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2012届高三数学一轮复习第七章不等式7-2



第7章

第2节

一、选择题 1.(2010·山东东营质检)在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( 1 A.y=x+ x π 1 ? 0<x< ? B.y=cosx+ 2? cosx? C.y= x2+3 x2+2 )

4 D.y=ex+ x-2 e [答案] D 1 π 1 [解析] x<0 时,y=x+ ≤-2,故 A 错;∵0<x< ,∴0<cosx<1,∴y=cosx+ ≥2 x 2 cosx 中等号不成立,故 B 错;∵ x2+2≥ 2,∴y= x2+2+ 错,∴选 D. 2 1 2.(文)(2010·山东潍坊质检)已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则 x y 实数 m 的取值范围是( A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 [答案] D 2 1 [解析] ∵x>0,y>0,且 + =1, x y 2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 x y x y 4y x 4y x · =8,当且仅当 = ,即 x=2y 时取等 x y x y ) B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2 1 ≥2 中等号也取不到,故 C x +2
2

2 1 号, + =1, 又 ∴x=4, y=2, ∴(x+2y)min=8, 要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2 x y +2m,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. (理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 1 4 使得 aman=4a1,则 + 的最小值为( m n 3 A. 2 25 C. 6 5 B. 3 D.不存在 )

[答案] A 2a6 [解析] 由已知 an>0,a7=a6+2a5,设{an}的公比为 q,则 a6q=a6+ ,∴q2-q-2 q =0,∵q>0,∴q=2, ∵ aman=4a1,∴a12·qm ∴m+n=6, n 4m 1 1 4 1 1 4 1 ∴ + = (m+n)?m+n?= ?5+m+ n ?≥ ?5+2 ? ? 6? ? 6? m n 6 2m=4 时成立. 1 a 3.(2010·茂名市模考)“a= ”是“对任意的正数 x,均有 x+ ≥1”的( 4 x A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 [答案] A 1 a [解析] ∵a= ,x>0 时,x+ ≥2 4 x 4 x+ x ≥2 4 a x· =4 也满足 x+ ≥1,故选 A. x x ) a 1 a x· =1,等号在 x= 时成立,又 a=4 时,x+ = x 2 x ) n 4m n 4m? 3 = ,等号在 = ,即 n= · m n m n? 2
+ n- 2

=16a12,∴m+n-2=4,

4.(2010·广西柳州市模考)设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A

[解析] a,b 中有一个不是正数时,若 a+b=1,显然有 4ab≤1 成立,a,b 都是正数 时,由 1=a+b≥2 ab得 4ab≤1 成立,故 a+b=1?4ab≤1,但当 4ab≤1 成立时,未必有 a+b=1,如 a=-5,b=1 满足 4ab≤1,但-5+1≠1,故选 A. 1 1 1 且 β=b+ , α+β 的最小值为( 则 5. a>0, 若 b>0, b 的等差中项是 , α=a+ , a, 2 a b A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] D 1 1 [解析] ∵ 为 a、b 的等差中项,∴a+b= ×2=1. 2 2 )

a+b 1 1 1 1 1 a+ +b+ ?1+ + =1+ =1+ , a b a b ab ab a+b (a+b)2 1 ∵ ab≤ ,∴ab≤ = .∴原式≥1+4. 2 4 4 ∴α+β 的最小值为 5.故选 D. 6.(文)若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4, 1 1 则 + 的最小值是( a b A.1 C.3 [答案] D [解析] 圆(x+1)2+(y-2)2=4,∵弦长为 4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a+b =1. b a 1 1 1 1 ∴ + =?a+b?(a+b)=2+ + ≥4. ? a b a b ? 1 当且仅当 a=b= 时取等号. 2 (理)半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两互相垂直,则△ABC、 △ACD、△ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为( A.8 B.16 C.32 D.64 [答案] C [解析] 根据题意可知,设 AB=a,AC=b,AD=c,则可知 AB,AC,AD 为球的内接 1 长 方 体 的 一 个 角 . 故 a2 + b2 + c2 = 64 , 而 S △ ABC + S △ ACD + S △ ADB = (ab + ac + 2 a2+b2+a2+c2+b2+c2 a2+b2+c2 bc)≤ = =32. 4 2 8 3 等号在 a=b=c= 时成立. 3 b+c x2 y2 7.(文)已知 c 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距,则 的取值范围是( a b a A.(1,+∞) C.(1, 2) [答案] D b+c [解析] 由题设条件知,a<b+c,∴ >1, a (b+c)2 b2+c2+2bc 2(b2+c2) b+c ∵a2=b2+c2,∴ = ≤ =2,∴ ≤ 2.故选 D. 2 2 2 a a a a x2 y2 (理)已知 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的 a b B.( 2,+∞) D.(1, 2] ) ) ) B.2 D.4

|PF1|2 任意一点,若 的值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( |PF2| A.(1,+∞) C.(1, 3] [答案] D [解析] B.(1,2] D.(1,3]

