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高中数学人教A版必修三同步测试 第三章:3.3.2均匀随机数的产生(含答案)


3-3-2 均匀随机数的产生
一、选择题 1.下列关于几何概型的说法中,错误的是( )

A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发一都具有等可能性 [答案] A [解析] 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.几何概型 中的基本事件有无限多个,古典概型中的基本事件有有限个. 2.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率 [答案] C [解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概 型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值, 用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率. 3.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m,其实际概率的 大小为 n,则( A.m>n C.m=n [答案] D 4.如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位 1),如果 ) B.m<n D.m 是 n 的近似值 )
[来源:GKSTK.Com]

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撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖,则应选择的游 戏盘是( )

[答案] A π 1-4 3 2 1 π 1 [解析] P(A)=8,P(B)=6=3,P(C)= 1 =1-4,P(D)=π. 5.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数,需实 施的变换为( )

[答案] C [解析] 将[0,1]内的随机数转化为[a,b]内的随机数,需进行的

变换为 a=a1] 6.设 x 是[0,1]内的一个均匀随机数,经过变换 y=2x+3,则 x 1 =2对应变换成的均匀随机数是( A.0 C.4 [答案] C 1 1 [解析] 当 x=2时,y=2×2+3=4. 7.在矩形 ABCD 中,长 AB=4,宽 BC=2(如图所示),随机向
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) B.2 D.5

矩形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率是(

)

1 A.4 π C.4 [答案] D

1 B.2 π D.8

8.把[0,1]内的均匀随机数分别转化为 [0,4]和[-4,1]内的均匀随 机数,需实施的变换分别为( A.y=-4x,y=5-4 C.y=4x,y=5x-4 [答案] C 9.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为 30 s,黄灯亮的时间为 5 s,绿灯亮的时间为 40 s,当你到达路口时,事件 A 为“看见绿灯”、 事件 B 为“看见黄灯”、事件 C 为“看见不是绿灯”的概率大小关 系为( ) B.P(A)>P(C)>P(B) D.P(C)>P(A)>P(B) ) B.y=4x-4,y=4x+3 D.y=4x,y=4x+3

A.P(A)>P(B)>P(C) C.P(C)>P(B)>P(A) [答案] B

10.如图所示,在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木块,上 面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为 2cm,4cm,6cm,某人站在 3 m 之外向此板投镖, 设镖击中线上或没有投中木板时不算, 可重投, 记事件 A={投中大圆内}, 事件 B={投中小圆与中圆形成的圆环内},
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事件 C={投中大圆之外}.

(1) 用计算机产生两组 [0,1] 内的均匀随机数, a1 = RAND , b1 = RNAD. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=16b1-8,得到两组[- 8,8]内的均匀随机数. (3)统计投在大圆内的次数 N1(即满足 a2+b2<36 的点(a,b)的个 数), 投中小圆与中圆形成的圆环次数 N2(即满足 4<a2+b2<16 的点(a, b)的个数),投中木板的总次数 N(即满足上述-8<a<8,-8<b<8 的点 (a,b)的个数). 则概率 P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是( N1 N2 N-N1 A. N , N , N N1 N2-N1 N2 C. N , N , N [答案] A [解析] N-N1 为 N . 二、填空题 11.设函数 y=f(x)在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线,
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)

N2 N1 N-N2 B. N , N , N N2 N1 N1-N2 D. N , N , N

N1 N2 P(A)的近似值为 N ,P(B)的近似值为 N ,P(C)的近似值

且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线 y=f(x)及直 线 x=0,x=1,y=0 所围成部分的面积 S.先产生两组(每组 N 个)区 间[0,1]上的均匀随机数 x1,x2,?,xN 和 y1,y2,?,yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,?N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,?,N) 的点数 N1,那么由随机模拟方法可得到 S 的近似值为________. [答案] N1 N

[解析] 这种随机模拟的方法,是在[0,1]内生成了 N 个点,而满 S N1 足几条曲线围成的区域内的点是 N1 个,所以根据比例关系 = , S矩形 N N1 而矩形的面积为 1,所以随机模拟方法得到的面积为 N . 12.设 A 为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与 A 连接, 则弦长超过半径 2倍的概率为________. 1 [答案] 2 [解析] 如图所示,在圆周上过定点 A 作弦 AB=AC= 2r,则 BC 是圆的一条直径.

