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数系的扩充与复数的引入



第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

第 四 节 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

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[备考方向要明了]
考 什 么 1

.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示形式及其几何意义.
4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.

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怎 么 考

复数是每年必考的知识点之一,考查重点是复数的
基本概念、复数相等的充要条件以及复数代数形式的运 算.很多套高考试卷都有一道小题,并且一般在前三题 的位置上,主要考查对复数概念的理解以及复数加、减、 乘、除四则运算.

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一、复数的有关概念

1.复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ,则a+bi为实数;若 b≠0 ,则a +bi为虚数;若 a=0,b≠0 ,则a+bi为纯虚数.

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2.复数相等:a+bi=c+di? a= c 且 b =d (a,b,c,d∈R). 3.共轭复数:a+bi与c+di共轭? a=c,b+d=0 (a,b, c,d∈R).
4.复数的模: 复数z=a+bi在复平面内对应的点Z到 原点 的距离|OZ|叫 作复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a
2 2 +bi|= a +b .

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二、复数的几何意义 1.复平面的概念:用直角坐标平面内的点来表示复数时, 这个 直角坐标平面为复平面. 实轴

2.实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫做 ,y轴叫做 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 ;除原点以外,虚轴上
的点都表示 纯虚数 .

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3.复数的几何表示:
一 对 复数z=a+bi ? ?一?应? 复平面内的点 Z(a,b) ?

?? ? ? ?

一一对应

? ?? ? 平面向量 O Z

.

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三、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (3)乘法:z1·2=(a+bi)· z (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ; z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i = (c+di≠0). 2 2 c +d

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2.复数加法、乘法的运算律;
(1)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、 z3∈C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) . (2)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配

律,即对任意z1、z2、z3 ∈C,有z1 · z2= z2.z1 ,(z1 · 2)· 3 = z z z1.(z2.z3) , z1(z2 + z3)= z1 z2 + z1 z3.

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1.(2011· 浙江高考)若复数z=1+i,i为虚数单位,

则(1+z)· z=
A.1+3i C.3-i B.3+3i D.3

(

)

解析: ∵(1+z)· z=z+z2=1+i+(1+i)2=1+i+2i =1+3i. 答案: A

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2.(2011· 湖南高考)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i =b+i,则 ( )

A.a=1,b=1
C.a=-1,b=-1

B.a=-1,b=1
D.a=1,b=-1

解析:由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据 两复数相等的充要条件得a=1,b=-1. 答案: D

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3.(教材习题改编)复数 2 A.5 1 C.5

i (i是虚数单位)的实部是 1+2i

(

)

2 B.-5

1 D.-5 2+i i 2 解析: = 5 ,所以实部为5. 1+2i

答案: A

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4.若复数z满足

z =2i,则z对应的点位于第________象限. 1+i

解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此z对应的点 为(-2,2),在第二象限内. 答案:二

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3+i 5.若复数z满足z+i= i ,则|z|=________.

3+i 解析:因为z= i -i=1-3i-i=1-4i,则|z|= 17.
答案: 17

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1.复数的几何意义
除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外, 还要注意
(1)|z|= a2+b2(a,b∈R)表示复数z对应的点Z(a,b)到原点的距离; (2)|z-z0|= ?x-x02+?y-y02 表示复数z对应的点Z (x,y)与复数z0对应 ? ? 的点Z0(x0,y0)之间的距离.

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2.复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R); ②z+ z =2a∈R; ③z= z ?z∈R. (2)证明复数是纯虚数的策略: ①z=a+bi为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0时,z- z =2bi为纯虚数; ③z是纯虚数?z+ z =0且z≠0.

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[精析考题] [例1] 数a为 A.2 1 C.-2 B.-2 1 D.2 (2011· 安徽高考)设i是虚数单位,复数 1+ai 为纯虚数,则实 2-i ( )

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[自主解答]

法一:因为

1+ai ?1+ai??2+i? = 2-i ?2-i??2+i?

2-a+?2a+1?i = 为纯虚数, 5 所以2-a=0,a=2; 1+ai i?a-i? 法二:因为 = 为虚数,所以a=2. 2-i 2-i

[答案]

A

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1+ai 1+ai i 将本例中的条件“复数 为纯虚数”“变为 = ”, 2-i 2-i 1+2i 求a的值.

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1+ai 2-a+?2a+1?i 解:由例题知 = , 5 2-i 2+i 1+ai 2-a+?2a+1?i 2+i i i 又 = 5 ,由 = 得 = 5 5 1+2i 2-i 1+2i
?2-a=2, ? ∴? ?2a+1=1 ?

解得a=0.

∴a的值为0.

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[例2]

(2011· 新课标全国卷)复数 3 B.5i

2+i 的共轭复数是 1-2i

(

)

3 A.-5i C.-i
[自主解答]

D.i 2+i i?-2i+1? = =i, 1-2i 1-2i

2+i ∴ 的共轭复数为-i. 1-2i

[答案] C

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 济南调研)设a是实数,且 1 A.2 C.1 B.-1 D.2 1-i a + 2 是实数,则a=( 1+i )

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1-i a?1-i?+1-i ?a+1?-i?a+1? a 解析:由 + 2 = = 是实数得, 2 2 1+i a+1=0,a=-1.