)

2 |PF1|2 (2a+|PF2|) 4a2 4a2 = = +|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当 =|PF2|,即 |PF2| |PF2| |PF2| |PF2|

c 这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得 6a≥2c, e= ≤3, 即 ∴e∈(1,3]. |PF2|=2a 时取等号. a 8.(2010·南昌市模拟)已知 a,b∈R ,a+b=1,M=2a+2b,则 M 的整数部分是( A.1 C.3 [答案] B [解析] ∵a,b∈R ,a+b=1,∴0<a<1,设 t=2a,则 t∈(1,2),M=2a+2b=2a+21
a
+ - +

)

B.2 D.4

2 =t+ ≥2 2,等号在 t= 2时成立,又 t=1 或 2 时,M=3,∴2 2≤M<3,故选 B. t 9.(2010·河南新乡调研)已知全集 R,集合 E={x|b<x< a+b },F={x| ab<x<a},M= 2

{x|b<x≤ ab},若 a>b>0,则集合 M 等于( A.E∩F C.E∩(?RF) [答案] C [解析] ∵a>b>0, a+a a+b > > ab> b2=b, ∴a= 2 2 B.E∪F

)

D.(?RE)∩F

如图可见集合 M 在 E 中,不在 F 中,故 M=E∩?RF.

10.(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直 1 4 → → → → 线 AB、AC 于 E、F 两点,若AB=λAE(λ>0),AC=?AF(?>0),则 + 的最小值是( λ ? A.9 C.5 [答案] D → → → → 1 → → [解析] ED=AD-AE= (AB+AC)-AE 2 7 B. 2 9 D. 2 )

λ 1 → → → → ?→ = (λAE+?AF)-AE=?2-1?AE+ AF, ? ? 2 2 → → → EF=AF-AE.

λ ? -1 2 2 → → → → ∵ED与EF共线,且AE与AF不共线,∴ = , -1 1 1 4 1 1 4 ∴λ+?=2,∴ + = ? λ+??(λ+?) ? λ ? 2? ? 4λ 9 1 4 2 = ?5+ λ + ? ?≥ ,等号在 ?= ,λ= 时成立. ? 2 2? 3 3 (理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中,点 P 是斜边 BC 的中点,过点 P → → → → 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 mn 的最大值 为( )

1 A. 2 C.2 [答案] B

B.1 D.3

[解析] 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC 的腰长为 2,则 P → → → → 点坐标为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵AB=mAM,AC=nAN, → → 2 2 → AB → AC ∴AM= ,AN= ,∴M?0,m?、N?n,0?, ? ? ? ? m n my nx ∴直线 MN 的方程为 + =1, 2 2

m n ∵直线 MN 过点 P(1,1),∴ + =1,∴m+n=2, 2 2 (m+n)2 ∵m+n≥2 mn,∴mn≤ =1,当且仅当 m=n=1 时取等号,∴mn 的最大值为 4 1. 二、填空题 11.(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知 b>0,直线 b2x+y+1=0 与 ax-(b2+4)y +2=0 互相垂直,则 ab 的最小值为________. [答案] 4 b2+4 b2+4 4 ∴a= 2 , ∵b>0, ∴ab= =b+ ≥4, [解析] ∵两直线垂直, ∴ab2-(b2+4)=0, b b b 4 等号在 b= ,即 b=2 时成立. b t2-4t+1 12.(文)(2010·重庆文,12)已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t [答案] -2 t2-4t+1 1 [解析] y= =t+ -4 t t 1 因为 t>0,y=t+ -4≥2 t 1 t· -4=-2. t

1 等号在 t= ,即 t=1 时成立. t 8 (理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数 y=2x,y=x2,y= 的图象都过点 A,且点 A x x y 在直线 + =1(m>0,n>0)上,则 log2m+log2n 的最小值为________. m 2n [答案] 4 x y [解析] 由题易得,点 A 的坐标为(2,4),因为点 A 在直线 + =1(m>0,n>0)上,所以 m 2n 2 4 1= + ≥2 m 2n 值为 4. 1 1 1 13.(文)(2010·南充市)已知正数 a,b,c 满足:a+2b+c=1 则 + + 的最小值为 a b c 2 4 · ,∴mn≥16,所以 log2m+log2n=log2(mn)≥4,故 log2m+log2n 的最小 m 2n

