) + ↗

2

b-2+ ln2

0
极 小 值

?


0
极 大 值

0
极 小 值

?


1 5 当 x=1 时,g(x)最小值=g(1)=b-2,g( )=b- -ln2,g(2)=b-2+ln2 2 4 1 2 ∵方程 f(x)+2x=x +b 在[ ,2]上恰有两个不相等的实数根 2





1 )≥0 ?g(2 由? g(1)<0 ?g(2)≥0 ?
n

?

-ln2≥0 ?b-5 4 ?b-2<0 ?b-2+ln2≥0 (3)∵k-f(k)=lnk

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知: g ( x) 在 [?b, ?a] 上单调递增 ∴ g ( x)max ? g ( x) min ? g (?a) ? g (?b) ? 即

?a ? t ?b ? t 1 ? ? a 2 ? 3 b2 ? 3 3

5 +ln2≤b≤2 4 1 3n -n-2 > k=2k-f(k) n(n+1)
2

(b ? a)(3 ? ab ? t (b ? a)) 1 ? (a 2 ? 3)(b2 ? 3) 3

∴∑ ?

又 a ? b ? 2t , ab ? 3 , 0 ? a ? b
2

1 1 1 3n -n-2 + + +…+ > (n∈N,n≥2) ln2 ln3 ln4 lnn n(n+1) 1

解得: a ? 1, b ? 3 ∴ f ( x) ?

1 设 Φ (x)=lnx- (x) 4 1 x 2-x (x+ 2)(x- 2) 则 Φ '(x)= - = =- x 2 2x 2x 当 x≥2 时,Φ '(x)<0 ? 函数 Φ (x)在 1 1 1 =2(1+ - - ) 2 n n+1 = 3n -n-2 . n(n+1)
2 2

1 2 3 ( x ? 1)( x ? 3) , x ? 4 x ? 3ln x ,∴ f '( x) ? x ? 4 ? ? 2 x x

∴ f ( x) 在 (0,1),(3, ??) 上递增,在 (1,3) 上递减且当 x ? 1或x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ∴ f ( x) 极大值 ? f (1) ? ?
?

7 15 , f ( x) 极小值 ? f (3) ? ? ? 3 ln 3 2 2

又当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? ∴当 ?

∴原不等式成立. 20.解: (Ⅰ)∵ f '( x) ? x ? 2t ?

15 7 ? 3ln 3 ? m ? ? 时,方程 f ( x) ? m 有 3 个不同的解 2 2
15 7 ? 3ln 3, ? ) 。 2 2

3 ? 0 有两个不等正根, x 2 即方程 x ? 2tx ? 3 ? 0 有两个不等正根 a 、 b
∴ ? ? 4t ? 12 ? 0 且 a ? b ? 2t ? 0 , ab ? 3 ? 0
2

∴实数 m 的取值范围为 (?

解得: t ?

3
( x 2 ? 3) ? ( x ? t )2 x ? x 2 ? 2tx ? 3 ? ( x 2 ? 3) 2 ( x 2 ? 3) 2

(Ⅱ) g '( x) ?
2

令 h( x) ? ? x ? 2tx ? 3 ,则 h( x ) 的对称轴为 x ? ?t ? ? ∴ h( x ) 在 [?b, ?a] 上的最小值为

a?b 2

h(?a) ? h(?b) ? ?a 2 ? 2at ? 3 ? ?a 2 ? a(a ? b) ? 3 ? 6 ? 0
∴ g '( x) ? 0 于是 g ( x) 在 [?b, ?a] 上单调递增。



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