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广东省2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 不等式 理


广东省 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 不等式
2016 年广东省高考将采用全国卷,下面是近三年全国卷的高考试题及 2015 届广东省部分地区 的模拟试题,供同学们在复习时参考。 一、选择题 1、(2014 年全国 I 卷)不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

2、(广州市 2015 届高三二模)已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A. sin a ? sin b C. a 2 ? b 2
1 1

B. log2 a ? log 2 b D. ? ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

?x ? 2 y ? 8 ? 3、 (惠州市 2015 届高三 4 月模拟) 若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 , 则目标函数 z ? 2 x ? y ?0 ? y ? 3 ?
的最大值等于 ( A.7 ) B.8 C.10 D.11

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4、(茂名市 2015 届高三二模)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? 3 ?
( ). A. -3 B. -1 C.13 D.-5

?x ? 1 ? 5、(梅州市2015届高三一模)已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ,则 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?
A、2 B、3 C、4 D、5

?x ? y ? 2 ? 0 ? 6、(汕头市 2015 届高三二模)已知 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z=y-ax 取得最大值时的最优解不 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
唯一,则实数 a 的值是 A.

1 或-1 2

B.

1 或 2. 2

C. 2 或-1

D.2 或 1

7、(深圳市 2015 届高三二模)若实数 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 3 , ??1 ? x ? y ? 1

则 2 x ? y 的取值范围是 A. [0 , 6] B. [1 , 6] C. [1 , 5] D. [0 , 5]

8、 (河北保定 2015 届高三 11 月模拟)若 M(x,y)为由不等式组

确定的平面区域 D

上的动点,点 A 的坐标为( A. 3 B. 4

,1) ,则 z=

?

的最大值为( C. 3

) D. 4

?x ? y ? 1 ? 9、(开封市 2015 届高三上学期定位考试模拟)设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 ?y ? 2 ?
z ? x 2 ? y 2 的取值范围为
A.

? 2,8?

B.

? 4,13?

C.

? 2,13?

D. ? ,13? ?2 ?

?5

?

?? x ? y ? 2 ? 0 ? 10、(揭阳市 2015 届高三上期末)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,且 z ? 3x ? 5 y ,则 ? x ? 3y ? 3 ? 0 ?
log 3 z 的最大值为 2
B.2 C.9 D. log 3

A.18

31 4

?2 x ? y ? 0 ? 11、(清远市 2015 届高三上期末)已知实数 x,y 满足约束条件 ? y ? x ,若 z ? 2x ? y 的最小 ? y ? ?x ? b ?
值为 3,则实数 b=( )

A、

9 4

B、

3 2

C、1

D、

3 4

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 2 2 12、(珠海市 2015 届高三上期末)若 x、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值是 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?
A.

2 3 5

B.

2 5 5

C.

4 5

D. 1

二、填空题

?x ?1 ? 0 y ? 1、(2015 年全国 I 卷)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
2、(佛山市 2015 届高三二模)不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 3、(华南师大附中 2015 届高三三模)不等式

.

x ?1 ? 2 的解集为 *** x
1 1 ? 的最小值为__________ a b
.

4、(惠州市 2015 届高三 4 月模拟)设 a ? 0, b ? 0 ,若 a ? b ? 1 ,则 5、(茂名市 2015 届高三二模)不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 的解集为 6、(汕头市 2015 届高三二模)不等式 x ?1 ? x ?1的解集是 7、(深圳市 2015 届高三二模)不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 的解集为

? x ? y ≥ 0, 1 ? 8、 (冀州中学 2015 届高三上学期第一次月考)已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ≥ 0, 则 y ? ( ) x 的最 2 ? x ≤ 1, ?
大值为 .

9、 (洛阳市 2015 届高三上学期期中考试)若实数 x,y 满足

如果目标函数 z=x﹣y 的最

小值为﹣1,则实数 m= 5 . 10.(肇庆市 2015 届高三上期末)若 a ? 0 , b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab ,则 a 3 ? b 3 的最小值为 ▲ a b

三、解答题 1.(肇庆市 2015 届高三)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整新产品生产方案,准备每 周(按 40 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生产 20 台. 已知生产这些 家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工 时 空调器 彩电 冰箱

1 2
4

1 3
3

1 4
2

产值/千元

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为 单位)

2.(肇庆市 2015 届高三)设 a 为常数,且 a ? 1 . (1)解关于 x 的不等式 (a 2 ? a ? 1) x ? 1;

?2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (2)解关于 x 的不等式组 ? . ?0 ? x ? 1
参考答案 一、选择题 1、【答案】:C 【解析】:作出可行域如图:设 x ? 2 y ? z ,即 y ? ?

1 z x ? ,当直线过 A ? 2, ?1? 时, 2 2

zmin ? ?2 ? 2 ? 0 ,∴ z ? 0 ,∴命题 p1 、 p2 真命题,选 C.
2、D 3、【解析】平面区域如图所示,所以 z ? 2 ? 4 ? 2 ? 10 ,故选 C.

y

x

4、A 5、A 6、C 7、B

8、解答:

解:如图所示:

z=

?