________. [答案] 6+4 2 [解析] 1 1 1 a+2b+c a+2b+c a+2b+c ?2b a? ?c a? ?c 2b? + + = + + = ? a +b? + ?a+ c? + ?b+ c ? + a b c a b c

4≥2 2+2+2 2+4=6+4 2, 2b a c a c 2b 等号在 = , = , = 同时成立时成立. a b a c b c 即 a=c= 2b=1- 2 时等号成立. 2

(理)(2010·北京延庆县)已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 xy 的最大值是________. [答案] [解析] 1 12 ∵ lg2x + lg8y = lg2 , ∴ 2x·8y = 2 , 即 2x
+ 3y

= 2 , ∴ x + 3y = 1 , ∴ xy =

1 3

1 x+3y?2 1 1 1 x·(3y)≤ ·? = ,等号在 x=3y,即 x= ,y= 时成立. 3 ? 2 ? 12 2 6 → → 14. (文)(2010·重庆一中)设 M 是△ABC 内一点, 且AB·AC=2 3, ∠BAC=30°, 定义 f(M) 1 =(m,n,p),其中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(M)=?2,x,y?, ? ? 1 4 则 + 的最小值是________. x y [答案] 18 → → → → [解析] ∵AB·AC=|AB|·|AC|cos30° = 3 |AB|·|AC|=2 3,∴|AB|·|AC|=4, 2

1 由 f(M)的定义知,S△ABC= +x+y, 2 1 又 S△ABC= |AB|·|AC|·sin30°=1, 2 1 ∴x+y= (x>0,y>0) 2 1 4 y 4x 1 4 y 4x 1 ∴ + =2(x+y)?x+y?=2?5+x+ y ?≥2(5+2 4)=18,等号在 = ,即 y=2x= 时 ? ? ? ? x y x y 3 1 4 成立,∴?x+y?min=18. ? ? (理)(2010·江苏无锡市调研)设圆 x2+y2=1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B, 则 AB 的最小值为______. [答案] 2 [解析] x y 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为 + =1,则 a b

ab =1, a2+b2 ∴a2b2=a2+b2≥2ab,切线与两轴交于点 A(a,0)和(0,b),不妨设 a>0,b>0,∴ab≥2, 则 AB=|AB|= a2+b2≥ 2ab≥2. 三、解答题 15.已知 α、β 都是锐角,且 sinβ=sinαcos(α+β). π (1)当 α+β= ,求 tanβ 的值; 4 (2)当 tanβ 取最大值时,求 tan(α+β)的值. [解析] (1)∵由条件知,sinβ= 3 1 整理得 sinβ- cosβ=0, 2 2 1 ∵β 为锐角,∴tanβ= . 3 (2)由已知得 sinβ=sinαcosαcosβ-sin2αsinβ, ∴tanβ=sinαcosα-sin2αtanβ, sinαcosα sinαcosα ∴tanβ= 2 = 1+sin α 2sin2α+cos2α = 2 tanα 1 1 = ≤ = . 1 2tan2α+1 2 2 4 2tanα+ tanα 2 ?π ? sin?4-β?, 2

1 当且仅当 =2tanα 时,取“=”号, tanα ∴tanα= 2 2 时,tanβ 取得最大值 , 2 4

tanα+tanβ 此时,tan(α+β)= = 2. 1-tanαtanβ 16. (文)(2010·江苏盐城调研)如图, 互相垂直的两条公路 AM、 旁有一矩形花园 ABCD, AN 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C,其中 AB=30 米,AD=20 米.记三角形花园 APQ 的面积为 S.

(1)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值. (2)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的长应在什么范围内?

[解析] (1)设 DQ=x 米(x>0),则 AQ=x+20, ∵ QD AQ x x+20 = ,∴ = , DC AP 30 AP

30(x+20) 15(x+20)2 1 ∴AP= ,则 S= ×AP×AQ= x 2 x 400 =15(x+ +40)≥1200,当且仅当 x=20 时取等号. x (2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0, 20 ∴0<x≤ 或 x≥60 3 答:(1)当 DQ 的长度是 20 米时,S 最小,且 S 的最小值为 1200 平方米; 20 (2)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的取值范围是 0<DQ≤ 或 DQ≥60. 3 (理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量 Q(万件)与广 3x+1 告费 x(万元)之间的函数关系为 Q= (x≥0).已知生产此产品的年固定投入为 3 万元, x+1 每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元, 若每件销售价为“年平均每件生产成本的 150%” 与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少? [解析] (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为 32Q+3 Q

