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江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第三次考试数学(理)试题含解析



南昌二中 2014—2015 学年度上学期第三次考试

高三数学(理)试卷
【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致,全卷重点考查中学数学主干知识和方 法,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查,侧重于知识交汇点的考查.在函数、 三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容, 尤其在解答题,涉及高中数学的

重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定 的综合性,很多题由多个知识点构成,在适当的规划和难度控制下,效果明显,通过知识交 汇的考查,对考生数学能力提出了较高的要求,提高了区分度,完全符合课改的要求和学生 学习的实际情况.

一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,有且只有一项是符合题目要求的. M ? ?x | ?1 ? x ? 1? ,N ? ?x | log2 x ? 1? ,则M ? N等于( 【题文】1.已知集合 ) A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | -1 ? x ? 2? C. ?x | -1 ? x ? 0? D. ?x | -1 ? x ? 1?
【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】A 解析:由 N 中的不等式变形得:log2x<1=log22,即 0<x<2, ∴ N={x|0<x<2},∵ M={x|﹣1<x<1},∴ M∩ N={x|0<x<1}.故选:A. 【思路点拨】求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 【题文】2.下列命题的说法错误 的是( ..



A . 命 题 “ 若 x2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ” 的 逆 否 命 题 为 : “ 若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”. B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0. D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题.
【知识点】特称命题;复合命题的真假;命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】 D 解析: 命题“若 x ﹣3x+2=0, 则 x=1”的逆否命题为: “x≠1, 则 x ﹣3x+2≠0”. 选 2 2 项 A 正确;若 x=1,则 x ﹣3x+2=0.反之,若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2. 2 ∴ “x=1 是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.选项 B 正确; 命题 p: ?x∈R, x +x+1>0 为全称命题, 其否定为特称命题, 即¬p: ?x0∈R,
2 2 2

. 选

项 C 正确;若 p∧q 为假命题,则 p 或 q 为假命题.选项 D 错误.故选:D. 2 【思路点拨】直接写出原命题的逆否命题判断 A;求出一元二次方程 x ﹣3x+2=0 的解判断 B;直接写出全称命题的否定判断 C;由复合命题的真值表判断 D. 【题文】3.已知 cos(

?

A.

18 25

3 ? x) ? ,则 sin 2 x ? ( ) 4 5 7 7 B. C. ? 25 25
﹣x)=2cos ( .故选:C.
1
2

D. ?

16 25

【知识点】二倍角的正弦.C6 【答案解析】C 解析:∵ cos2( ∴ cos( ﹣2x)=﹣ 即 sin2x=﹣ ﹣x)﹣1=﹣ ,

【思路点拨】根据倍角公式 cos2( ( ﹣2x)得出答案.

﹣x)=2cos (

2

﹣x)﹣1,根据诱导公式得 sin2x=cos

?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 【题文】4.已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ,若数列 {a n } 满足 an ? f (n) ,且 {a n } 单 ( x ? 7) ?a 调递增,则实数 a 的取值范围为( )

A. (2,3)

B. (1,3)

C. ( ,3)

9 4

D. [ ,3)

9 4

【知识点】数列的函数特性.D1 【答案解析】A 解析:根据题意,an=f(n)= ;

要使{an}是递增数列,必有

;解可得,2<a<3;

故选 A. 【思路点拨】根据题意,首先可得 an 通项公式,这是一个类似与分段函数的通项,结合分 段函数的单调性的判断方法, 【题文】5.在△ABC 中,已知 | AB |? 4,| AC |? 1 , S?ABC ? 3 ,则 AB ? AC 的值为

( ) A. ?2

B. 2

C. ? 4

D. ?2

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】D 解析:∵ ∴ cosA=± ∴ = = ,∴ sinA= ;

=4×1×(± )=±2,故选:D.

【思路点拨】先根据三角形的面积公式可求得 A 的正弦值,从而可求得余弦值,根据向量的 数量积运算可得到 AB ? AC 的值. 【题文】6.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为(

)

A.

