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【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库:1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词



1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题 1? 1 ?1? ? 1.已知命题 p:函数 f(x)=? ?x-log x 在区间?0, ?内存在零点,命题 q:存 3? 3 ?2? ? ?1? ?1? 在负数 x 使得? ?x>? ?x.给出下列四个命题:①p 或 q;②p 且 q;③p 的否定;④ ?2? ?3?

q 的否定.

其中真命题的个数是(
A.1 B.2

) C.3 D.4

解析 命题 p 为假命题,命题 q 也为假命题.利用真值表判断. 答案 B 2.已知命题 p:存在 n∈N,2n>1 000,则非 p 为( A.任意 n∈N,2n≤1 000 C.存在 n∈N,2n≤1 000 )

B.任意 n∈N,2n>1 000 D.存在 n∈N,2n<1 000

解析:特称命题的否定是全称命题,即 p:存在 x∈M,p(x),则非 p:任意 x∈M, 非 p(x). 答案:A 3. ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是( A.0<a≤1 C.a≤1 B.a<1 D. 0<a≤1 或 a<0 ).

解析 (筛选法)当 a=0 时,原方程有一个负的实根,可以排除 A、D;当 a=1 时,原方程有两个相等的负实根,可以排除 B,故选 C. 答案 C 4.已知 p:x2-2x-3≥0,q:x∈Z.若 p 且 q,非 q 同时为假命题,则满足条件

的 x 的集合 为(

)

A.{x|x≤-1 或 x≥3,x?Z} B.{x|-1≤x≤3,x∈Z} C.{x|x<-1 或 x>3,x?Z} D.{x|-1<x<3,x∈Z} 解析

p:x≥3 或 x≤-1,q:x∈Z,则由 p 且 q,非 q 同时为假命题知,p 假 q

真,所以 x 满足-1<x<3 且 x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1<x<3,x∈Z}. 答案 D 5.已知下列命题: ①命题“存在 x∈R,x2+1>3x”的否定是“任意 x∈R,x2+1<3x”;
[来源:Zxxk.Com]

②已知 p、q 为两个命题,若“p 或 q”为假命题,则“非 p 且非 q 为真命题”; ③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件; ④“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题为真命题. 其中所有真命题的序号是( A.①②③ C.② ) B.②④ D.④

解析:命题“存在 x∈R,x2+1>3x”的否定是“任意 x∈R,x2+1≤3x”,故① 错;“p 或 q”为假命题说明 p 和 q 都假,则非 p 且非 q 为真命题,故②对;a>5 ?a>2,但 a>2?/ a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错; “若

xy=0,则 x=0 且 y=0”为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错.
答案:C 6.下列命题错误的是( ).

A.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程

x2+x-m=0 无实数根,则 m≤0”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.对于命题 p:存在 x∈R,使得 x2+x+1<0,则非 p:任意 x∈R,均有 x2+x +1≥0 解析 依次判断各选项,易知只有 C 是错误的,因为用逻辑联结词“且”联结的 两个命题中,只要一个为假整个命题为假. 答案 C 7.已知 p:存在 x∈R,mx2+2≤0.q:任意 x∈R,x2-2mx+1>0,若 p 或 q 为 假命题,则实数 m 的取 值范围是( A.[1,+∞) C.(-∞,-2] ).

B.(-∞,-1] D.[-1,1]

解析 (直接法)∵p 或 q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题. 由 p:存在 x∈R,mx2+2≤0 为假,得任意 x∈R,m x2+2>0,∴m≥0.① 由 q:任意 x∈R,x2 -2mx+1>0 为假,得存在 x∈R,x2-2mx+1≤0, ∴Δ =(-2m)2-4≥0?m2≥1?m≤-1 或 m≥1.② 由①和②得 m≥1. 答案 A 【点评】 本题采用直接法,就是通过题设条件 解出所求的结果,多数选择题和 填空题都要用该方法,是解题中最常用的一种方法. 二、填空题

8.用含有逻辑联结词的命题表示命题“xy=0”的否定是________. 解析 方法 1:记命题 p1:x=0,p2:y=0,则命题 xy=0 即命题 p1∨p2,其否定 是(非 p1)且(非 p2),非 p1:x≠0,非 p2:y≠0,故命题 xy=0 的否定是“x≠0 且 y≠0”.
[来源:Z,xx,k.Com]

