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2014年高考数学总复习教案:第五章 数列第2课时 等 差 数 列


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第五章
(文)、(理)72~73 页)

数列第 2 课时

等 差 数 列(对应学生用书

考情分析 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 能在具体的问题情境中用等差数列的有关知 识解决相应的问题.

考点新知 ① 理解等差数列的概念 . ② 掌握等差数列的通项公式与 前 n 项和公式. ③ 了解等差数列与一次函数的关 系.

1. (必修 5P58 习题 2 改编)在等差数列{an}中,a1=2,d=3,则 a6=________. 答案:17 解析:a6=a1+(6-1)d=17. 2. (必修 5P44 习题 6 改编)在等差数列{an}中 (1) 已知 a4+a14=2,则 S17=________; (2) 已知 a11=10,则 S21=________; (3) 已知 S11=55,则 a6=________; (4) 已知 S8=100,S16=392,则 S24=________. 答案:(1) 17 (2) 210 (3) 5 (4) 876 17(a1+a17) 17(a4+a14) 解析:(1) S17= = =17. 2 2 21(a1+a21) 21×2a11 (2) S21= = =210. 2 2 11(a1+a11) 11×2a6 (3) S11= = =55,∴ a6=5. 2 2 (4) S8,S16-S8,S24-S16 成等差数列,∴ 100+S24-392=2(392-100),∴ S24=876. 3. (必修 5P44 习题 7 改编)在等差数列{an}中,S12=354,前 12 项中偶数项和与奇数项和 之比为 32∶27,则公差 d=________. 答案:5 ?S奇+S偶=354, 解析:?S偶 32 = , ? ?S奇 27

?

∴ S 奇=162,S 偶=192,∴ 6d=30,d=5.

4. (必修 5P44 习题 10 改编)已知数列{an}为等差数列,若 a1=-3,11a5=5a8,则使前 n 项和 Sn 取最小值的 n=________. 答案:2 解析:∵ a1=-3,11a5=5a8,∴ d=2,∴ Sn=n2-4n=(n-2)2-4,∴ 当 n=2 时, Sn 最小.

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1. 等差数列的定义 (1) 文字语言:如果一个数列从第二项起,每一项减去前一项所得的差都等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列. (2) 符号语言:an+1-an=d(n∈N ). 2. 等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d. 推广:an=am+(n-m)d. 3. 等差中项 a+b 如果三个数 a,A,b 成等差数列,则 A 叫 a 和 b 的等差中项,且有 A= . 2 4. 等差数列的前 n 项和公式 (1) Sn=na1+ (2) Sn= n(n-1) d. 2

n(a1+an) . 2

5. 等差数列的性质 (1) 等差数列{an}中, 对任意的 m、 n、 p、 q∈N*, 若 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq. 特 殊的,若 m+n=2p,则 am+an=2ap. (2) 等差数列{an}的通项公式可以写成 an=am+(n-m)d(n、m∈N*). (3) 等差数列{an}中依次每 m 项的和仍成等差数列,即 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、…仍 成等差数列. [备课札记]

题型 1 数列中的基本量的计算 例 1 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=5,S3=9. (1) 求首项 a1 和公差 d 的值; (2) 若 Sn=100,求 n 的值.
? ?a3=a1+2d=5, 解:(1) 由已知得? ?S3=3a1+3d=9, ?

解得 a1=1,d=2. n(n-1) (2) 由 Sn=na1+ ×d=100,得 n2=100,解得 n=10 或-10(舍),所以 n=10. 2 变式训练 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=-62,S6 =-75,求: (1) {an}的通项公式 an 及其前 n 项和 Sn ;
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(2) |a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|.
?4a1+6d=-62, ? 解:(1) 设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得? 解得 a1=-20, ? ?6a1+15d=-75,

d=3. an=a1+(n-1)d=3n-23, Sn= (a1+an)n n(-20+3n-23) 3 2 43 = = n - n. 2 2 2 2

(2) ∵ a1=-20,d=3, ∴ {an}的项随着 n 的增大而增大. 设 ak≤0 且 ak+1≥0 得 3k-23≤0,且 3(k+1)-23≥0, ∴ 20 23 ≤k≤ (k∈Z),故 k=7. 3 3

即当 n≤7 时,an<0;当 n≥8 时,an>0. ∴ |a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=S14-2S7=147. 题型 2 判断或证明一个数列是否是等差数列 例 2 已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满足 a2·a3=45, a1+a4= 14. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设由 bn= Sn 1 (c≠0)构成的新数列为{bn},求证:当且仅当 c=- 时,数列{bn}是 2 n+c