32 9

B.2-ln 3

C.4+ln 3

D.4-ln 3

【知识点】定积分在求面积中的应用.B13 【答案解析】D 解析:由 xy=1,y=3 可得交点坐标为( ,3) , 由 xy=1,y=x 可得交点坐标为(1,1) ,由 y=x,y=3 可得交点坐标为(3,3) , ∴ 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为

2

(3﹣ )dx+

(3﹣x)dx=(3x﹣lnx)

+(3x﹣ x )

2

=(3﹣1﹣ln3)+(9﹣

﹣3+ )=4﹣ln3,故选:D.

【思路点拨】确定曲线交点的坐标,确定被积区间及被积函数,利用定积分表示面积,即可 得到结论. 【题文】7.若 函数f ( x ) ?

x3 a 2 ?1 ? ? x ? x ? 1 在区间 ? ,3 ? 上有极值点,则实数 a 的取 3 2 ?2 ?

值范围是( ? 5? A. ? 2, ? ? 2?

)

? 5? B. ? 2, ? ? 2?
2

? 10 ? C. ? 2, ? ? 3?
2

? 10 ? D. ?2, ? ? 3?

【知识点】利用导数研究函数的极值.B12 【答案解析】C 解析:∵ 函数 f(x)= 若函数 f(x)=
2 2

﹣ x +x+1,∴ f′ (x)=x ﹣ax+1,

﹣ x +x+1 在区间( ,3)上有极值点,

则 f′ (x)=x ﹣ax+1 在区间( ,3)内有零点,即 f′ ( )?f′ (3)<0 即( ﹣ a+1)?(9﹣3a+1)<0,解得 2<a< 【思路点拨】由函数 f(x)=
2

.故选 C.

﹣ x +x+1 在区间( ,3)上有极值点,我们易得函数的导

函数在区间( ,3)内有零点,结合零点存在定理,我们易构造出一个关于 a 的不等式, 解不等式即可得到答案. 【题文】8.设函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ? ? cos??x ? ? ? (? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 π,

且 f ?? x ? ? f ?x ? ,则( ) . ? A. f ( x)在(0, ) 单调递减 2

B. f ?x ? 在 (
3

? 3?
4 , 4

) 单调递减

? C. f ( x)在(0, ) 单调递增 2

D. f ?x ? 在 (

? 3?
4 , 4

) 单调递增

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性.C4 【答案解析】A 解析:由于 f(x)=sin(ωx+? )+cos(ωx+? )= 由于该函数的最小正周期为 π= 又根据 f(﹣x)=f(x) ,以及|φ|< 因此,f(x)= 若 x∈ 若 x∈( , ,得出 ω=2, ,得出 φ= cos2x, ,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 ) ,则 2x∈( , ) , 单调递减, . ,

该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 【思路点拨】利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值, 根据函数的偶函数性质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 【题文】9.函数 y ? f ( x) 在[0,2] 上单调递增,且函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则下

列结论成立的是(

) B.f( )<f(1)<f( ) D.f( )<f(1)<f( )

A.f(1)<f( )<f( ) C.f( )<f( )<f(1)
【知识点】奇偶性与单调性的综合.B3 B4

【答案解析】B 解析:∵ 函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数, ∴ 函数 y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数 y=f(x)满足 f(2﹣x)=f(2+x) 即 f(1)=f(3)∵ f( )<f(3)<f( ) ,∴ f( )<f(1)<f( ) ,故选 B 【思路点拨】由已知中函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数,我们 可得函数 y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数 y=f(x)满足 f(2﹣x)=f(2+x) , 由此要比较 f( ) ,f(1) ,f( )的大小,可以比较 f( ) ,f(3) ,f( ) . 【题文】10.如图,把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) ,一动

点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周,记弧 AM=x,直线 AM 与 x 轴交于点 N (t,0) ,则函数 t ? f ( x) 的图像大致为( )

4

【知识点】函数的图象. B10
菁优

【答案解析】D 解析:当 x 由 0→ 时,t 从﹣∞→0,且单调递增,由 →1 时,t 从 0→+∞, 且单调递增,∴ 排除 A,B,C,故选:D. 【思路点拨】根据动点移动过程的规律,利用单调性进行排除即可得到结论.