=

,即 y=



首先做出直线 l0:y= ,将 l0 平行移动,当经过 B 点时在 y 轴上的截距最大,从而 z 最大. ∵B( ,2) ,故 z 的最大值为 4. 故选:B. 9、【答案解析】C 解析:画出可行域如图 ?ABC 内部(包括边界),目标函数为可行域中点到原 点距离的平方,由图可知 z 的最小值是原点到直线 x+y=2 距离的平方,由点到直线距离公式得值这 个值为 2;z 的最大值是 | OA | ? 3 ? 2 ? 13 .
2 2 2

10、B 11、A 12、B 二、填空题 1、【答案】3 【解析】 试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知, 率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故

y 是可行域内一点与原点连线的斜 x

y 的最大值为 3. x

2、 2x ? 1 ? 1 ? ?1 ? 2x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 ,所以不等式的解集为(0, 1); 3、(-∞,-1)∪(0,+∞) 4、【解析】

1 1 1 1 b a b a ? ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 a ? b 时取等号, a b a b a b a b

所以

1 1 ? 的最小值为 4 . a b

5、 ?0,??? 6、 7、 ? ?2 ,3?

8、【答案解析】
x

1 2

解析:画出可行域如图:令 z ? y ? ?

?1? ?1? ? ,即 y ? ? ? ? z ,平移曲线 ?2? ?2?
1

x

x

?1? ?1? 1 y ? ? ? 知,当曲线过点 B(1,1)时 z 最大,且最大值为 1 ? ? ? ? . ?2? ?2? 2

9、解答: 解:画出 x,y 满足的可行域如下图: 可得直线 y=2x﹣1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数 z=x﹣y 取得最小值, 由 可得,

代入 x﹣y=﹣1 得 ∴m=5

故答案为:5

10、 4 2 三、解答题 1、解:设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台,则生产冰箱 120? x ? y 台,产值为 z 千元, 则依题意得 z ? 4 x ? 3 y ? 2(120 ? x ? y) ? 2 x ? y ? 240 , (4 分)

1 1 ?1 ? 2 x ? 3 y ? 4 (120 ? x ? y ) ? 40, ?3x ? y ? 120, ? x ? y ? 100, ? ? ? 且 x,y 满足 ?120 ? x ? y ? 20, 即? ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. ? y ? 0. ?
可行域如图所示. 解方程组 ? (10 分)
100

(8 分)

y 120 M y =100- x

?3x ? y ? 120, ? x ? 10, 得? 即 M(10,90). x ? y ? 100 , y ? 90 . ? ?
(11 分)

让目标函数表示的直线 2 x ? y ? 240 ? z 在可行域上平移,
O

y =120-3 x 40 100 x

可得 z ? 2 x ? y ? 240在 M(10,90)处取得最大值,且

z max ? 2 ?10 ? 90 ? 240 ? 350(千元).

(13 分)

答:每周应生产空调器 10 台,彩电 90 台,冰箱 20 台,才能使产值最高,最高产值是 350 千元. (14 分) 2、解:(1)令 a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a1 ?
2

1? 5 1? 5 ? 0 , a2 ? ? 1. 2 2

(1 分)

①当 a ?

1 1 1? 5 }; 时,解原不等式,得 x ? 2 ,即其解集为 {x | x ? 2 a ? a ?1 a ? a ?1 2
(2 分)

②当 a ?

1? 5 时,解原不等式,得无解,即其解集为? ; 2

(3 分)

③当

1 1 1? 5 }. ,即其解集为 {x | x ? 2 ? a ? 1 时,解原不等式,得 x ? 2 a ? a ?1 a ? a ?1 2
(4 分)

(2)依 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (*),令 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 (**), 可得 ? ? 9(1 ? a) 2 ? 48a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) . ①当 (5 分)

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时方程(**)无解,解不等式(*),得 x ? R ,故原不等式组的解集 3
(6 分)

为 {x | 0 ? x ? 1} ; ②当 a ?

1 3(1 ? a ) ? 1 ,解不等式(*), 时,? ? 0 , 此时方程(**)有两个相等的实根 x1 ? x 2 ? 3 4
(7 分)

得 x ? 1 ,故原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ;

③当 a ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 时, ? ? 0 ,此时方程(**)有两个不等的实根 x3 ? , 3 4

x4 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) ,且 x3 ? x 4 ,解不等式(*),得 x ? x3 或 x ? x4 . 4
(8 分)

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? (1 ? 3a) 2 ? (8 ? 24a) 3 ? 3a ? 1 ? 3a x4 ? ? ? ? 1, 4 4 4
(9 分)

x3 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? ? 1, 4 4

(10 分)

且 x3 ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 3 ? 3a ? (3 ? 5a) 2 ? 16a 2 3 ? 3a ? (3 ? 5a) ? ? ? 2a , 4 4 4
(11 分)

所以当 a ? 0 ,可得 x3 ? 0 ;又当 x3 ? 0 ,可得 a ? 0 ,故 x3 ? 0 ? a ? 0 ,(12 分) 所以ⅰ)当 0 ? a ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? }; 3 4
(13 分)

ⅱ)当 a ? 0 时,原不等式组的解集为? . 综上,当 a ? 0 时,原不等式组的解集为? ;当 0 ? a ?

(14 分)

1 时,原不等式组的解集为 3

{x | 0 ? x ?

3 ? 3a ? 3(3a ? 1)(a ? 3) 1 } ;当 a ? 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ;当 3 4

1 ? a ? 1 时,原不等式组的解集为 {x | 0 ? x ? 1} . 3



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