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第2课时 双曲线



第2课时 双曲线

要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
误 解 分 析

要点·疑点·考点
1.双曲线的定义 (1)双曲线的第一定义:平面内与两个定点 F1、 F2的距离差的 绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线?
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2

方程为双曲线,
(2)双曲线的第二定义:平面内到一个定点F的距离和到一条定直 线l的距离比是常数e(e>1)的点的轨迹叫做双曲线

要点·疑点·考点
2.双曲线的标准方程的两种形式:
x2 y2 中心在原点,焦点在x轴上: 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) a b 2 2 y x 中心在原点,焦点在y轴上: 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) a b

3.一般方程: Ax2 ? By2 ? 1( A ? B ? 0)

3.双曲线的几何性质:
①顶点:

(? a,0)



(0,? a)

②轴:对称轴:x轴,y轴;实轴长2a,虚轴长2b ;焦距2c

(?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) ③焦点:
2 2 F F ? 2 c , c ? a ? b ④焦距: 1 2
.

a c c ⑥离心率 e ? (e ? 1) a b ⑦渐近线方程:y ? ? x 或 a

⑤准线:x ? ?


2

a2 或 y?? c

a y?? x b

精典范例
1. 求与双曲线 x2-2y2=2有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双 曲线的方程?

x2 y2 【解题回顾】与 2 ? 2 ? 1有公共渐近线的双曲线系方程是 a b x2 y2 ? 2 ? k (k∈R,k≠0), 这种设法可简化运算、避免不必 2 a b

要的讨论?

x2 y2 ?1 2.设P是双曲线 2 ? 上一点,双曲线的一条渐近线 a 9

方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若 |PF1|=3,求|PF2|的值
3 x 且b=3 解析:由渐近线方程y= 2

∴a=2.据定义有|PF2|-|PF1|=4

【解题回顾】先判断双曲线焦点位置再设出双曲线方程由 题设条件,求出待定系数,若焦点位置不确定必须分类讨 论

3.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.

(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上, 且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2的大小. ?
(2)||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2=
| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2 | PF1 || PF2 |
=

(| PF1 | ? | PF2 |) 2 ? 2 | PF1 || PF2 | ? | F1F2 |2 ? 36 ? 64 ? 100 ? 0 ? 64 2 | PF1 || PF2 |

∴∠F1PF2=90°

y2 ? 1 与点P(1,2),过P点作直线l 4.已知双曲线 x ? 2
2

与双曲线交于 A、 B 两点,若 P 为 AB中点 ,求直线 AB的方 程
解:设过P(1,2)点的直线AB方程为y-2=k(x-1)
代入双曲线方程得: (2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k4-4k+6)=0
2k 2 ? 4k 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则有x1+x2= ? 2 2 ? k 2

2k ? 4k x1 ? x2 ?2 =xp=1 ? 2 由已知 k ?2 2

误解分析
1.由给定条件求双曲线的方程,常用待定系数法.首先是根 据焦点位置设出方程的形式(含有参数),再由题设条件 确定参数值,应特别注意: ( 1 )当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防 止遗漏; (2)已知渐近线的方程bx±ay=0,求双曲线方程,可设 双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0),根据其他条件确定λ的 值.若求得λ>0,则焦点在x轴上,若求得λ<0,则焦点在y 轴上 2. 由已知双曲线的方程求基本量,注意首先应将方程化为 标准形式,再计算,并要特别注意焦点位置,防止将焦点 坐标、渐近线方程和准线方程写错

课后练习
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数m的取值 1.如果方程 m -1 2 - m

范围是( D ) (A)m>2 (C)-1<m<2

(B)m<1或m>2 (D)-1<m<1或m>2

x2 y2 2.若椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为32,则双曲线 a b 2 2 x y ? 2 ?1 的离心率是( B ) 2 a b (A) 5 (B) 5 (C) 3 (D) 5 4 2 2 4

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点, 3.已知圆C过双曲线 9 16 16 且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是___ 3

4.如图,已知OA是双曲线的实半轴,OB是虚半轴,F为
1 焦点,且S△ABF= 6 - 3 3 ,∠BAO=30°,则双曲线的方 2 x2 y2 ? ?1 程为__________________ 9 3

?

?

5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7,0)直线y=x2 1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为 ? ,则此 3

双曲线的方程是(
x2 y2 (A) ? ?1 3 4 x2 y2 (C) ? ?1 5 2

D

)
x2 y2 (B) ? ?1 4 3 x2 y2 (D) ? ?1 5 2



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