方法 2:xy=0 的否定即 xy≠0,即“x≠0 且 y≠0”. 答案 x≠0 且 y≠0 9.已知命题 p:f(x)= 1-2m 在区间(0,+∞)上是减函数;命题 q:不等式

x

(x-1)2>m 的解集为 R.若命题“p 或 q”为真 ,命题“p 且 q”为假,则实数 m 的 取值范围是________. 解析 由 f( x)= 1-2m 1 在区间(0,+∞)上是减函数,得 1-2m>0,即 m< ,由不 2

x

等式(x-1)2>m 的解集为 R,得 m<0.要保证命题“p∨q”为真,命题“p 且 q”为 1 假,则需要两个命题中只有一个正确,而另一个不正确,故 0≤m< . 2 答案 0≤m< 1 2

10.令 p(x):ax2+2x+a>0,若对任意 x∈R,p(x)是真命题,则实数 a 的取值 范围是________. 解析 ∵对任意 x∈R,p(x)是真命题.
[来源:学科网 ZXXK]

∴对任意 x∈R,a x2+2x+a>0 恒成立, 当 a=0 时,不等式为 2x>0 不恒 成立, 当 a≠0 时,若不等式恒成立,
2 则{a>0,?Δ =4-4a <0, ∴a>1.

答案 a>1 11.命题“对任意 x>1,x2>1”的否定是________. 解析:这是一个全称命题,其否定是“存在 x0>1,使得 x2 0≤1”. 答案:存在 x0>1,使得 x2 0≤1 12.已知命题“任意 x∈R,x2-5x+ 范围是________. 15 解析 由“任意 x∈R,x2-5x+ a>0”的否定为假命题, 2 15 可知命题“任意 x∈R,x2-5x+ a>0”必为真命题, 2 即不等式 x2-5x+ 15 a>0 对任意实数 x 恒成立. 2 15 a,则其图像恒在 x 轴的上方. 2 15 a>0”的否定为假命题,则实数 a 的取值 2

设 f(x)=x2-5x+

故 Δ =25-4×

15 5 ?5 ? a<0,解得 a> ,即实数 a 的取值范围为? ,+∞?. 2 6 ?6 ?

?5 ? 答案 ? ,+∞? ?6 ? 三、解答题 13.设命题 p:函数 f(x)=x3-ax-1 在区间[-1,1]上单调递减;命题 q:函数

y=ln(x2+ax+1)的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 a
的取值范围. 解析 p 为真命题?f′(x)=3x2-a≤0 在[-1,1]上恒成立?a≥3x2 在[-1,1] 上恒成立?a≥3.

q 为真命题?Δ =a2-4≥0 恒成立?a≤-2 或 a≥2.

由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题. ?a≥3, p 真 q 假?? ?-2<a<2

?a∈?;

?a<3, p 假 q 真?? ?a≤-2或a≥2

?a≤-2 或 2≤a<3.

综上所述:a∈(-∞,-2]∪[2,3). 14.写出下列命题的否定,并判断真假: (1)存在一个三角形是正三角形; (2)至少存在一个实数 x0 使 x2 0-2x0-3=0 成立; (3)正数的对数不全是正数. 解析 (1)任意的三角形都不是正三角形,假命题; (2)对任意实数 x 都有 x2-2x-3≠0,假命题; (3)正数的对数都是正数,假命题. 15.已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,命题 q:方程 4x2+ 4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 解析 由已知得:p,q 中有且仅有一个为真,一个为假.

?Δ >0, 命题 p 为真??x +x =-m<0,?m>2. ?x x =1>0
1 1 2 2

命题 q 为真?Δ <0?1<m<3. ?m≤2, (1)若 p 假 q 真,则? ?1<m<3

?1<m≤2;

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

?m>2, (2)若 p 真 q 假,则? ?m≤1或m≥3

?m≥3.

综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞). ?1 ? 16.已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ,2?时,函数 ?2 ?

f(x)=x+ > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题.求 c 的取值范 x c
围. 1 5 解析 由命题 p 知:0<c<1.由命题 q 知:2≤x+ ≤ x 2 1 1 要使此式恒成立,则 2> ,即 c> . c 2 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知,p、q 必有一真一假, 1 当 p 为真,q 为假时,c 的取值范围为 0<c≤ . 2 当 p 为假,q 为真时,c≥1. ? ? 1 综上,c 的取值范围为?c?0<c≤ 或c≥1 2 ? ? ? ?. ?

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[来源:Z|xx|k.Com]



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