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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(13)



备考 2011 高考数学基础知识训练(13) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、化简复数

3?i ? 1? i

.

2、集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? y 0 ? y ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

.

3、等差数列 ?an ? 中, a3 ? 2 ,则该数列的前 5 项的和为

.

4、已知正方形的边长为 2 , AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 a ? b ? c ?

.

?2 x ? y ? 5 ? 5、已知 x , y 满足约束条件 ?3 x ? 4 y ? 9 ,则 u ? 5 x ? 4 y 的最小值是 ?x ? 0 ?

.

6、 要得到函数 y ? sin(

?
3

? 2 x) 图像, 只需将函数 y ? cos 2 x 的图像向

平移

个单位.

a b 7、命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题是

.

? 8、如果实数 a, b ? R ,且 a ? b ,那么 b, ab ,

1 (a ? b) 由大到小的顺序是 2

.

9、函数 y ? cos 2 x ? sin x cos x 的最小正周期为_

.

10、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 ,2S 2 ,3S 3 成等差数列,则 ?an ? 的公比为_

.

11、过曲线 y ? x 3 ? 2 x 上一点 ?1,3? 的切线方程为

.

12、在 ?ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, ?ABC 的面积为

a?b?c 3 ? ,则 sin A ? sin B ? sin C 2

.

13、 ?ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM =2 ,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是

14、关于函数 f(x) ? lg

x2 ?1 ( x ? 0) ,有下列命题: x

①其图像关于 y 轴对称; ②当 x ? 0 时, f ( x) 是增函数;当 x ? 0 时, f ( x) 是减函数; ③ f ( x) 的最小值是 lg 2 ; ④当 ? 1 ? x ? 0或x ? 2 时, f ( x) 是增函数; ⑤ f ( x) 无最大值,也无最小值; 其中所有正确结论的序号是_ .

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15、 (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n ,

bn ?

1 , (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2 . Sn

16 、 (本小题满分 14 分)已知向量 a, b 满足 a ?| b |? 1 , 且 | ka ? b |? 3 | a ? kb | (k ? 0) , 令 (1)求 f (k ) ? a ? b (用 k 表示) ; f (k ) ? a ? b ,
2 (2)当 k ? 0 时, f (k ) ? x ? 2tx ?

1 对任意的 t ? [?1,1] 恒成立,求实数 x 取值范围. 2

17、 (本小题满分 14 分)已知 tan (2)

?
2

=2,求; (1) tan(? ?

?
4

) 的值;

6 sin ? ? cos ? 2 2 的值; (3) 3 sin ? ? 4 sin ? cos? ? 5 cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

18、 (本小题满分 16 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 入成本为 C ? x ? ,当年产量不足 80 千件时, C ? x ? ? 千件时, C ? x ? ? 51x ?

1 2 x ? 10 x (万元);当年产量不小于 80 3

10000 ? 1450 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年 x

内生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

19、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x .
2

(1) 当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值;

(2) 若 g ( x) ? f ( x) ?

2 在 [1 , ? ?) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围. x

20、 (本小题满分 16 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3,

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点 a 2 b2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM ,
PN 的斜率都存在, 并记为 k PM , K PN 证明你的结论. 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关, 并

参考答案: 1、 2 ? i 2、 ?0,2? ; 3、10; 4、 4 5、9; 6、向左平移

? 个单位 12

a b 7、若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ;

8、

9、 ? ; 10、

a?b ? ab ? b ; 2
1 ; 3

11、 5x ? y ? 2 ? 0和x ? 2 y ? 7 ? 0 ; 12、 2 ; 13、 ? 2 ; 14、 1,3,4

16、解: (Ⅰ)由题设得 a ?| b | ? 1 ,对 | ka ? b |? 3 | a ? kb | 两边平方得
2

2

k 2 a ? 2ka ? b ? b ? 3(a ? 2ka ? b ? k 2 b ) ??????????????????2 分
k 2 ?1 (k ? 0) ????????????????4 分 展开整理易得 f (k ) ? a ? b ? 4k
(Ⅱ) f (k ) ?

