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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(三)



2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的: (1)理解平面向量共线的坐标表示; (2)掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式, 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共

线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 2.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平 面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地,

?

?

?

i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .
2.平面向量的坐标运算 (1)若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 (2)若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

1

向量 AB 的坐标与以原点为始点、点 P 为终点的向量的坐标是相同的。 3.练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标 2
.

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC = 3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), 如何求证:四边形 ABCD 是梯形.? 二、讲解新课: 1、思考:(1)两个向量共线的条件是什么? (2)如何用坐标表示两个共线向量? 设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ? a . D(5, -3) ,

?

?

? ?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
探究:(1)消去λ 时能不能两式相除? (不能 ∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0

?

∴x2, y2 中至少有一个不为 0)

(2)能不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2



(不能。 ∵x1, x2 有可能为 0)

(3)向量共线有哪两种形式?

? ? ? a ∥b (b ?0 )?

a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

三、讲解范例: 例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系. 思考:你还有其它方法吗? 例 3 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线

?

?

?

?

?

?

?

?

∴(-1)×2- x?(-x)=0

2

∴x=± 2

∵ a 与 b 方向相同

?

?

∴x= 2

例 4 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) , AB =(2, 4),2×4-2×6?0 ∴ AC 与

AB 不平行
∴A,B,C 不共线 ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

例 5 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 思考:(1)中 坐标? 四、课堂练习:P101 面 4、5、6、7 题。 五、小结 :(1)平面向量共线的坐标表示; (2)平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式; (3)向量共线的坐标表示. 六、课后作业: 《习案》二十二。 思考: 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( C A.6 ) D.8 P1P:PP2=? (2)中 P1P:PP2=? 若 P1P:PP2= ? 如何求点 P 的

B.5

C.7

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( B )? A.-3

B.-1

C.1

D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单 位向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( B ) A.1,2

B.2,2

C.3,2 3

D.2,4 .

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

3

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

1 2
5

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x=

4



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