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高二数学2014第三章数系的扩充与复数的引入单元测试题及答案解析



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第三章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题正确的是( A.复数的模是正实数 B.虚轴上的点与纯虚数一一对应 C.

实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数 D.相等的向量对应着相等的复数 解析 复数的模可能为 0,故 A 项错.虚轴上原点对应的复数不 是纯虚数,故 B 项错.实部相等,虚部互为相反数的两个复数为共 轭复数,故 C 项错,D 项正确. 答案 D )

2.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标 是( ) A.(2,4) C.(4,-2) 解析 (4,-2). 答案 C ) B.-i D.-1
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B.(2,-4) D.(4,2)

2+4i ?2+4i?i iz=2+4i?z= i = i· i =4-2i.其对应点的坐标为

1+i 4 3.i 是虚数单位,( ) 等于( 1-i A.i C.1

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1+i ?1+i?2 2i 解析 ∵ = = 2 =i, 1-i ?1-i??1+i? ∴( 1+i 4 4 ) =i =1. 1-i C

答案

a?a+2? 4.复数 z= +(a2+2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则 a 的值为 a-1 ( ) A.a=0 B.a=0,且 a≠-1 C.a=0,或 a=-2 D.a≠1,或 a≠-3 a?a+2? ? ? a-1 =0, 依题意得? ? ?a2+2a-3≠0,

解析

解得 a=0,或 a=-2. 答案 C ) B.1 D.i

?1+2i?2 5.复数 的值是( 3-4i A.-1 C.-i

?1+2i?2 -3+4i 解析 = =-1. 3-4i 3-4i 答案 A z+2 是实数,那么 z 等于( 1-i B.i D.-2i
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6.已知 z 是纯虚数, A.2i C.-i

)

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解析 设 z=bi(b∈R,且 b≠0), 则 z+2 2+bi ?2+bi??1+i? = = 1-i 1-i ?1-i??1+i?

1 =2[(2-b)+(2+b)i]. ∵ z+2 ∈R, 1-i

∴2+b=0,b=-2. ∴z=-2i. 答案 D

7.如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复 数的点是( )

A.A C.C 解析 B. 答案 B

B.B D.D - 互为共轭复数的对应点关于 x 轴对称,故 z 的对应点为

1 1 8.复数 + 的化简结果为( i-2 1-2i 1 A.5+i 1 2 C.-5+5i

)

1 1 B.-5+5i 1 D.1-5i
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解析

i+2 1+2i 2+i 1+2i 1 1 + = + = + 5 i-2 1-2i ?i-2??i+2? ?1-2i??1+2i? -5

-2-i+1+2i 1 1 = =- 5 5+5i. 答案 B

9.若 1+2ai=(1-bi)i,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则|a+bi| =( ) 1 A.2+i 5 C. 2 B. 5 5 D.4

解析 ∵1+2ai=b+i,又 a,b∈R,

?a= , ?b=1, ? ∴? 即? 2 ? 2 a = 1 , ? ?b=1.
? ?1 ? ∴|a+bi|=?2+i?= ? ?1?2 5 ? ? +12= . 2 ?2?

1

答案

C

?1 -1? ?a b? ?=ad-bc,则符合条件? ?=4+2i 的 10.定义运算? ?c d ? ?z zi ?

复数 z 为( A.3-i C.3+i

) B.1+3i D.1-3i
?1 ?z

解析 依题意知,? ∴z(1+i)=4+2i. ∴z= 答案

-1? zi ?

?=zi+z=4+2i,

4+2i =(2+i)(1-i)=3-i. 1+i A
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11.复数 z=a+bi(a,b∈R)是方程 z2=-3+4i 的一个根,则 z 等于( ) B.-1± 2i D.2+i,或-2-i

A.1± 2i C.1+2i,或-1-2i

解析 若按复数相等的充要条件去解方程组,计算量很大,本题 可采用验证的方法.∵(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,∴z=1+2i 或-1-2i. 答案 C

12.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论 正确的是( ) B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y|

A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x 解析 ∵z=x+yi,(x,y∈R), 则 z =x-yi,∴z- z =2yi,

∴|z- z |=|2y|≥2y,故 A、C 错. 又 z2=x2-y2+2xyi≠x2+y2,故 B 错.因此,正确答案为 D. 答案 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中的横线上) 2+i 13.复数 的共轭复数是________. 1+i 解析 2+i ?2+i??1-i? 3-i 3 1 = = 2 =2-2i. 1+i ?1+i??1-i?

3 1 ∴共轭复数为2+2i.