x ×150%+ ×50%, Q 32Q+3 x ∴年销售收入为( ×150%+ ×50%)·Q Q Q 3 1 = (32Q+3)+ x, 2 2 3 1 ∴年利润 W= (32Q+3)+ x-(32Q+3)-x 2 2 -x2+98x+35 1 = (32Q+3-x)= (x≥0). 2 2(x+1) (2)令 x+1=t(t≥1),则 W= -(t-1)2+98(t-1)+35 t 32 =50-?2+ t ?. ? ? 2t t 32 · =8,即 W≤42, 2 t

t 32 ∵t≥1,∴ + ≥2 2 t

t 32 当且仅当 = ,即 t=8 时,W 有最大值 42,此时 x=7. 2 t 即当年广告费为 7 万元时,企业利润最大,最大值为 42 万元. 17.(文)(2010·广州市调研)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P

→ → → → 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且QP·QF=FP·FQ. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A、B 两点, l1 l2 设|DA|=l1,|DB|=l2,求 + 的最大值. l2 l1 [解析] (1)设 P(x,y),则 Q(x,-1), → → → → ∵QP·QF=FP·FQ, ∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2). 即 2(y+1)=x2-2(y-1),即 x2=4y, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2=4y. (2)设圆 M 的圆心坐标为(a,b),则 a2=4b① 圆 M 的半径为|MD|= a2+(b-2)2. 圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+(b-2)2. 令 y=0,则(x-a)2+b2=a2+(b-2)2, 整理得,x2-2ax+4b-4=0② 将①代入②得 x2-2ax+a2-4=0,解得 x=a±2, 不妨设 A(a-2,0),B(a+2,0), ∴l1= (a-2)2+4,l2= (a+2)2+4.
2 2 2 l1 l2 l1 +l2 2a +16 ∴ + = = 4 l2 l1 l1l2 a +64

=2

(a2+8)2 =2 a4+64

1+

16a2 ③ a4+64 16 1+ ≤2 64 a 2+ 2 a 1+ 16 2×8

l1 l2 当 a≠0 时, + =2 l2 l1 =2 2.

当且仅当 a=±2 2时,等号成立. l1 l2 当 a=0 时,由③得, + =2. l2 l1 l1 l2 故当 a=±2 2时, + 的最大值为 2 2. l2 l1 x2 y2 x2 (理)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)以双曲线 -y2=1 的焦点为顶点,其离心率与双曲 a b 3 线的离心率互为倒数. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A,B,点 M 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点. ①求证:直线 MA,MB 的斜率之积为定值;

②若直线 MA、MB 与直线 x=4 分别交于点 P、Q,求线段 PQ 长度的最小值. [分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数 a、b,即可写出椭圆方程,进而可求得 点 A,B 坐标,设出 M 点坐标,可列出 kMA·kMB 的表达式,利用 M 在椭圆上可消元,通过计 算验证结果为常数,再根据点 A、M、P 三点共线和 M、B、Q 三点共线就可以找到点 P、Q 的纵坐标之间的关系,即可求出线段 PQ 长度的最小值. 2 x2 [解析] (1)易知双曲线 -y2=1 的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为 ,故在椭圆 C 中 3 3 a=2,e= 3 x2 ,∴c= 3,b=1,故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 4

y0 y0 (2)①设 M(x0,y0),(x0≠±2),由题易知 A(-2,0),B(2,0),则 kMA= ,k = , x0+2 MB x0-2 故 kMA·kMB= y0 y0 y02 · = 2 , x0+2 x0-2 x0 -4

x02 点 M 在椭圆 C 上,则 +y02=1, 4 x02 1 y02 1 即 y02=1- =- (x02-4),故 kMA·kMB= 2 =- ,直线 MA,MB 的斜率之积为定 4 4 4 x0 -4 值. y1 y2 y1 y2 1 ②解法一:设 P(4,y1),Q(4,y2),则 kMA=kPA= ,kMB=kBQ= ,由①得 · =- , 6 2 6 2 4 即 y1y2=-3,当 y1>0,y2<0 时,|PQ|=|y1-y2|≥2 -y1y2=2 3,当且仅当 y1= 3,y2=- 3时等号成立,同理可得,当 y1<0,y2>0 时,当且仅当 y1=- 3,y2= 3时,|PQ|有最小 值 2 3. 解法二:设直线 MA 的斜率为 k,直线 MA 的方程为 y=k(x+2),从而 P(4,6k),由①知 1 1 1 直线 MB 的斜率为- ,直线 MB 的方程为 y=- (x-2),故得 Q?4,-2k?,故|PQ|=|6k ? ? 4k 4k 3 1 + |≥2 3,当且仅当 k=± 时等号成立. 2k 6



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