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全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案



全国高中数学联赛江苏赛区 2012 年初赛试题答案
班级 __________ 姓名 __________ 一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分) 1.当 x ? [ ?3,3] 时,函数 f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为 ________ 解:设 g ( x) ? x3 ? 3x, x ? [?3,3] , g ?( x)

? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ; 因为 g (?1) ? 2 , g (1) ? ?2 , g (3) ? 18 , g (?3) ? ?18 , 根据 g ( x) 的单调性结合绝对值的性质知: f ( x) ? x3 ? 3x 的最大值为 18.
???? ??? ? ???? ??? ? 2.在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12 , AC ? BA ? ?4 ,则 AC ? ________
???? ??? ???? ??? ? ? ???? ???? ???? 解: AC ? BC ? AC ? BA ? 16 , AC ? AC ? 16 ,所以 AC ? 4 .

3.从集合 {3, 4,5, 6, 7,8} 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为 ________ 解:考虑取出三数从小到大成数列: 当 d ? 1 时,有 3,4,5;4,5,6;5,6,7;6,7,8 四组; 当 d ? 2 时,有 3,5,7;4,6,8 两组;所以,一共有 6 种情形;
3 从 6 个元素中随机选取 3 个不同的元素共有: C6 ? 20 种情形;故概率为: P ?

6 3 ? . 20 10

4.已知 a 是实数,方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则 | a ? bi | 的值 为 ________ 解:由 b2 ? (4 ? i)b ? 4 ? ai ? 0 ,即 (b2 ? 4b ? 4) ? (b ? a)i ? 0 ;

?b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ?a ? 2 ?? 得? ? a ? bi ? 2 2 . ?b ? ?2 ?a ? b ? 0
5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜角为锐角 12 4

的直线 l 与双曲线 C 交于 A B 两点;若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为 ________ 、 解:由题可设斜率为 k (k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ; 将 y ? kx 代入 C : x 2 ? 3 y 2 ? 12 ? 0 ; y

12 12k 2 得: (1 ? 3k ) x ? 12 , x ? , k 2 x2 ? ; 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2 2

2

O B

A F x

1 由 S ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 4 y1 ? 8 3 ,得: y12 ? 12 ; 2

1

所以

1 1 12k 2 ? 12 , k 2 ? 1 ? 3k 2 ;所以 k 2 ? ,而 k ? 0 ,所以 k ? . 2 4 2 1 ? 3k

6.已知 a 是正实数, k ? a lg a 的取值范围是 ________ 解:两边取对数得: lg k ? (lg a)2 ? 0 ,所以 k ? 1 ,即 k 的取值范围是 [1, ? ?) . 7.在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 ; 该四面体的体积为 ________ 解:由平面几何知识知底面三角形为直角三角形, 且 A 点在底面上的射影为三角形的外心;
B D A

1 1 5 3 ?5 3. 所以即为 BD 中点,故 V ? ? ? 3 ? 4 ? 3 2 2

C

8.已知等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 满足: a1 ? b1 ? 3 , a2 ? b2 ? 7 , a3 ? b3 ? 15 , a4 ? b4 ? 35 , 则 an ? bn ? ________
(1) ? a1 ? b1 ? 3 ?a ? d ? b q ? 7 (2) 1 ? 1 解:设公差为 d ,公比为 q ,则 ? ; 2 ? a1 ? 2d ? b1q ? 15 (3) ? a ? 3d ? b q 3 ? 35 (4) ? 1 1

(4)减(3)得: d ? b1q3 ? b1q 2 ? 20 ; 上述两式相减: b1q3 ? 2b1q 2 ? b1q ? 12

(3)减(2)得: d ? b1q 2 ? b1q ? 8 ;
(5) ;

(1)+(4)得: 2a1 ? 3d ? b1q3 ? b1 ? 38 , (2)+(3)得: 2a1 ? 3d ? b1q 2 ? b1q ? 22 ; 两式相减得, b1q3 ? b1 ? b1q 2 ? b1q ? 16 (6) ; 从而
q 3 (5) ? ;所以 q ? 3 , a1 ? 2, d ? 2, b1 ? 1 ; ,可得: q ?1 4 (6)

所以 an ? 2n, bn ? 3n ?1 , an ? bn ? 2n ? 3n ?1 . 9.将 27,37,47,48,55,71,75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这 样的排列有 ________ 种. 解:将 7 个数分成 3 类: (1) 3k 的数为:27,48,75,有 3 个; (2) 3k ? 1 的数为 47,71,有 2 个; (3) 3k ? 1 的数为 37,55,有 2 个; 要使排列的一列数中任意的四个数之和为 3 的倍数, 7 个位置上第 1 位和第 5 位应排同一类数, 则 第 2 和第 6 位排同一类数,第 3 和第 7 位排同一类数,且第 4 位必排第(1)类共有 3 种排法,
3 2 ( 23 3 三类数排到三类位置共有 A3 种,每一类位置各有 A2 种排法,故共有 3 A2)A3 ? 144 种排法.

2

10.三角形的周长为 31,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 (a, b, c) 的个数 为 ________ 解:因为 a ? b ? c ? 31, a、b、c ? Z ? ,所以 c ? 11 ; 又因为 a ? b ? c ,所以 c ? 15 ; 所以 c 的所有可能取值为:11,12,13,14,15; 当 c ? 11 时, ( a, b) 的取值为(9,11) (10,10) ,有 2 组; 当 c ? 12 时, ( a, b) 的取值为(7,12) (8,11) (9,10) ,有 3 组; 当 c ? 13 时, ( a, b) 的取值为(5,13) (6,12) (7,11) (8,10) (9,9) ,有 5 组; 当 c ? 14 时, ( a, b) 的取值为(3,14) (4,13) (5,12) (6,11) (7,10) (8,9) ,有 6 组; 当 c ? 15 时, ( a, b) 的取值为(1,15) (2,14) (3,13)┅(8,8)有 8 组 故满足要求的三元 (a, b, c) 的个数为 24. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分) 11.在 ?ABC 中,角 A, B , C 对应的边分别为 a, b, c ,
cos A ? cos B ? 证明: (1) b cos C ? c cos B ? a ; (2) a?b 2sin 2 c C 2 .