答案:B

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2.(2012· 汉中模拟)若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i, m∈R,z2=3-2i,则m=1是z1=z2的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

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?m2+m+1=3, ? 解析:因为z1=z2,所以? 2 ?m +m-4=-2, ?

解得m=1或m=-2, 所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.

答案:A

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[冲关锦囊] 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实 部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处

理.由于复数z=a+bi(a,b∈R),由它的实部与虚部唯一
确定,故复数问题还可转化为点Z(a,b)的问题来处理.

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[精析考题] [例3] (2011· 大纲全国卷)复数z=1+i,-为z的共轭复数, z ( B.-i D.2i )

则z--z-1= z A.-2i C.i

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[自主解答]

依题意得 z z-z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i.

[答案] B

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[例4]

i2+i3+i4 (2011· 重庆高考)复数 = 1-i 1 1 B.-2+2i 1 1 D.2+2i

(

)

1 1 A.-2-2i 1 1 C.2-2i

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[自主解答] =

i2+i3+i4 ?-1?+?-i?+1 -i = = 1-i 1-i 1-i

-i?1+i? 1-i 1 1 = 2 =2-2i. ?1-i??1+i?

[答案] C

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
2 3.(2012· 扬州模拟)设z=1+i(i是虚数单位),则 z +z2= A.-1-i C.1-i B.-1+i D.1+i ( )

2 2 2 解析:对于 z +z = +(1+i)2=1-i+2i=1+i. 1+i

答案:D

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4.(2012· 深圳模拟)复数z1=3+4i,z2=1+i,i为虚数单位, 若z2=z·1,则复数z等于 z 2 8 6 A.-5+5i 8 6 C.5+5i 8 6 B.-5-5i 8 6 D.5-5i ( )

2 2i?3-4i? 8 6 z2 ?1+i? 2i 2 2 解析:∵z2=z·1,∴z=z = z = = =5+5i. 5 3+4i 3+4i 1

答案:C

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[冲关锦囊]
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最 简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度 1+i 1-i a+bi (1)(1± =± i) 2i;(2) =i;(3) =-i;(4) i =b-ai; 1-i 1+i
2

(5)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).

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[精析考题] [例5] (2011· 山东高考)复数z= 2-i (i为虚数单位)在复平面内对应 2+i ( B.第二象限 D.第四象限 )

的点所在象限为 A.第一象限 C.第三象限

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[自主解答]

2-i ?2-i??2-i? 3 4 z= = =5-5i,其在复平面内对应 5 2+i

的点在第四象限.

[答案] D

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!) 5.(2012· 启东模拟)已知复数z满足(1+i)z=1+ai(其中i 是虚数单位,a∈R),则复数z对应的点不可能位于 复平面内的 A.第一象限 B.第二象限 ( )

C.第三象限

D.第四象限

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?1+ai??1-i? ?1+a?+?a-1?i 解析:由(1+i)z=1+ai得z= = ,设 2 2 在复平面内z对应的点的坐标为(x,y), 1+a a-1 则x= 2 ,y= 2 .

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法一:易知x-y=1,即复数z对应的点在直线x-y=1上,直线不经 过第二象限,故复数z对应的点不可能位于复平面内的第二象限. 法二:若复数z对应的点在第一象限,则只要a>1,若在第二象限, 1+a a-1 需要 2 <0,且 2 >0,即a<-1且a>1,无解,故复数z对应的点 不可能在第二象限.

答案: B

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6.(2012· 连云港模拟)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-
??? ? 4i,它们在复平面上对应的点分别为A、B、C,若 O C
? ?? ? μ O B ,(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.

? ?? ? =λ O A +

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??? ? 解析:由条件得 O C ??? ? 根据 O C

? ?? ? ? ?? ? =(3,-4), O A =(-1,2), O B =(1,-1),

? ?? ? ? ?? ? =λ O A +μ O B 得

(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
?-λ+μ=3, ? ∴? ?2λ-μ=-4, ? ?λ=-1, ? 解得? ?μ=2. ?

∴λ+μ=1.

答案:1

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[冲关锦囊] 复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面 内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数加减

法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边
形法则或三角形法则解决问题.

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易错矫正

复数模的概念不明致误

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[考题范例] (2011· 陕西高考)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x- 1 i |< 2,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为 A.(0,1) C.[0,1) B.(0,1] D.[0,1] ( )

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[失误展板] 错解:∵y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|,x∈R,∴y∈[0,1], ∴M=[0,1]. 1 在N中,x∈R且|x- i |< 2, ∴|x+i|< 2, ∴x+1<2,∴x<1,∴N=(-∞,1). ∴M∩N=[0,1).

错因:由|x+i|< 2 得x+1< 2 是错误的,其原因是不 理解复数模的定义.
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[正确解答] ∵y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|, 且x∈R,∴y∈[0,1]. 1 ∴M=[0,1].在N中,x∈R且|x- i |< 2,∴|x+i|< 2, ∴x2+1<2,解得-1<x<1, ∴N=(-1,1). ∴M∩N=[0,1).

答案:C 返回

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