2

2

2

2

k 2 ?1 k 1 1 ? ? ? ,当且仅当 k =1 时取得等号. ??????6 分 4k 4 4k 2
2

欲使 f (k ) ? x ? 2tx ?
2

1 1 1 2 对任意的 t ? [?1,1] 恒成立,等价于 ? x ? 2tx ? ?7 分 2 2 2

即 g (t ) ? 2 xt ? x ? 1 ? 0 在 [?1,1] 上恒成立,而 g (t ) 在 [?1,1] 上为单调函数或常函数, 所以 ?
2 ? ? g (1) ? 2 x ? x ? 1 ? 0 ????????????????????11 分 2 g ( ? 1) ? ? 2 x ? x ? 1 ? 0 ? ?

解得 1 ? 2 ? x ? 2 ? 1 ????????????????????????13 分 故实数 x 的取值范围为 [1 ? 2, 2 ?1] ?????????????????14 分

18、解:⑴当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 ????(2 分) 10000 3 3
*

当 x ? 80, x ? N 时,

L ? x? ?

500 ?1000 x 10000 10000 ? ? ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x ? ? 10000 x x ? ?

??(4 分)

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, ? 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? ? 3 ? L ? x? ? ? 10000 ? * ?1200 ? ? x? ? ? , ? x ? 80, x ? N ? ? x ? ? ?
⑵当 0 ? x ? 80, x ? N * 时, L ? x ? ? ?

?????????(7 分)

1 2 ? x ? 60 ? ? 950 , 3

? 当 x ? 60 时, L ? x ? 取得最大值 L ? 60? ? 950 (万元)??????(10 分)
当 x ? 80, x ? N 时,
*

10000 ? 10000 ? L ? x ? ? 1200 ? ? x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 ???(14 分) ? ? 1200 ? 2 x x ? x ?
?当x ? 10000 ,即x ? 100 时, L ? x ? 取得最大值 1000 万元,即生产量为 100 千件时,该 x

厂在这一商品的生产中所获利润最大 ?????????????????(16 分) 19 、 解 : (1) 易 知 , 函 数

f ( x)











(0 , ? ?) . ?????????????????1 分 a ? ?2 当 时 , 2 2( x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? 2 x ? ? . ?????????????????2 分 x x 当 x 变化时,f ?( x) 和 f ( x) 的值的变化情况如下表: ??????????????
4分 x (0,1) 递减 1 0 极小值 (1, +∞) + 递增

f ?( x) f ( x)


由上表可知,函数 f ( x) 的单调递减区间是(0,1) 、单调递增区间是(1,+∞) 、极小值

f (1) ? 1 . ??????????????????????????????????
????8 分 (2) 由 g ( x) ? x ? a ln x ?
2

2 a 2 ,得 g ?( x) ? 2 x ? ? 2 . ???????????? x x x

9分

2 为 [1, ??) 上单调函数, x ① 若函数 g ( x) 为 [1, ??) 上的单调增函数,则 g ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,即不等 2 a 2 2 式 2 x ? 2 ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立.也即 a ? ? 2 x 在 [1, ??) 上恒成立. ???12 分 x x x 2 2 又 ? ( x) ? ? 2 x 在 [1, ??) 上为减函数,? ( x) max ? ? (1) ? 0 . ????????13 x
又函数 g ( x) ? x ? a ln x ?
2

分 所以 a ? 0 . ②若函数 g ( x) 为 [1, ??) 上的单调减函数,则 g ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,这是不可 能 的. ???????????????????????????????????? ????????15 分 综 上 , 的 取 值 范 围 为 a

[ ?? 0 , ) . ??????????????????????????? 16 分

3 ( )2 3 ( 3) 2 ) 在椭圆上, 2 ? 22 ? 1 20、解: (1)由于点 ( 3, 2 a b 2 a =4, ------2 分
椭圆 C 的方程为

------1 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

--------3 分

焦点坐标分别为(-1,0) , (1,0)-----------4 分

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y ) --------6 分 把 K 的坐标代入椭圆

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3

-----8 分

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? ?1 3 2 4
设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y)
2

----------10 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 ----11 分

M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 , ? ? 1 ------12 分 a2 b2 a 2 b2

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 -------------------13 分 x ? x0

k PM

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = 2 = ? 2 -----------15 分 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a
? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关,-----16 分

故 k PM

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