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2.2直线、平面平行的判定及其性质


新课标高中数学-必修二导学案
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 则该直线与 此平面平行(线线平行?线面平行) 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”) 图形语言 符号语言 ∵l∥a,a?α, l?α,∴l∥α ∵l∥α,l?β, α∩β=b,∴l∥b

性质定理

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两 个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) 图形语言 符号语言 ∵a∥β,b∥β, a∩b=P,a?α, b?α,∴α∥β ∵α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b,∴a∥b

判定定理

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 交线平行

3.

考点一 线面平行、面面平行的基本问题 例 1.(1)有互不相同的直线 m,n,l 和平面 α,β,给出下列四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m,l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 m,n 是相交直线,m?α,m∥β,n?α,n∥β,则 α∥β; ④若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m. 其中真命题有( A.4 个 ) B.3 个 C.2 个 D.1 个

(2).设 l,m,n 表示不同的直线,α,β,γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且 n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 ) B.2 C.3 D.4

1

新课标高中数学-必修二导学案
考点二 直线与平面平行的判定与性质 例 2.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C A1DE 的体积.

变式:如图,已知四棱锥 P

ABCD 的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90° ,

1 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. 2 (1)求证:AM=CM;(2)若 N 是 PC 的中点,求证:DN∥平面 AMC.

考点三 平面与平面平行的判定与性质 例 3.如图,四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心, A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1;(2)求三棱柱 ABD A1B1D1 的体积.

2

新课标高中数学-必修二导学案
变式:如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面是正方形,E,F,G 分别是棱 B1B,D1D,DA 的中点. 求证:(1)平面 AD1E∥平面 BGF;(2)D1E⊥AC.

' ' ' ' ? ' ' 例 4. 如图, 直三棱柱 ABC ? A B C ,?BAC ? 90 ,AB ? AC ? 2 AA? ? 1 , 点 M , N 分别为 A B 和 B C

的中点. (1)证明: MN ∥平面 A ACC ; (2)求三棱锥 A ? MNC 的体积。
'

'

'

3

新课标高中数学-必修二导学案
例 5. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的重点. (1)证明: PB //平面 AEC ; (2)设 AP ? 1, AD ?

3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

例 7. 如图在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1, BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

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