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2016高考



第7讲

抛物线

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1 1.(2015· 合肥质量检测)抛物线 x2=2y 的焦点坐标为 ?1 ? A.?2,0? ? ? 1? ? ?1 ? B.?0,2? C.?8,0? ? ? ? ? 1? 1 ? 解析 抛物线 x2=2y 的焦点坐标是?0,8?. ? ? 答案 D 2.

(2014· 西宁复习检测)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-4x-5 =0 相切,则 p 的值为 ( A.2 ) B.1 1 C.2 1 D.4 1? ? D.?0,8? ? ? ( )

解析 曲线的标准方程为(x-2)2+y2=9,其表示圆心为(2,0),半径为 3 的 p 圆,又抛物线的准线方程为 x=-2, p ∴由抛物线的准线与圆相切得 2+2=3,解得 p=2,故选 A. 答案 A 3.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 ( A.y=12x2 C.y=-36x2 B.y=12x2 或 y=-36x2 1 1 D.y=12x2 或 y=-36x2 )

1 1 解析 分两类 a>0,a<0 可得 y=12x2,y=-36x2. 答案 D x2 y2 4. (2014· 潍坊一模)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 与双曲线 4 - 5 =1 的右焦 点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|,
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则 A 点的横坐标为 A.2 2 解析 B.3 C.2 3 D.4

(

)

p ?p ? 抛物线的焦点为?2,0?,准线为 x=-2.双曲线的右焦点为(3,0),所 ? ?

p 以2=3,即 p=6,即 y2=12x.过 A 做准线的垂线,垂足为 M,则|AK|= 2|AF|= 2|AM|,即|KM|=|AM|,设 A(x,y),则 y=x+3,代入 y2=12x, 解得 x=3. 答案 B 5. (2014· 新课标全国Ⅱ卷)设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 3 3 A. 4 63 9 C.32 D.4 3 ?3 ? 解析 易知抛物线中 p=2,焦点 F?4,0?, ? ? 3 法一 直线 AB 的斜率 k= 3 , 3? 3? 故直线 AB 的方程为 y= 3 ?x-4?, ? ? 21 9 代入抛物线方程 y2=3x,整理得 x2- 2 x+16=0. 21 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 . 21 3 由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p= 2 +2=12, 3 2 2p 法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|= 2 = 2 =12, sin θ sin 30° p 3 结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d=2sin 30°=8, 1 9 所以△OAB 的面积 S=2|AB|·d=4. 答案 D 二、填空题 6.(2014· 北京海淀区模拟)若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的左顶点,则 p=________. p 解析 由题意知抛物线的准线为 x=-2,双曲线 x2-y2=1 的左顶点为(-1,
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(

)

9 3 B. 8

p 0),所以-2=-1,p=2. 答案 2 7.(2014· 银川质量检测)已知一条过点 P(2,1)的直线与抛物线 y2=2x 交于 A,B 两点,且 P 是弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为________.
2 解析 依题意,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y2 1=2x1,y2=2x2,两式相减 2 得 y2 1-y2=2(x1-x2),即

y1-y2 2 = =1,直线 AB 的斜率为 1,直线 AB 的 x1-x2 y1+y2

方程是 y-1=x-2,即 x-y-1=0. 答案 x-y-1=0 8.(2015· 沈阳质量监测)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,△ABC 的顶点都 1 1 1 → → → 在抛物线上,且满足FA+FB+FC=0,则k +k +k =________. AB BC CA p p ?p ? ? ? ? ? 解析 设点 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), F?2,0?, 则?x1-2,y1?+?x2-2,y2? ? ? ? ? ? ? p ? ? +?x3-2,y3?=(0,0), ? ? 故 y1+y2+y3=0. 1 (y2-y2) y2+y1 1 x2-x1 2p 2 1 1 y3+y2 1 y3+y1 因为k = = = 2p ,同理可知k = 2p ,k = 2p , y2-y1 AB y2-y1 BC CA 2(y1+y2+y3) 所以原式= =0. 2p 答案 0 三、解答题 9. 如图, 已知抛物线 y2=2px(p>0)有一个内接直角三 角形, 直角顶点在原点, 两直角边 OA 与 OB 的长 分别为 1 和 8,求抛物线的方程. 解 设直线 OA 的方程为 y=kx, k≠0, 则直线 OB 1 的方程为 y=- kx, ?y=kx, 2p 由? 2 得 x=0 或 x= k2 . ?y =2px, ?2p 2p? ∴A 点坐标为? k2 , k ?,同理得 B 点坐标为(2pk2,-2pk), ? ?
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2 ? 2k +1 ?4p ① k4 =1, 由|OA|=1,|OB|=8,可得? 2 2 2 ? ?4p k (k +1)=64, ②

②÷①解方程组得 k6=64,即 k2=4. 16 4 则 p2= 2 2 =5. k (k +1) 2 5 4 5 又 p>0,则 p= 5 ,故所求抛物线方程为 y2= 5 x. y2 x2 10.(2014· 陕西卷)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:a2+b2 =1(a>b>0, y≥0)和部分抛物线 C2: y=-x2+1(y≤0) 连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离 3 心率为 2 . (1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异 于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程. 解 (1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是 上半椭圆 C1 的左、右顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由a= 2 及 a2-c2=b2=1 得 a=2. ∴a=2,b=1. y2 2 (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 4 +x =1(y≥0). 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8k 由求根公式,得 xP= 2 ,从而 yP= 2 , k +4 k +4
2 ?k -4 -8k ? , 2 ?. ? ∴点 P 的坐标为 2 ?k +4 k +4?

