9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

13269kj


1.1.3分类计数原理

与分步计数原理(三)

www.jkzyw.com

一、复习回顾:
?两个计数原理的内容是什么? ?解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 有哪些技巧?

练习:
三个比赛项目,六人报名参加。 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 6 ? 729 3 2)每项1人,且每人至多参加一项,有多 少种不同的方法? 6 ? 5 ? 4 ? 120 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多 少种不同的方法? 3

6 ? 216

一、排数字问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数 字不允许重复的四位数?

www.jkzyw.com

引申:
1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个 方格里,每格填一个数字,则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_____种
1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填 法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相 同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只 有1种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。

二、映射个数问题:
?例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?

三、染色问题:
? 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色. ? (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? ? (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n ? ? ? ? ①
② (1)





③ ② (2) ④

2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种?

解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种? 思考:
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢? 答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
www.jkzyw.com

3.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。 B 分析:如图,A、B、C三个区域两两相邻, A A
与D不相邻,因此A、B、C三个区域的颜色两两 不同,A、D两个区域可以同色,也可以不同色, 但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D 同色与不同色分成两大类。

C

D

解:先分成两类:第一类,D与A不同色,可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C 有3种方法;第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理, 共有5×4×3×2=120种方法。 第二类,A、D同色,分三步完成,第一步涂A和D有5种 方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法。根据分 步计数原理,共有5×4×3=60种方法。 根据分类计数原理,共有120+60=180种方法。

4、某城市在中心广场建造一个花圃, 5 1 花圃分为6个部分(如右图)现要栽 种4种不同颜色的花,每部分栽种一 3 4 2 6 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有______种.(以 数字作答) 解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看 知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求 (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种;
(2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种; (3)②与④且③与⑥同色,则共N3=4×3×2×1=24种

所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.

5、如图,是5个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、 黑5种颜色涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜 色,且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用,那么共有多少种涂色方法?

6、将3种作物种植在如图所示的5块试验 田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不 能种植同一种作物,不同的种植方法共有 种(以数字作答) 42

四、子集问题
规律:n元集合 A ? {a1 , a2 ,..., an } 的不 n 同子集有个 2 。 例:集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ,真子集个数为 ,非空 子集个数为 ,非空真子集个数为



www.jkzyw.com

五、综合问题:
? 例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的 数字,则方程所表示的不同的直线共有多 少条?

2、75600有多少个正约数?有多少个奇约 数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 2 l ? 3 j ? 5 k ? 7 l 的形式,其中 0 ? i ? 4 ,0 ? j ? 3 ,0 ? k ? 2,0 ? l ? 1 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

www.jkzyw.com

3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶 点爬到相对的另一个顶点的最近路线 共有多少条?
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成, 所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最 近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。

4、如果把两条异面直线看成“一对”, 那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面 B 直线共有( )对 A.12 B.24 C.36 D.48

5.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙 地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4 条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。 从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。

甲地

乙地

丁地

丙地
www.jkzyw.com


赞助商链接

更多相关文章:
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图