等差数列. (1) 解:∵ 等差数列{an}中,公差 d>0,
?a2·a3=45 ? ? ?a2·a3=45 ? ?a2=5 ? ? ∴ ? ?a1+a4=14 ? ?a2+a3=14 ? ?a3=9 ?

d=4

an=4n-3. n(1+4n-3) n(2n-1) Sn 12 (2) 证明: Sn= =n(2n-1), bn= = .由 2b2=b1+b3, 得 2 n+c n+c 2+c = 1 15 + , 1+c 3+c 1 化简得 2c2+c=0,c≠0,∴ c=- . 2 1 反之,令 c=- ,即得 bn=2n,显然数列{bn}为等差数列, 2 1 ∴ 当且仅当 c=- 时,数列{bn}为等差数列. 2 备选变式(教师专享) 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1) 求证:?S ?是等差数列; ? n?

(2) 求 an 的表达式.

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(1) 证明:等式两边同除以 SnSn-1,得

1 1 1 ?1? - +2=0,即 - =2(n≥2).∴ ?S ?是 Sn Sn-1 ? n? Sn-1 Sn 1

1 1 以 = =2 为首项,以 2 为公差的等差数列. S1 a1 1 1 (2) 解:由(1)知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n, Sn S1 ∴ Sn= 1 1 ,当 n≥2 时,an=-2Sn·Sn-1=- . 2n 2n(n-1) 1

?2,n=1, 1 又 a = ,不适合上式,故 a =? 2 1 ?2n(1-n),n≥2.
1 n

题型 3 等差数列的性质 例 3 (1) 已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32.若 am=8,则 m =________. (2) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=________. 答案:(1) 8 (2) 45 解析:(1) 由等差数列性质,知 a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8= 32,∴ a8=8.∴ m=8. (2) 由等差数列的性质,知 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,∴ 2(S6-S3)=S3+(S9- S6), ∴ a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45. 备选变式(教师专享) (1) 等差数列{an}中,Sn 是{an}前 n 项和,已知 S6=2,S9=5,则 S15=________; (2) 给定 81 个数排成如图所示的数表,若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成 等差数列,且表中正中间一个数 a55=5,则表中所有数之和为________. a11 a21 … a91 答案:(1) 15 (2) 405
? ?S6=2, 解析:(1) 解法 1:由等差数列的求和公式及? ?S9=5, ?

a12 a22 … a92

… … … …

a19 a29 … a99

5 1 d=2, ?a =- , ?6a +6× 2 27 知? ∴? ∴S 4 9×8 d = , ?9a + 2 d=5, ? 27
1 1 1

15=15a1+

15×14 d=15. 2

?Sn? S9 S6 5 2 2 解法 2: 由等差数列性质, 知? n ?成等差数列, 设其公差为 D, 则 - =3D= - = , 9 6 9 6 9 ? ?

2 ∴D= , 27

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S15 S9 5 2 = +6D= +6× =1,∴S15=15. 15 9 9 27

(2) S=(a11+…+a19)+…+(a91+…+a99)=9(a15+a25+…+a95)=9×9×a55=405. 题型 4 等差数列中的最值问题 例 4 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*,且满足 a2+a4=14,S7=70. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 bn= 2Sn+48 ,则数列{bn}的最小项是第几项,并求该项的值. n

? ? ?2a1+4d=14, ?a1=1, 解:(1) 设公差为 d,则有? 解得? ?7a1+21d=70, ?d=3, ? ?



an=3n-2.

3n2-n n (2) Sn= [1+(3n-2)]= , 2 2 bn= 3n2-n+48 48 =3n+ -1≥2 n n 48 48 3n· -1=23, 当且仅当 3n= , 即 n=4 时取等号. n n

∴ {bn}最小项是第 4 项,该项的值为 23. 备选变式(教师专享) 已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn 是它的前 n 项和,S10=S22. (1) 求 Sn; (2) 这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值. 解:(1) ∵ S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22,S10=S22,∴ a11+a12+…+a22 12(a11+a22) =0, =0,即 a11+a22=2a1+31d=0.又 a1=31,∴ d=-2, 2 n(n-1) ∴ Sn=na1+ d=31n-n(n-1)=32n-n2. 2 (2) 解法 1:由(1)知 Sn=32n-n2,∴ 当 n=16 时,Sn 有最大值,Sn 的最大值是 256. 解法 2: 由 Sn=32n-n2=n(32-n), 欲使 Sn 有最大值, 应有 1<n<32, 从而 Sn≤? n+32-n? 2 ?