1 当取的点在 BC 上方时满足了弦长大于半径的 2倍,所以 P=2.
源:学优 gkstk]

[来

13.在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,则 AM>AC 的概率是________.
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2 [答案] 1- 2 [解析] 设 CA=CB=m(m>0),则 AB= 2m. AB-AC 2m-m 2 设事件 M:AM>AC,即 P(M)= AB = =1- 2 . 2m 14.某人从甲地去乙地共走了 500 m,途中要过一条宽为 x m 的 河流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若 4 物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为5,则河 宽为________m. [答案] 100 x 4 [解析] 已知河宽为 xm,由题意得 1-500=5,则 x=100. 三、解答题 15.在长为 14cm 的线段 AB 上任取一点 M,以 A 为圆心,以线 段 AM 为半径作圆.用随机模拟法估算该圆的面积介于 9πcm2 到 16πcm2 之间的概率. [分析] 圆的面积只与半径有关,故此题为与长度有关的几何概 型.解答本题时只需产生一组均匀随机数. [解析] 设事件 A 表示“圆的面积介于 9π cm2 到 16π cm2 之间”. (1) 利用计算器或计算机 产生一组 [0,1] 上 的均匀随 机数 a1 = RAND; (2)经过伸缩变换 a=14a1 得到一组[0,14]上的均匀随机数; (3) 统计出试验总次数 N 和 [3,4] 内的随机数个数 N1( 即满足 3≤a≤4 的个数); N1 (4)计算频率 fn(A)= N ,即为概率 P(A)的近似值.
[来源:学优 ]

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16.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于 6 cm,现用直径等于 2cm 的硬币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬 币落下后与格线有公共点的概率. [解析] 记事件 A={硬币与格线有公共点}, 设硬币中心为 B(x,y). 步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组 0 到 1 之间的均匀随机 数,x1=RAND,y1=RAND. (2)经过平移,伸缩变换,则 x=(x1-0.5)*6,y=(y1-0.5)*6,得 到两组[-3,3]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 及硬币与格线有公共点的次数 N1(满足条件 |x|≥2 或|y|≥2 的点(x,y)的个数). N1 (4)计算频率 N ,即为硬币落下后与格线有公共点的概率. 17.用随机模拟方法求函数 y= x与 x 轴和直线 x=1 围成的图 形的面积. [分析] 将问题转化为求在由直线 x=1,y=1 和 x 轴,y 轴围成 的正方形中任取一点,该点落在已知图形内的概率.用随机模拟方法 来估计概率即可. [解析] 如图所示,阴影部分是函数 y= x的图象与 x 轴和直线 x=1 围成的图形,设阴影部分的面积为 S.

随机模拟的步骤:
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(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1= RAND; (2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y< x的 点(x,y)的个数); N1 (3)计算频率 N ,即为点落在阴影部分的概率的近似值; (4)直线 x=1,y=1 和 x,y 轴围成的正方形面积是 1,由几何概 S 型公式得点落在阴影部分的概率为1=S.
[来源 :学优]

N1 N1 则 S= N ,即阴影部分面积的近似值为 N . 18.现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖,用随机模拟的方法 计算飞镖落在阴影部分的概率,阴影部分由直线 6x-3y-4=0 和 x =1,y=-1 围成.

[分析] 要确定飞镖落点位置,需要确定两个坐标 x、y,可用两 组均匀随机数来表示点的坐标. [解析] 记事件 A={飞镖落在阴影部分}. (1) 用 计 算 机 或 计 算 器 产 生 两 组 [0,1] 上 的 均 匀 随 机 数 , x1 = RAND,y1=RAND.
[来源:GKSTK.Com]

(2)经过平移和伸缩变换,x=2(x1-0.5),y=2(y1-0.5)得到两组 [-1,1]上的均匀随机数.
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(3)统计试验总次数 N 及落在阴影部分的点数 N1(满足 6x-3y- 4>0 的点(x,y)的个数). N1 (4)计算频率 fn(A)= N 即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值.

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