二、填空题:本大题共 5 个小题;每小题 5 分,共 25 分. 【 题 文 】 11 . 若 直 线 y ? x 是 曲 线 y ? x3 ? 3x2 ? ax ? 1 的 切 线 , 则 a 的 值 为 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程. B12
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【答案解析】 a ? 4 或 a ? ?
3

11 3 2 ′ 2 解析:由 y=x ﹣3x +ax﹣1,得:y =3x ﹣6x+a. 4
) , ①

设直线 y=x 与曲线 y=x ﹣3x +ax﹣1 切于( 又 由( ∴ 由① 得, 把③ 代入② 得: 整理得: 所以,x0=1 或 .
2

2

=

,所以, )在直线 y=x 上, ② ③

,即



当 x0=1 时,a=1+6×1﹣3×1 =4. 当 时,a= = .

所以 a 的值为 4 或 故答案为 4 或 -

11 . 4

11 . 4
3 2

【思路点拨】设出直线 y=x 与曲线 y=x ﹣3x +ax﹣1 的切点,求出曲线在切点处的导数值,

5

由导数值等于 1 列一个关于切点横坐标和 a 的方程,再由切点在直线 y=x 上得另一方程,两 个方程联立可求 a 的值.
2 ? ? x ? bx ? 2, x ? 0 【 题 文 】 12 . 设 函 数 f ? x ? ? ? 若 f (?4) ? f (0) , 则 函 数 ? ?2? x,x ? 0 个. y ? f ( x) ? l n x(? 2) 的零点个数有

【知识点】根的存在性及根的个数判断.B9 【答案解析】4 解析:∵ 函数 f(x)= ,f(﹣4)=f(0) ,

∴ b=4,∴ f(x)=



f(x)=

与 y=ln(x+2)的图象如图所示,

∴ 函数 y=f(x)﹣ln(x+2)的零点个数有 4 个,故答案为:4.

【思路点拨】先求出 b,再做出 f(x)= 出结论.

与 y=ln(x+2)的图象,即可得

【题文】13.函数 f ( x) ? 3sin(20 ? x) ? 5sin( x ? 80 ). 的值域为 【知识点】两角和与差的正弦函数. C5




【答案解析】 [-7,7] 解析:∵ sin(x+80°)=sin[(x+20°)+60°] = sin(20°+x)+ cos(20°+x) ,

∴ f(x)=3sin(20°+x)+5sin(x+80°) =3sin(20°+x)+[ sin(20°+x)+ cos(20°+x)]

6

=

sin(20°+x)+

cos(20°+x)=

sin(20°+x+φ)

=7sin(20°+x+φ) ,∴ f(x)∈[﹣7,7],故答案为:[﹣7,7]. 【思路点拨】 利用两角和的正弦可求得 sin (x+80°) =sin[ (x+20°) +60°]= sin (20°+x) + (20°+x) ,再利用辅助角公式可得 f(x)=7sin(20°+x+φ) ,于是可得其值域. 【题文】14.已知向量 a , b 满足 b ? (1, 3) ,b ? (a ? b) ? ?3 ,则向量 a 在 b 上的投影 cos

为_________.
【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】 ∴ 化为 =2,

1 2

解析:∵ 向量 , 满足 =(1,
2

) , ?( ﹣ )=﹣3,

﹣2 =﹣3, = .∴ 向量 在 上的投影为 .故答案为: .

【思路点拨】利用数量积的定义和投影的定义即可得出. 【题文】15.给出下列四个命题:

1 ①函数 y ? ? 在 R 上单调递增;②若函数 y ? x 2 ? 2ax ? 1在 ?? ?,?1?上单调递 x 减,则 a ? 1 ;③若 log0.7 (2m) ? log0.7 (m ?1) ,则 m ? ?1 ;④若 f ( x) 是定义在 R 上的奇
函数,则 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) ? 0 . 其中正确的序号是 .
【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】②④ 解析:① 函数 一个象限上单调递增,故① 错 ② 若函数 y=x +2ax+1 在 (﹣∞, ﹣1]上单调递减只需满足对称轴 x=
2