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?y=k(x-1)(k≠0), 同理,由? 2 ?y=-x +1(y≤0) 得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2). k +4 ∵AP⊥AQ,∴AP·AQ=0, -2k2 即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 8 ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得 k=-3. 8 经检验,k=-3符合题意, 8 故直线 l 的方程为 y=-3(x-1).





能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
?7 ? 11.(2015· 太原模拟)已知 P 是抛物线 y2=2x 上动点,A?2,4?,若点 P 到 y 轴的 ? ? 距离为 d1,点 P 到点 A 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是 A.4 9 B.2 C.5 11 D. 2 ( )

1 解析 因为点 P 在抛物线上,所以 d1=|PF|-2(其中点 F 为抛物线的焦点), 1 1 则 d1+d2=|PF|+|PA|-2≥|AF|-2= 1 1 9 ?7 1?2 ?2-2? +42- =5- = ,当且仅当 2 2 2 ? ?

点 P 是线段 AF 与抛物线的交点时取等号,故选 B. 答案 B 12.(2014· 四川卷)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 → → x 轴的两侧,OA·OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和 的最小值是 A.2 B.3 17 2 C. 8
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( D. 10

)

解析 如图,可设 A(m2,m),B(n2,n),其中 m>0, n< 0 ,则 OA=(m2 ,m), OB= (n2 , n), OA· OB = m2n2+mn=2,解得 mn=1(舍)或 mn=-2. ∴ lAB : (m2 - n2)(y - n)= (m - n)(x - n2) ,即 (m+ n)(y -n)=x-n2,令 y=0,解得 x=-mn=2,∴C(2, 0). 1 1 1 1 S△AOB=S△AOC+S△BOC=2×2×m+2×2×(-n)=m-n,S△AOF=2×4×m= 1 1 9 9 2 9 2 8m,则 S△AOB+S△AOF=m-n+8m=8m-n=8m+m≥2 8m·m=3,当且仅 9 2 4 当8m=m,即 m=3时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为 3. 答案 B 13.(2015· 南昌模拟)抛物线 C:x2=8y 与直线 y=2x-2 相交于 A,B 两点,点 P 是抛物线 C 上异于 A,B 的一点,若直线 PA,PB 分别与直线 y=2 相交于点 Q,R,O 为坐标原点,则OP·OQ=________.
2 x1 x2 x2 2? 0? ? ? ? ? x , x , x , 解析 设 A? 1 8 ?,B? 2 8 ?,P? 0 8 ?,Q(x3,2), ? ? ? ? ? ?













R(x4,2).将 y=2x-2 代入 x2=8y 得 x2-16x+16=0,则 x1+x2=x1x2=16.
2 x2 0 x1 - 8 8 x2 0 x0+x1 直线 PA 的方程为 y- 8 = (x-x0),即 y- 8 = 8 (x-x0). x0-x1

x2 0

令 y=2,解得 x3=

x1x0+16 ; x1+x0

同理可得 x4=

x2x0+16 . x1+x0

x1x0+16 x2x0+16 所以 x3x4= × = x1+x0 x2+x0
2 2 x2x1x2 16(x2x1+16x0+x0 ) 0+16x0(x1+x2)+16 = =16, 2 2 x2x1+16x0+x0 x2x1+16x0+x0

→ → 所以OR·OQ=x3x4+4=20.
答案 20
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14.已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0, 1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若 直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN|的最小值. 解 (1) 由题意可设抛物线 C 的方程为 x2 =

p 2py(p>0),则2=1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. ?y=kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, x = 4 y ? 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4 k2+1. y ? ?y= 1x, 由? x1 ? ?y=x-2, 2x1 2x1 8 = 2= x1 4-x1. x1-y1 x1- 4 8 同理,点 N 的横坐标 xN= . 4-x2 8 ? ? 8 所以|MN|= 2|xM-xN|= 2?4-x -4-x ? ? 1 2? 解得点 M 的横坐标 xM= x1-x2 ? ? 8 2 k2+1 ?= =8 2? , |4k-3| ?x1x2-4(x1+x2)+16? t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= 4 . 25 6 当 t>0 时,|MN|=2 2 t2 + t +1>2 2. 当 t<0 时,|MN|=2 2 ?5 3?2 16 8 ? t +5? + ≥ ? ? 25 5 2.

25 4 综上所述,当 t=- 3 ,即 k=-3时, 8 |MN|的最小值是5 2.
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