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高中数学必修五第一章:解三角形专题复习



解三角形专题复习

《解三角形专题复习》
第一讲:正弦、余弦定理 知识要点:
1、 正弦定理: 在 ???C 中,a 、b 、c 分别为角 ? 、? 、C 的对边, , 则有 ( R 为 ???C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式: ① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② s

in ? ?

a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C

c a b , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R
1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2 2 2

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 3、三角形面积公式: S???C ?

4、余弦定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? ,推论: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,推论: cos B ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ,推论: cos C ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac
a 2 ? b2 ? c2 2ab

典型例题:
a+b+c 【例 1】在△ABC 中,若∠A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则 的值为( sin A+sin B+sin C 26 3 A. 3 2 39 B. 3 C. 39 3 13 3 D. 3 )

o 【例 2】 已知 ?ABC 中,?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 , 则b ? (

)

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

-1-

解三角形专题复习 【例 3】在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________。
2 2 2

a b 【例 4】在△ABC 中,∠C=60° ,a,b,c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,则 + =________. b+c c+a

【例 5】在△ABC 中,若 (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,请判断三角形的形状。
2 2 2 2

【例 6】若钝角三角形三内角成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围是( A.(1,2) B.(2,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞)

)

强化训练:
4 3 1.在△ABC 中,已知∠B=45° ,c=2 2,b= ,则∠A 等于( 3 A.15° B.75°
0

)

C.105°
0

D.75° 或 15° )

2.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3 )
0 0

3.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

D. 30 或150

0

0

4.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形
0



D.等腰三角形

5.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是__

1 _____________。 2


6.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定
-2-

D.等腰三角形

解三角形专题复习 7.在△ABC 中,若 tan A.直角三角形

A? B a ?b ,则△ABC 的形状是( ? 2 a?b
B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

) D.等腰三角形或直角三角形

8.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tan C ? _________。

第二讲:解三角形 知识要点:
处理三角形问题, 必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型, 特别要多角度 (几 何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、 无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解

一、三角形中的边角关系
三角形内角和等于 180°; 三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; 三角形中大边对大角,小边对小角; 正弦定理中,a=2R· sinA,b=2R· sinB,c=2R· sinC,其中 R 是△ ABC 外接圆半径. 在余弦定理中:2bccosA= b 2 ? c 2 ? a 2 . 三角形的面积公式有:S= 边上高,P 是半周长.
1 1 1 1 ah,S= absinC= bcsinA= acsinB , S= P( P ? a) ? ( P ? b)(P ? c) 其中,h 是 BC 2 2 2 2

二、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理. 已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. 已知三边,求三个角,常选用余弦定理. 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. 已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.

三、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是:①化边为角;②化角为边.

-3-

解三角形专题复习

四、三角形中的三角变换
(1)角的变换 因 为 在 △ABC 中 , A+B+C= π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 (3)在△ ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60° ;△ ABC 是正 三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列.

典型例题:
【例 1】在△ ABC 中,已知 3 =a,b= 2 ,B=45° ,求 A、C 及 c.

【例 2】在△ ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值。 2 2 2 2

【例 3】设锐角三角形 ABC 的内角 A ,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围.

-4-

解三角形专题复习 【例 4】在△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

【例 5】在△ ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列, 且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及
b sin B 的值。 c

【例 6】 ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2cos 个最大值。

B?C 取得最大值,并求出这 2

-5-

解三角形专题复习

强化训练:
1.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A.12 B. )

21 2

C.28

D. 6 3 ) D. 60?或120? )

2.在 ?ABC 中,若 a =1,C= 60? , c = 3 则 A 的值为( A. 30? B. 60?

C. 30?或150?

3.△ ABC 中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C 的大小是 ( A.

? 6

B.

5? 6

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

4.在△ABC 中, AB ? 则实数 t 的取值范围是( A. ?1 ,? ??

3, BC ? 2, ?A ?


?
2

,如果不等式 BA ? t BC ? AC 恒成立,

1 B. ? , 2 ?
0

?1 ? ? ?

C. ? ? ?, ? ? ?1,? ? ? 2

? ?

1? ?

D. ?? ?, 0? ? ?1,? ? ?

5.在△ABC 中,若 C ? 90 , 则三边的比 A. 2 cos

A? B 2

B. 2 cos

A? B 2

a?b 等于( c
C. 2 sin



A? B 2

D. 2 sin

A? B 2


0 6.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长=(

A.2 B.

3 2

C.3

D. 2 3 )

7.A 为△ ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 ,2) B. ( ? 2 , 2 ) C. ( ?1, 2 ]

D. [ ? 2 , 2 ]

8. 在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________ .

9.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C, 则 B 的取值范围是_______. 10. 在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? ____________.

-6-

解三角形专题复习

第三讲:三角形应用举例 知识要点:
1.坡角和坡度:
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂 直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度, 用 i 表示, 根 据定义可知:坡度是坡角的正切,即 i ? tan ? .

3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点的方位角为 ? . 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参 照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方 位 角 是 相 对 于 正 北 方 向 而 言 的 。

α

h l

2.俯角和仰角:
如图所示,在同一铅垂面内,在目标视线与水 平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时 叫做仰角, 目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.

4. 方向角:
相对于某一正方向的水平角.

5.视角:
由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而 成的角叫做视角??

-7-

解三角形专题复习

典型例题:
【例 1】在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 ,60 ,则塔高为_______。
? ?

【例 2】海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛 成 75 ? 的视角,则 B 岛和 C 岛的距离是______。

?

【例 3】如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个点 C 与 D .现测得

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

【例 4】某观测站 C 在 A 城的南偏西 20 的方向。由 A 城出发的一条公路,走向是南偏东 40 ,在 C 处测得 公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米才能到达 A 城?

0

0

【例 5】在海岸 A 处,发现北偏东 45 方向,距 A 处 ( 3 ? 1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西
0

75 的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船。此时,走私船
0

正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

0

-8-

解三角形专题复习 【例 6】如图,公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇,且∠QPN=30 ,在 A 处有一所中学,AP=160 米,假设拖拉机行驶 时,周围 100 米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受影响? 请说明理由。如果受影响,已知拖拉机的速度为 18 千米/小时,那么学校受影响的时间为多少?
0

强化训练:
1.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方 向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高度 CD.

2.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。 试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,
0 0

0

2 ? 1.414, 6 ? 2.449)

-9-

解三角形专题复习

3.我缉私巡逻艇在小岛南偏西 50 的方向,距离小岛 A 12 海里的 B 处,发现隐藏在小岛边上的一走私船 正开始向小岛北偏西 10 的方向行驶,测得其速度为每小时 10 海里,问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方 向航行恰在 2 小时后截获该走私船(参考数据: sin 38 ? 0.62 )
? ?

?

4.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m ,

BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深
求∠DEF 的余弦值。

于 C 处测得水 CF ? 110m , BE ? 200m ,

- 10 -



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