在 R 上单调递增是错误的,只能说函数

在每

≥﹣1, 即 a≤1,

故② 正确 ③ 若 log0.7(2m)<log0.7(m﹣1) ,先注意定义域,再利用对数函数单调性解不等式,2m >m﹣1,2m>0,m﹣1>0 三个不等式同时成立,即 m>1,故③ 错误 ④ 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(x)+f(﹣x)=0 成立,把 x 重新看成 1﹣x 即可, 便得到 f(1﹣x)+f(x﹣1)=0,故④ 正确 故答案为:② ④ 【思路点拨】此题考查函数的单调性、解对数型不等式、函数奇偶性问题。

三、解答题:本大题共 6 个小题共 75 分.每题解答过程写在答题卡上. 【题文】16. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1( x ? R) ? ?? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值; ? 2? 6 ? ?? ? ? (2)若 f ( x 0 ) ? , x 0 ? ? , ? ,求 cos( 2 x 0 ? ) 的值. 5 6 ?4 2?
7

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. C3 C7
菁优

【答案解析】 (1) T ? ? ;2;1; (2) -

4 。 5

解析: (1)∵ f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ?1, ∴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ∴函数的最小正周期为 T ? ? , ∵ x ? [0,

?
6

),

? 7? ? ? ? [ , ] ,∴ f ( x) max ? f ( ) ? 2 , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 ; 2 6 6 6 6 2 ? ? 6 2x ( 0 ? ) , 则 f ( x0 ) ? 2 s i n 2x (0 ? ) ? , ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 f ( x0 ) ? 2 s i n 6 6 5 ? 3 sin( 2 x0 ? ) ? , 6 5 ? ? ? 2? 7? ? , ] ,∴ cos( 2 x0 ? ) ? 0 , 又∵ x0 ? [ , ] ,∴ 2 x0 ? ? [ 4 2 6 3 6 6
?
] ,∴ 2 x ?

?

即 cos(2 x0 ?

?

? 4 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x0 ? ) ? ? . 6 6 5
p 6

【思路点拨】 (1)化简得 f ( x) = 2sin(2 x + ) ,求出函数的最小正周期以及最大、最小值; (2)由(1)知, f ( x 0 ) ? 2 sin( 2 x 0 ? 求出 cos(2 x0 + ) 的值.

?

p ) ,求出 sin(2 x0 + ) 的值,考虑 x0 的取值范围, 6 6

p 6 【题文】17. (本小题满分 12 分) x x x 已知向量 m ? (cos , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n 2 2 2 (I)求 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上的零点;

(II)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 b2 ? ac ,求 f ( B ) 的 取值范围.
【知识点】余弦定理的应用;平面向量的综合题.C8

? 、? ; (II) (?1, 0] . 3 x x 2 x 解析:因为向量 m ? (cos , ?1), n ? ( 3 sin , cos ) ,函数 f ( x) ? m n . 2 2 2
【答案解析】 (I) 所以 f ( x) ? 3 sin

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? sin x ? 2 2 2 2 2
3分

?

3 1 1 ? 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 6 2

8

? 1 (I)由 f ( x) ? 0 ,得 sin( x ? ) ? . 6 2 ? ? ? 5? ∴ x ? = +2k? , 或x ? = +2k? ,k ? Z 6 6 6 6 ? ∴ x = +2k? , 或x=? +2k?,k ? Z 3 ? 又 x ??0, ? ? ,? x ? 或 ? . 3 ? 所以 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的零点是 、 ? . 3
(II)在 ?ABC 中, b2 ? ac ,所以 cos B ?

6分

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac ac 1 ? ? ? . 2ac 2ac 2ac 2
10 分

由 cos B ?

1 ? ? ? ? ?? 且 B ? (0, ? ) ,得 B ? (0, ], 从而B- ? ? - , ? 2 3 6 ? 6 6?