?

2

=256,当且仅当 n=32-n,即 n=16 时,Sn 有最大值 256.

1. (2013· 重庆)若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 c-a=________. 7 答案: 2 7 7 解析:由 9=2+4d 得 d= ,则 c-a=2d= . 4 2 2. (2013· 广东)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 答案:20 解析:3a5+a7=2a5+2a6=2(a3+a8)=20. 3. (2013· 安徽)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=________.
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答案:-6 8×7 ? ?8a1+ d=4(a1+2d), 2 解析:由条件得? ? ?a1+6d=-2,
?a1=10, ? 解得? 故 a9=10+8×(-2)=-6. ?d=-2, ?

4. (2013· 新课标)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m =________. 答案:5 解析: am = Sm - Sm - 1 = 2 , am + 1 = Sm + 1 - Sm = 3 ,则 d = 1 ,由 am = 2 及 Sm = 0 得 ?a1+(m-1)=2,

? 解得 m=5. ? m(m-1) ma1+ =0, ? 2 ?

1. 已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. (1) 求 a 及 k 的值; Sn (2) 设数列{bn}的通项 bn= ,证明数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. n 解:(1) 设该等差数列为{an},则 a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有 a+3a=8,得 a1=a k(k-1) k(k-1) =2, 公差 d=4-2=2, 所以 Sk=ka1+ · d=2k+ ×2=k2+k.由 Sk=110, 2 2 得 k2+k-110=0,解得 k=10 或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10. (2) 由(1) Sn= n(2+2n) Sn =n(n+1), 则 bn= =n+1, 故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 2 n n(2+n+1) n(n+3) = . 2 2

即数列{bn}是首项为 2,公差为 1 的等差数列,所以 Tn=

a11 2. 已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,求使得 Sn a10 <0 的 n 的最小值. a +9d>0, ? ?a +10d<0, 19 a <0,由? 得- < <-9.S 2 d 2a +19d<0, ? ?d<0,
1 1 1 1

解:由题意知 d<0,a10>0,a11<0,a10+a11

n

n(n-1) d 2 ? d 2a1 =na1+ d= n +?a1-2? ?n,由 Sn=0 得 n=0 或 n=1- d . 2 2 2a1? 2a1 ? ? ∵ 19<1- <20,∴ Sn<0 的解集为?n∈N*? ?n>1- d ?,故使得 Sn<0 的 n 的最小值 d ? 为 20. 3. 已知数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2+an=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式;
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(2) 设 Sn 是数列{|an|}的前 n 项和,求 Sn. a4-a1 2-8 解:(1) 由 2an+1=an+2+an 可得{an}是等差数列,且公差 d= = =-2.∴ an= 3 4-1 a1+(n-1)d=-2n+10. (2) 令 an≥0,得 n≤5.即当 n≤5 时,an≥0;n≥6 时,an<0.∴ 当 n≤5 时,Sn=|a1|+|a2| +…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+9n;当 n≥6 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5 -(a6+a7+…+an)=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2+…+a5)=-(-n2+9n)+2×(-52+45)
2 ? ?-n +9n,n≤5, =n -9n+40,∴ Sn=? 2 ?n -9n+40,n≥6. ? 2

4. (2013· 大纲卷)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1) 求{an}的通项公式; (2) 设 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

解:(1) 设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d.
? ? ?a7=4, ?a1+6d=4, 因为? 所以? ?a19=2a9, ?a1+18d=2(a1+8d). ? ?

1 解得 a1=1,d= . 2 所以{an}的通项公式为 an= (2) bn= n+1 . 2

1 2 2 2 = = - , nan n(n+1) n n+1

2 2? ?2 2? 2 2 2n 所以 Sn=? ?1-2?+?2-3?+…+(n-n+1)=n+1. 1. 等差数列问题,首先应抓住 a1 和 d,通过列方程组来解,其他也就迎刃而解了.但 若恰当地运用性质,可以减少运算量. 2. 等差数列的判定方法有以下几种:① 定义法:an+1-an=d(d 为常数);② 等差中项 法:2an+1=an+an+2;③ 通项公式法:an=pn+q(p,q 为常数);④前 n 项和公式法:Sn= An2+Bn(A,B 为常数). 3. 注意设元,利用对称性,减少运算量. 4. 解答某些数列问题,有时不必(有时也不可能)求出某些具体量的结果,可采用整体代 换的思想.

请使用课时训练(B)第2课时(见活页).

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