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案例7 随机模拟



案例7

随机模拟
1

(一) 问题
设函数f ( x)如图所示,即当a ? x ? b时, 0 ? f ( x) ? M ,求? ? ? f ( x)dx.
a b

------可以采用随机模拟解决
随机模拟又称为蒙特卡罗方法,是一种采用统计 抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方法。

M

f ( x)

a

b

2

随机模拟的计算思路:
(1)针对实际问题建立一个简单便于实现的概率统计模型, 使所求的解恰好是所建模型的概率分布或某数字特征,如事件 的概率或模型的期望; (2)对模型中的随机变量建立抽样方法,在计算机上进行模 拟试验,抽取足够的随机数,并对有关的事件进行统计, 求出 这些特征的统计估计值作为原来的分析问题的近似解; (3)对模拟试验结果加以分析,给出所求解的估计及精度 (方差)的估计; (4)必要时,还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用, 提高模拟计算的效率。
3

随机模拟方法用于近似数值计算领域已有近百年的历史。可追溯 到历史上著名的蒲丰(Buffon)投针问题。

4

? 2 , ? f ( x, ? ) ? ? a? ? ? 0,

a 0 ? x ? ,0 ? ? ? ?, 2 其他.

5

而针与线相交的充要条件是:
l 0 ? x ? sin ? . 2
?

x

l sin ? 2

所以,针与线相交的概率是:
l p ? P( X ? sin ? ) ? 2 ?l cos ? ? 2l ? . 0 ? a? a?

? ?
0

?

l sin ? 2 0

2 dxd? ? a?

?

?

0

l sin ? d? a?

m 2l n ? ? , 从而 ? 的点估计是? p ?? . n a m

a n ?? . 特别地,若l ? , 则? 2 m
6

历史上有几位科学家做过此实验.下表列出了其中的一部分实验 结果: 人名 年份 n m π 沃夫 1850 5000 2532 3.1596 史密斯 1855 3204 1218 3.1514 拉兹瑞尼 1901 3408 1808 3.1415929

7

(二) 随机投点法
例2:f ( x)为定义在[0, 1]上的连续函数,且0 ? f ( x) ? 1,用蒙特卡罗方法, 求定积分I ? ? f ( x)dx 的近似值. 1 0 f ( x) 解:设( X , Y )服从正方形{( x, y) : 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1}的均匀分布, 则X与Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布. 1 o 令A ? {Y ? f ( X )},则A发生的概率为
p ? P( A) ? P{Y ? f ( X )} ? ?
1 0 0

1

y

x

?

f ( x)

1dydx ? ? f ( x)dx ?I ,
0

1

即定积分I 的值就是事件A发生的概率p.
根据贝努里大数定律,通过大量独立重复试验,以试验中 事件A发生的频率作为定积分I 的近似值.
8

(1)用计算机独立产生[0, 1]均匀分布的2n个随机数xi , yi , i ? 1, 2,..., n, 一般地,n取比较大的数,如104 , 105 等;
(2)考察这n对数据( xi , yi ), i ? 1, 2,..., n, 统计满足不等式

y
1

f ( x)
1

o

x

m m yi ? f ( xi )的次数m, 那么, 就是事件A发生的频率,于是I ? . n n 这种做法其实就是将( X , Y )看成正方形{( x, y ) : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1}的随机点,

用随机点落在正方形的子区域{( x, y ) : y ? f ( x)}中的频率作为定积分 I ? ? f ( x)dx 的近似值.——随机投点法.
0
9

1

例3:f ( x)为定义在[a, b]上的连续函数,且0 ? f ( x) ? M ,用随机投点法,

解:设S ? {( x, y) : a ? x ? b,0 ? y ? M }
?
M (b ? a)

求定积分? ? ? f ( x)dx 的近似值. (如计算概率、各阶矩等,可归为定积分)
a

b

向S内随机投点,若点落在{( x, y) : y ? f ( x)}, 称为“中的”,
则“中的”概率 p?
M

,

f ( x)

m ?? , 若在n次独立重复试验中“中的”m次,则p的估计p n m ? ? M (b ? a) . 从而 ? n

a

b

10

随机投点法实现步骤:
(1)用计算机独立产生[0,1]均匀分布的2n个随机数ui , vi , i ? 1, 2,..., n;
(2)计算xi ? a ? ui (b ? a), yi ? Mvi , 及f ( xi );

M

f ( x)

(3)统计满足不等式

m ? yi ? f ( xi ) 的次数m, 那么, ? ? M (b ? a) . n
?
M (b ? a)

a

b

随机投点法估计的精度如何?
注意到m ~ B(n, p), 其中p ? , 所以E(m) ? np, D(m) ? np(1 ? p). 于是

E (m) ? ?) ? [ M (b ? a)]2 D(m) ? ? [ M (b ? a) ? ? ] . E (? ) ? M (b ? a) ? ? , D(? n n2 n ?) ? D(? ?) ? O(n?1/2 ). 有没有办法提高精度? 以标准差为精度衡量,? (?
11

比随机投点法精度高的方法有很多,比如 ˙样本平均值法 ˙重要抽样法 ˙分层抽样法 ˙关联抽样法 ˙˙˙ 下面来介绍样本平均值法

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(三) 样本平均值法
例4:f ( x)为定义在[a, b]上的连续函数,且0 ? f ( x) ? M ,用样本平均值方法 求定积分? ? ? f ( x)dx 的近似值.
a b

解:设g ( x)为 [a, b]上的概率密度,则
? f (X ) ? f ( x) ? ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ? E ? ? a a g ( x) ? g( X ) ? 1 例如,若a, b有限,取g ( x) ? , a ? x ? b, b?a f ( xn ) f ( x1 ) 设x1 , , xn是U [a, b]的随机数,计算 ,..., , g ( x1 ) g ( xn ) 1 n f ( xi ) b ? a n 则?的估计? ? ? ? f ( xi ) ——样本平均值法. ? n i ?1 g ( xi ) n i ?1
b
b

13

样本平均值法实现步骤:
(1)用计算机独立产生[0,1]均匀分布的n个随机数ui , i ? 1, 2,..., n;
b?a n (2)计算xi ? a ? ui (b ? a), 及f ( xi );则? ? f ( xi ). ? n i ?1

M

f ( x)

a

b

样本平均值法估计的精度如何?
b 1 ?b ? a n ? dx ? ? E (? ) ? E ? f ( X i ) ? ? (b ? a) ? f ( x) ? a b?a ? n i ?1 ?
b ?b ? a n ? 1? 1 2 2 2? D(? ) ? D ? f ( X ) ? ( b ? a ) f ( x ) dx ? ? ? i ? ?a ? n b?a i ?1 ? ? n? ? ? b 1? ? (b ? a) ? f 2 ( x)dx ? ? 2 ? ? a ? ? n?
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? [M (b ? a) ? ? ] ? 随机投点法的方差D(? ) ? , n
b 1? 样本平均值法的方差D(? ) ? (b ? a) ? f 2 ( x)dx ? ? 2 ? , ? a ? ? n?

M (b ? a)? (b ? a) b 2 M (b ? a)? M (b ? a) b ? D(? ) ? D(? ) ? ? f ( x ) dx ? ? f ( x)dx ? 0. ? a n n ?a n n

所以,样本平均值法估计的精度高于随机投点法;
特别地,当概率密度g ( x)取与f ( x)相近的函数时还能进一步降低方差.

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