? 1 1 ? 1 ∴ sin( B ? ) ? (? , ] , ∴ f ( B) ? sin( B ? ) ? ? (?1, 0] 6 2 2 6 2

12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)利用向量的数量积公式,结合二倍角、辅助角公式化简函数,再求 f(x)
2 在区间 ? 0, ? ? 上的零点; (Ⅱ)利用余弦定理,结合 b ? ac ,基本不等式,可得 B 的范围,

再求 f(B)的取值范围. 【题文】18. (本小题满分 12 分)

等差数列 {an } 的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。
(1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值。 【知识点】等差数列的通项与求和.D2 【答案解析】 (1) d = - 4 ; (2)12. 解析: (1) ?

?a6 ? 23 ? 5d ? 0 23 23 ? ? ? d ? ? ? d 为整数,? d ? ?4 5 6 ?a7 ? 23 ? 6d ? 0
n(n ? 1) ? (?4) ? ?2n 2 ? 25n ? 0 ? 0 ? n ? 12.5 ? n 的最大值为 12. 2

(2) S n ? 23n ?

【思路点拨】 (1)由 a6>0,a7<0 且公差 d∈Z,可求出 d 的值; (2)由前 n 项和 Sn>0,以 及 n∈N*,求出 n 的最大值. 【题文】19. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 ? b 在 x ? 2 处有极大值. (Ⅰ)当 x ? [?2, 4] 时, 函数 y ? f ( x) 的图象在抛物线 y ? 1 ? 45x ? 9x2 的下方, 求b 的 取值范围. (Ⅱ)若过原点有三条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 b 的取值范围;
【知识点】利用导数研究函数的极值.B12
9

【答案解析】 (Ⅰ) b ? ?4 ; (Ⅱ) ?64 ? b ? 0 。 解析: (Ⅰ) f ( x) ? x( x ? a)2 ? b ? x3 ? 2ax2 ? a2 x ? b ? f ?( x) ? 3x 2 ? 4ax ? a 2 ,

f ?(2) ? 12 ? 8a ? a2 ? 0 ? a ? 2 或 a ? 6 ,
当 a ? 2 时,函数在 x ? 2 处取得极小值,舍去; 当 a ? 6 时, f ?( x) ? 3x2 ? 24 x ? 36 ? 3( x ? 2)( x ? 6) , 函数在 x ? 2 处取得极大值,符合题意,∴ a ? 6 . (3 分) ∵当 x ? [?2, 4] 时,函数 y ? f ( x) 的图象在抛物线 y ? 1 ? 45x ? 9x2 的下方, ∴ x3 ? 12 x 2 ? 36 x ? b ? 1 ? 45x ? 9 x 2 在 x ? [?2, 4] 时恒成立,
3 2 即 b ? ? x ? 3x ? 9 x ? 1 在 x ? [?2, 4] 时恒成立,令 h( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 1 ,

则 h?( x) ? ?3x ? 6x ? 9 ? ?3( x ? 3)( x ? 1) ,由 h?( x) ? 0 得, x1 ? ?1, x2 ? 3 .
2

∵ h(?2) ? 3 , h(?1) ? ?4 , h(3) ? 28 , h(4) ? 21 , ∴ h( x) 在 [?2, 4] 上的最小值是 ?4 , b ? ?4 . (6 分)
3 2 (Ⅱ) f ( x) ? x ?12 x ? 36 x ? b ,设切点为 ( x0 , x0 ?12x0 ? 36x0 ? b) ,

3

2

2 则切线斜率为 f ?( x) ? 3x0 ? 24x0 ? 36 , 3 2 2 切线方程为 y ? x0 ?12x0 ? 36x0 ? b ? (3x0 ? 24x0 ? 36)( x ? x0 ) ,



2 3 2 y ? (3x0 ? 24x0 ? 36) x ? 2x0 ?12x0 ?b,

3 2 3 2 ∴ ?2x0 . ?12x0 ? b ? 0 ? b ? 2x0 ?12x0

令 g ( x) ? 2 x ?12 x ,则 g?( x) ? 6x ? 24x ? 6x( x ? 4) ,
3 2 2

由 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0, x2 ? 4 . 函数 g ( x) 的单调性如下:

x
g ?( x)

(??, 0)

0

(0, 4)

4

(4, ??)

?


0
极大值 0

?


