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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练6



湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六)
姓名: 班级 : 分数 :

一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) 1.已知复数 m 满足 m ? 2 . 设 f ( x) ? 为 . 3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 的是 . 4.已知 O 是锐角△ABC 的外心,

AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且

1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m



? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f (x) 的 值 域 6 4 2 2

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15

2 x ? 10y ? 5 ,则 cos ?BAC ?



5.已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别 是棱 A1D1 和 CC1 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为 .

6.设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件 的 ( A, B, C ) 共有 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. )

7 . 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y | 的 最 小 值 为 . 8.设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2
p p ?1

, x ? 3m, m ? N} 的所有元素的

和是 . 二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 ) 9 . 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ?

1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2

m, n ? N, m ? n .
(1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明:

1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009

10.求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的组数.

11.已知抛物线 C: y ?

1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点, 2

过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q;

12.设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(六) 详细解答 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) 1.已知复数 m 满足 m ? 2 . 设 f ( x) ?

1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m

0



? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f (x) 的 值 域 为 6 4 2 2

3 [2, 2 ] 4



3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15

的是

S8 . a8
4.已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且

2 x ? 10y ? 5 ,则 cos ?BAC ?

1 . 3

5.已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别 是棱 A1D1 和 CC1 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为

7 . 48

6.设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件 的 ( A, B, C ) 共有 1600 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. )

7 . 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y | 的 最 小 值 为

2

2? 1


p p ?1

8.设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 和是 22 p ?1 ? 2 p ?1 .

, x ? 3m, m ? N} 的所有元素的

二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 ) 9 . 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ?

1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2

m, n ? N, m ? n .
(1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明:

1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009
1 (a 2 m ? a 2 n ) 中,令 m ? n ,可得 2

证明

(1)在已知关系式 a m ? n ? a m ? n ? m ? n ?

a0 ? 0 ;
令 n ? 0 ,可得

a2m ? 4am ? 2m
令 m ? n ? 2 ,可得



a2n?2 ? a2 ? 2 ?

1 (a 2 n ? 4 ? a 2 n ) 2



由 ① 得 a2n?2 ? 4an?1 ? 2(n ? 1) , a2 ? 4a1 ? 2 ? 6 , a2n?4 ? 4an?2 ? 2(n ? 2) ,

a2n ? 4an ? 2n ,
代 入 ② , 化 简 得

an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 .

------------------------------------------7 分

(2)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,得 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2 ,故数列 {an?1 ? an } 是首项为 a1 ? a0 ? 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 an?1 ? an ? 2n ? 2 . 于是 a n ?

? (ak ? ak ?1 ) ? a0 ? ? (2k ) ? 0 ? n(n ? 1) .
k ?1 k ?1

n

n

因为

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 1) ,所以 a n n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. a1 a2 a2009 2 2 3 2009 2010 2010
------------------------------------------14 分 10.求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的组数. 解 令 x1 ? x2 ? x3 ? x , x4 ? x5 ? y , x6 ? z ,则 x ? 3, y ? 2, z ? 1 .

先考虑不定方程 x ? 3 y ? 5 z ? 21满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1 的正整数解.

? x ? 3, y ? 2, z ? 1



? 5z ? 21? x ? 3 y ? 12



? 1 ? z ? 2 .----------------------------------5 分
当 z ? 1 时 , 有 x ? 3 y ? 16 , 此 方 程 满 足 x ? 3, y ? 2 的 正 整 数 解 为

( x, y) ? (10, 2), (7, 3), (4, 4) .
当 z ? 2 时,有 x ? 3 y ? 11,此方程满足 x ? 3, y ? 2 的正整数解为 ( x, y) ? (5, 2) . 所以不定方程 x ? 3 y ? 5 z ? 21满足 x ? 3, y ? 2, z ? 1 的正整数解为

( x, y, z) ? (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .
------10 分

------------------------------------

又 方 程 x1 ? x2 ? x3 ? x( x ? N , x ? 3) 的 正 整 数 解 的 组 数 为 C x ?1 , 方 程
2

x4 ? x5 ? y ( y ? N , x ? 2) 的正整数解的组数为 C1y ?1 ,故由分步计数原理知,原不定方程
的正整数解的组数为
2 2 2 C9 C1 ? C6 C1 ? C3 C1 ? C2 C1 ? 36 ? 30 ? 9 ? 6 ? 81. 1 2 3 4 1

------------------------------------

------15 分 11.已知抛物线 C: y ?

1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的 2

动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: 证明 (1)设 A( x1 , y1 ) ,则 y1 ? 由y?

PM PN

?

QM QN



1 2 x1 . 2

1 2 x 得 y ? ? x ,所以 y ? | x? x1 ? x1 . 2

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1 x ? y1 . 设 P( x0 , kx0 ? 1) ,则有 kx0 ? 1 ? x0 x1 ? y1 . 设 B( x2 , y2 ) ,同理有 kx0 ? 1 ? x0 x2 ? y2 . 所以 AB 的方程为 kx0 ? 1 ? x0 x ? y ,即 x0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) ? 0 , 所 以 直 线 AB 恒 过 定 点

Q(k ,1) .

------------------------------------------7 分

(2)PQ 的方程为 y ?

1 kx0 ? 2 ( x ? k ) ? 1,与抛物线方程 y ? x 2 联立,消去 y,得 2 x 0 ?k

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k x ? x? ? 0. x0 ? k x0 ? k
2

设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y 4 ) ,则

x3 ? x 4 ?
PM PN ? QM QN

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k , x3 x 4 ? x0 ? k x0 ? k
,只需证明



要证

x3 ? x0 k ? x3 ,即 ? x 4 ? x0 x 4 ? k


2x3 x4 ? (k ? x0 )(x3 ? x4 ) ? 2kx0 ? 0
由①知, ②式左边=

2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k 2kx0 ? 4 ? ( k ? x0 ) ? 2kx0 x0 ? k x0 ? k 2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k ? (k ? x0 )(2kx0 ? 4) ? 2kx0 ( x0 ? k ) ?0. x0 ? k
式 成 立 , 从 而 ------------------------------------------15 分 结 论 成

?
故 立. ②

12.设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a
证明 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4(a ? b) 2 ? ? ? ? a?b?c?d ? b c d a a?b?c?d
----------------5 分 事实上,



a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? (a ? b ? c ? d ) b c d a ?( a2 b2 c2 d2 ? b ? 2a) ? ( ? c ? 2b) ? ( ? d ? 2c) ? ( ? a ? 2d ) b c d a

?

1 1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? d ) 2 ? (d ? a) 2 b c d a



----------------10 分 由柯西不等式知

[

(a ? b)2 (b ? c)2 (c ? d ) 2 (d ? a) 2 ? ? ? ](a ? b ? c ? d ) b c d a


? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2
----------------15 分 又由 | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |?| b ? a | 知

(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 ? 4(a ? b) 2



由 ② , ③ , ④ , 可 知 ① 式 成 立 , 从 而 原 不 等 式 成 立. ------------------------------------20 分



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