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3 1 答案 2+2i 14.若 z1=1+i,z1· z 2=2,则 z2=__________. 解析 ∵z1=1+i,z1· z 2=2, 2 ∴ z 2= =1-i. 1+i ∴z2=1+i. 答案 1+i 15.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数 (z1-z2)i 的实部是________. 解析 ∵(z1-z2)i =[4+29i-(6+9i)]i =(-2+20i)i =-20-2i, ∴(z1-z2)i 的实部是-20. 答案 -20

y 16 .已知虚数 (x - 2) + yi(x , y ∈ R) 的模为 3 ,则 x 的最大值是 ________. 解析 ∵|(x-2)+yi|= 3.∴(x-2)2+y2=3. y 设x=k,则 y=kx,代入圆的方程,并整理得(1+k2)x2-4x+1= 0.∵该方程有解,∴Δ=16-4(1+k2)≥0, ∴|k|≤ 3. y 故x的最大值为 3. 答案 3
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三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) a2+2a-15 17.(10 分)要使复数 z=a -a-6+ i 为纯虚数,实数 a2-4
2

a 是否存在?若存在求出 a 的值;若不存在说明理由. 解 若 z 为纯虚数,则 a -a-6=0, ? ?2 ?a +2a-15 ? ? a2-4 ≠0,
2

① ②

由①解得 a=3,或 a=-2, 分别代入②都不合题意,所以不存在使 z 为纯虚数的实数 a. 18.(12 分)已知集合 M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},N={- 1,1,4i},若 M∪N=N,求实数 m 的值. 解 ∵M∪N=N,∴M?N. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
?m2-2m=-1, ? 得? 2 解得 m=1. ? ?m +m-2=0.

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
2 ? ?m -2m=0, 得? 2 解得 m=2. ?m +m-2=4. ?

综上知 m 的值为 1 或 2. 19. (12 分)已知复数 z1=m+ni, z2=2-2i 和 z=x+yi, 设 z= z1 1 i-z2,m,n,x,y∈R.若复数 z1 的对应点 M(m,n)在曲线 y=2(x+2)2 5 +2上运动,求复数 z 所对应的点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. 解 ∵z1=m+ni,z2=2-2i,
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∴z= z1 i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i. 又∵z=x+yi,m,n,x,y∈R,
? ? ?x=n-2, ?n=x+2, ? ∴ ∴? ? ? ?y=m+2, ?m=y-2.

1 5 ∵点 M(m,n)在曲线 y=2(x+2)2+2上运动, 1 5 ∴x+2=2y2+2,即 y2=2x-1. 故点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为 y2=2x-1. 20.(12 分)已知 1+i 是实系数方程 x2+ax+b=0 的一个根. (1)求 a,b 的值; (2)试判断 1-i 是否是方程的根. 解 (1)∵1+i 是方程 x2+ax+b=0 的根,

∴(1+i)2+a(1+i)+b=0, 即(a+b)+(a+2)i=0,
?a+b=0, ?a=-2, ? ? ∴? ∴? ? ? ?a+2=0, ?b=2.

∴a,b 的值分别为 a=-2,b=2. (2)方程为 x2-2x+2=0, 把 1-i 代入方程 左边=(1-i)2-2(1-i)+2=-2i-2+2i+2 =0 显然方程成立. ∴1-i 也是方程的一个根. 1 3 21.(12 分)设 w=-2+ 2 i, (1)求证:1+w+w2=0; (2)计算:(1+w-w2)(1-w+w2).
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(1)证明

1 3 ∵w=-2+ 2 i,

1 3 ∴w2=(-2+ 2 i)2 1 1 3 3 =4+2(-2)( 2 i)+( 2 i)2 1 3 3 1 3 =4- 2 i-4=-2- 2 i. 1 3 1 3 ∴1+w+w2=1-2+ 2 i-2- 2 i=0. (2)由 1+w+w2=0 知, (w-1)(1+w+w2)=0, ∴w3-1=0,∴w3=1. ∴(1+w-w2)(1-w+w2) =(-2w2)(-2w) =4w3=4. 22.(12 分)设 z1,z2∈C, (1)求证:|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2; (2)设|z1|=3,|z2|=5,|z1+z2|=6,求|z1-z2|. 解 (1)证明 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),

则|z1+z2|2+|z1-z2|2 =|(a+c)+(b+d)i|2+|(a-c)+(b-d)i|2 =(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2 =2a2+2c2+2b2+2d2 =2(a2+b2)+2(c2+d2), 又 2|z1|2+2|z2|2=2(a2+b2)+2(c2+d2), 故|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.

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(2)∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2, ∴62+|z1-z2|2=2×32+2×52. ∴|z1-z2|2=68-36=32. ∴|z1-z2|=4 2.

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