0
极小值 ?64

?


g ( x)

∴当 ?64 ? b ? 0 时, 方程 b ? g ( x) 有三个不同的解, 过原点有三条直线与曲线 y ? f ( x) 相
10

切. (12 分) 【思路点拨】 (Ⅰ)其中一个函数的图象在另一个函数图象的下方,转化为两个函数的“差函 数”在相应区间内恒小于 0 的问题; (Ⅱ)求切线主要还是抓住切点,因此既然有三条切线, 因此应该有三个切点,也就是利用切点表示的方程将原点代入后,得到关于切点横坐标 x 的方程有三个不同的实数根.再结合导数研究函数的图象求解. 【题文】20. (本小题满分 13 分)

已 知 函 数 f ( x) 定 义 在 R 上 , 对 任 意 的 x,y ? R , f ( x) ? 0 , 且 f ( x? y )? f( x ) f(. y ) f ( x) (I)求 f (0) ,并证明: f ( x ? y ) ? ; f ( y) ? ? (II)若 f ( x) 单调,且 f (1) ? 2 .设向量 a ? ( 2 cos ,1) , b ? ( 2? sin , cos 2 ? ) , 2 2 r r 对任意 ? ?[0, 2? ) , f (a ? b) ? f (3) ? 0 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
【知识点】平面向量数量积的运算;抽象函数及其应用;三角函数中的恒等变换应用.C7 F3


【答案解析】 (I)见解析; (II) ?3 ? ? ? 3 。 解析: (I)令 y ? x ? 0 得 f (0) ? f 2 (0) ,又∵ f ( x) ? 0 , f (0) ? 1 , 由 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 得 f ( x) ? f [( x ? y) ? y] = f ( x ? y) f ( y) , ∵ f ( x) ? 0 ,∴ f ( x ? y ) ? 2分

f ( x) . f ( y)

5分

(II) ∵ f (0) ? 1,f (1) ? 2 ,且 f ( x) 是单调函数,∴ f ( x) 是增函数.
而 a ? b ? ? sin ? ? cos

6分

r r

2

r r ? ,∴由 f (a ? b) ? f (3) ? 0 ,得 f (? sin ? ? cos2 ? ) ? f (3) ,

2 又∵因为 f ( x ) 是增函数,∴ ? sin ? ? cos ? ? 3 恒成立, ? ? [0, 2? ) .

2 即 sin ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 . 2 令 t ? sin ? ,得 t ? ?t ? 2 ? 0

8分 (﹡).

∵ ? ?[0, 2? ) ,∴ ?1 ? sin ? ? 1 ,即 ?1 ? t ? 1.
2 令 h(t ) ? t ? ?t ? 2 ? (t ?

?
2

)2 ? 2 ?

?2
4

? ?1 ? t ? 1? ,

10 分

? ?1 ,即 ? ? ?2 时,只需 h(?1) ? 0 ,(﹡)成立, 2 ∴ ? ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? ? ? ?2 ;
①当 ②当 ?1 ?

?

11 分

?

? 1 ,即 ?2 ? ? ? 2 时,只需 h(t ) min ? h( ) ? 2 ? ? 0 ,(﹡)成立, 2 2 4

?

?2

11

∴ ? 2 ? 8 ,解得 ? 2 2 ? ? ? 2 2 ,∴ ? 2 ? ? ? 2 .

12 分

? 1 ,即 ? ? 2 时,只需 h(1) ? 0 ,(﹡)成立, 2 ∴ ? ? 3, ∴ 2 ? ? ? 3, 综上, ?3 ? ? ? 3 .
③当

?