证法一: (余弦定理法) (1) b cos C ? c cos B ? b

a 2 ? b2 ? c 2 a2 ? c2 ? b2 2a2 ?c ? ?a; 2ab 2ac 2a

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a 2 ? cos A ? cos B 2ac 2bc (2) ? a?b a?b

?

ab 2 ? ac 2 ? a 3 ? a 2 b ? bc 2 ? b3 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2abc(a ? b) 2abc

2sin 2



a 2 ? c2 ? b2 C 1? 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 2ac 2 ? 1 ? cos C ? ? , c c c 2abc

所以等式成立. 证法二: (正弦定理法) (1)在 ?ABC 中,由正弦定理得: b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C , 所以 b cos C ? c cos B ? 2R sin B cos C ? 2R sin C cos B ? 2R sin( B ? C ) ? 2R sin A ? a (2)由(1)可知: b cos C ? c cos B ? a ,同理有: a cos C ? c cos A ? b ;
3

所以 b cos C ? c cos B ? a cos C ? c cos A ? a ? b ; 即 c(cos B ? cos A) ? (a ? b)(1 ? cos C) ? (a ? b) ? 2sin 2
2sin 2 c C 2 .

C ; 2

cos A ? cos B ? 所以, a?b

12.已知 a, b 为实数, a ? 2 ,函数 f ( x) ?| ln x ? (1)求实数 a, b ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间;

e a | ?b ( x ? 0) ;若 f (1) ? e ? 1 , f (2) ? ? ln 2 ? 1 ; 2 x

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd ? 1 ,求证: f (c) ? f (d ) .
? f (1) ? a ? b ? e ? 1 ? 解: (1)由题意可得: ? ; a e ? f (2) ? ln 2 ? ? b ? ? ln 2 ? 1 2 2 ?

?a ? 1 , ? ln 2 ?
(2) f ( x) ? ln x ?

a e a a ? ? ln 2 , ? ? b ? ? 1 , ? a ? e, b ? 1 . 2 2 2 2

a ? 1; x
a 1 e ( x ? 0) ; g ?( x) ? ? 2 ? 0 , g ( x) 在 (0, ??) 上递增; x x x

设 g ( x) ? ln x ?

? g (e) ? 0 , ?0 ? x ? e 时, g ( x) ? 0 ;

e ∴ f ( x) ? ln x ? ? 1 , f ( x) 在 (0, e) 上递减; x
e 当 x ? e , g ( x) ? 0 , f ( x) ? ln x ? ? 1 在 (e, ??) 上递增, x
即 f ( x) 的减区间为 (0, e) ,增区间为 (e, ??) .

e 1 (3) d ? , c ? 1 , f (c) ? ln c ? ? 1 ; c c

1 1 c c f (d ) ? f ( ) ? ln ? ce ? 1 ? ln c ? ce ? 1 ? ln c ? ? 1 ? ln c ? ? 1 c c e e ? ln c ?
所以命题成立.

c ? 1 ? f (c) ; e

4

13.如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B , AB ? 1 ,

OB ? 1 ,线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点,求线段 CD 长的取值范围.

A

O

D

M B

证明:如图,设 ?AOB ? ? , ? OA ? AB, ??OBA ? ? ;
?BAO ? ? ? 2? , ? OA ? OC , ??OCA ? ? ? 2? ,于是 ?BOC ? ? ? 3? ,

∵ D 为 OB 的中点, ?OD ? OAcos? ? cos? ;
? CD 2 ? OC 2 ? OD 2 ? 2OCOD cos ?COD ? 1 ? cos 2 ? ? 2cos ? cos(? ? 3? )
2 3 ? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos 3? ? 1 ? cos ? ? 2cos ? (4cos ? ? 3cos ? )

? 8cos4 ? ? 5cos2 ? ? 1 ? 8(cos2 ? ?

5 2 7 ) ? 16 32

又 ?BOC ? ? ? 3? ? ?AOB ? ? , ?OCA ? ? ? 2? ? ?OBA ? ? ; 得 ? ? 3? ? ? , ? ? 2? ? ? ; ? 于是 CD2 ? [

?
4

?? ?

?
3

1 1 , ? cos2 ? ? ( , ) , 4 2

14 2 7 1 , ). , ) ; ? CD ? [ 8 2 32 2

14.设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x2 ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根;证明:存在边长是整数且面 积为 ab 的直角三角形.
?a ? b ? d ? c 证明:由题设可知, ? ,由于 a, b, c, d 是正整数, ?ab ? cd

则 a ? b, a ? c, b ? c 中任两个数之和大于第三个数,且为正整数,
(c ? a ) 2 ? (b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(a ? b) ? a 2 ? b 2 ? 2c 2 ? 2c(d ? c) ? a 2 ? b 2 ? 2cd ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ( a ? b) 2

1 1 1 又 S ? (a ? c)(b ? c) ? (ab ? c(a ? b ? c)) ? (ab ? cd ) ? ab ; 2 2 2
故存在边长为 a ? c, b ? c,a ? b (均为正整数)的直角三角形( a ? b 为斜边)符合题设要求.

5



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