13 分

【思路点拨】 ( Ⅰ ) 令 y ? x ? 0 得 f (0) ? f 2 (0) , 又 ∵ f ( x) ? 0 , f (0) ? 1 , 由

f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 得 f ( x) ? f [( x ? y) ? y] = f ( x ? y) f ( y) ,即可证明;

(II)由于 f (0) ? 1 ,且 f ( x ) 是单调函数,即可得出 f ( x ) 是增函数.利用数 ,f (1) ? 2 ,
2 2 量积运算可得 a ? b ? ? sin? ? cos ? ,利用 f ( a ? b) ? f (3) ? 0可得 ? sin? ? cos ? 恒成

r r

r r

立, ? ? [0, 2? ) .通过换元、分类讨论再利用二次函数的单调性即可得出. 【题文】21. (本小题满分 14 分)

已知 f ( x) ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ( x) ? g ( x) .
(1)若 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) ,求实数 a 的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 设 h( x) 有两个极值点 x1 , x 2 , 且 x1 ? (0, ), 若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立 , 求 m 的

1 2

1 2

最大值.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数求 闭区间上函数的最值.B12

3 ? ln2 4 2 x 2 ? ax ? 1 (x ? 0) 解析:(1) 由题意得 h(x) ? x 2 ? ax ? ln x(x ? 0) ,则 h?(x) ? x 1 1 要使 h(x) 的单调减区间是 ( ,1) 则 h?(1) ? h?( ) ? 0 ,解得 a ? 3 ; 2 2 2 2 x ? 3x ? 1 (2 x ? 1)(x ? 1) ? (x ? 0) , 另一方面当 a ? 3 时 h?(x) ? x x 1 1 由 h?(x) ? 0 解得 x ?( ,1) ,即 h(x) 的单调减区间是 ( ,1) . 2 2
【答案解析】(1) a ? 3 ; (2) a ?(??,1] ;(3) 综上所述 a ? 3 . (4 分)

ln x (x ? 0) . x x 2 ? ln x ? 1 ln x 设 ?(x) ? x ? (6 分) (x ? 0) ,则 ? ?(x) ? x2 x
(2)由题意得 x 2 ? ax ? ln x(x ? 0) ,∴ a ? x ? ∵ y ? x2 ? ln x ? 1 在 (0, ??) 上是增函数,且 x ? 1 时, y ? 0 .

12

∴当 x ?(0,1) 时 ? ?(x) ? 0 ; 当 x ?(1, ??) 时 ? ?(x) ? 0 , ∴ ? (x) 在 (0,1) 内是减函数 , 在 (1, ??) 内 是增函数. ∴ ?min ? ? (1) ? 1 ∴ a ? ?min ? 1 , 即 a ?(??,1] . (8 分)

2 x 2 ? ax ? 1 (x ? 0) x 1 ∴方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0(x ? 0) 有两个不相等的实根 x1 , x2 ,且 x1 ?(0, ) 2
(3) 由题意得 h(x) ? x 2 ? ax ? ln x(x ? 0) ,则 h?(x) ? 又∵ x1 x2 ?

1 1 2 2 ? (1, ??) ,且 ax1 ? 2x1 ,∴ x2 ? ? 1, ax2 ? 2x2 ?1 2 x1 2

(10 分)

2 2 2 2 2 2 而h(x1 ) ? h(x2 ) ? (x1 ? ax1 ? ln x1 ) ? (x2 ? ax2 ? ln x2 ) ? [ x1 ? (2 x1 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x2 ? (2 x2 ? 1) ? ln x2 ] x 1 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? ln 1 ? x2 ? 2 ? ln2x2 (x2 ? 1) x2 4 x2

(2 x 2 ? 1)2 1 2 ? ? ( x ) ? ? 0(x ? 1) , , 则 (12 分) ? ln2 x ( x ? 1) 2x 3 4 x2 3 3 ∴ ? (x) 在 (1, ??) 内是增函数, ∴ ?(x2 ) ? ?(1) ? ? ln2 即 h(x1 ) ? h(x2 ) ? ? ln2 , 4 4 3 3 ∴ m ? ? ln2 ,所以 m 的最大值为 ? ln2 . (14 分) 4 4 1 【思路点拨】 (1)求函数的导数,根据函数的单调减区间是 ( ,1) ,建立导数关系即可,求 2
设 ?(x) ? x2 ? 实数 a 的值; (2)将 f(x)≥g(x)对于定义域内的任意 x 恒成立,利用参数分离法求函 数的最值,求实数 a 的取值范围; (3)求函数的导数,根据函数极值,最值和导数之间的关 系,求出函数的最值即可得到结论.

13



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