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2015年高三数学名校试题分类汇编(1月 第二期)E单元 不等式(含解析)



E 单元
目录 E 单元 不等式 1 E1 不等式的概念与性质 1 E2 绝对值不等式的解法 4 E3 一元二次不等式的解法 4 E4 简单的一元高次不等式的解法 4 E5 简单的线性规划问题 4

不等式

ab ?
E6 基本不等式 E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 E9 单元综合 27

r />a?b 2
24 24

18

E1 不等式的概念与性质 【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】22. (本小题满分 14 分) 设 数 列

?an ?

Sn 的 前 n 项 和 为

, 已 知

a1 ? 1, a2 ? 6, a3 ? 11 , 且

(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? 1,2,3,? ,其中 A, B 为常数。
(1)证明:数列

?an ? 为等差数列;
5amn ? am an ? 1
对任何正整数 m, n 都成立。

(2)证明:不等式

【知识点】等差数列的概念与求和公式、不等式 D2 E1 【答案】 (1)略; (2)略.

S ? a1 ? a2 ? a3 ? 18 解:由已知,得 S1 ? a1 ? 1, S 2 ? a1 ? a2 ? 7 , 3


(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B ,知
? A ? B ? ?28 ? 2 A ? B ? 48 ,即 ?
(4 分)

?? 3S 2 ? 7S1 ? A ? B ? ?2S 3 ? 12S 2 ? 2 A ? B
解得 A ? ?20, B ? ?8 .

(1) 所以

(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20n ? 8 (5n ? 3)S n?2 ? (5n ? 7)S n?1 ? ?20n ? 28

① ②
1

②-①得 所以 ④-③得 因为 所以 因为 所以 所以 又 所以数列

(5n ? 3)S n?2 ? (10n ? 1)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20 (5n ? 2)S n?3 ? (10n ? 9)S n?2 ? (5n ? 7)S n?1 ? ?20

③ ④

(5n ? 2)S n?3 ? (15n ? 6)S n?2 ? (15n ? 6)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? 0 an?1 ? S n?1 ? S n (5n ? 2)an?3 ? (10n ? 4)an?2 ? (5n ? 7)an?1 ? 0
(5n ? 2) ? 0

王新敞
奎屯

新疆

an?3 ? 2an?2 ? an?1 ? 0 an?3 ? an?2 ? an?2 ? an?1 , n ? 1 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ? 5
{an } 为等差数列
(5 分)

王新敞
奎屯

新疆

(2) 由(1)可知, 要证 只要证 因为

an ? 1 ? 5(n ? 1) ? 5n ? 4 ,

5amn ? am an ? 1

5amn ? 1 ? am an ? 2 am an
amn ? 5mn ? 4 ,



am an ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 ,
故只要证 即只要证

5(5mn ? 4) ? 1 ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 ? 2 am an ,

20m ? 20n ? 37 ? 2 am an

,因为

2 a m a n ? a m ? a n ? 5m ? 5n ? 8 ? 5m ? 5n ? 8 ? (15m ? 15n ? 29) ? 20 m ? 20 n ? 37
所以命题得证 【 思 路
王新敞
奎屯 新疆

(5 分) 点 拨 】 根 据 已 知 求 得

S1 ,S2 , S3











(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? 1,2,3,? 可 求 得 A ? ?20, B ? ?8 , 即 (5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20n ? 8 ,然后利用等差中项,证明数列{an}为等差数列;要

2



5amn ? am an ? 1

移项平方可得

5amn ? 1 ? am an ? 2 am an

,即

am an ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 ,利用不等式 2 aman ? am ? an 证得.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三)

a ? sin(?810 ), b ? tan(
(201412)word 版】(7)设 (A)a<b<c (B)a<c<b 【知识点】数值大小的比较. E1 (C)b<c<a

33? 1 ), c ? lg 8 5 ,则它们的大小关系为
(D)c<a<b

a ? ?1, b ? tan
【答案】 【解析】B 解析:∵

?

1 ? 0, c ? lg ? ? ?1, 0 ? 8 5 ,∴a<c<b,故选 B.

【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围,从而得到它们的大小顺序.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】9.定义域为 R 的可导函数 y ? f ? x ? 的导函数为 f ? x ? ,满足 f ? x ? ? f ? x ? ,且
' '

f ?x ? ?1 f ?0 ? ? 1, 则不等式 e x 的解集为(
A. ?? ?,0 ? B. ?0,?? ? C. ?? ?,2 ?

) D. ?2,?? ?

【知识点】导数的运算;其他不等式的解法.B11 E1

【答案】 【解析】B

解析:设

g ( x) =

f ( x) ex ,

g ?( x) =


fⅱ ( x) e x - f ( x) e x

(e )

x 2

=

f

( x) - f ( x)
ex


' g? x < 0 g x ∵ f ? x ? ? f ? x ? ,∴ ,即函数 单调递减.

()

( )

∵ f ?0 ? ? 1, ∴

g ( 0) =

f ( 0) = f ( 0) = 1, e0 ,

f ( x) f ( 0) f ?x ? < 0 ?1 x x e ,即 g ( x) < g ( 0) , 则不等式 e 等价为 e
∵函数

g ( x)

单调递增.∴ x > 0 ,

3

f ?x ? ?1 x ∴不等式 e 的解集为 ?0,?? ? ,故选:B.

【思路点拨】根据条件构造函数

g ( x) =

f ( x) e x ,利用导数求函数的单调性,即可解不等式.

E2 绝对值不等式的解法 【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 ( 201501 ) 】 12. 已 知 不 等 式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 的 解 集 为 R , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 。 【知识点】绝对值不等式的解法.E2 【答案】 【解析】 a < 3 解析:令 f(x)=|x﹣2|+|x+1|,

则 f(x)=|x﹣2|+|x+1|≥|(x﹣2)﹣(x+1) )|=3, ∴f(x)min=3. ∵|x﹣2|+|x+1|>a 的解集为 R?a<f(x)min 恒成立, ∴a<3,即实数 a 的取值范围是 a < 3 . 故答案为: a < 3 . 【思路点拨】令 f(x)=|x﹣2|+|x+1|,可求得 f(x)min=3,依题意,a<f(x)min,从而 可得实数 a 的取值范围.

E3 一元二次不等式的解法 E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题 【数学理卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】7.已知函数若 x,y 满足约

? x ? y ? 1, ? ? x ? y ? ?1, ? 2 x ? y ? 2, 束条件 ? 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1, 0)处取得最小值, 则实数 a 的取值范围是
( A. )

( ?4, 2)

B.

( ?4,1)

C.

(??, ?4)

(2, ??)

D.

(??, ?4)

(1, ??)

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案】A
4

【解析】可行域为△ABC,如图,

a 当 a=0 时,显然成立.当 a>0 时,直线 ax+2y-z=0 的斜率 k=- 2 >kAC=-1,a<2. a 当 a<0 时,k=- 2 <kAB=2a>-4。综合得-4<a<2。
【思路点拨】先根据约束条件画出可行域,设 z=ax+2y,再利用 z 的几何意义求最值,只需 利用直线之间的斜率间的关系,求出何时直线 z=ax+2y 过可行域内的点(1,0)处取得最小 值,从而得到 a 的取值范围即可.

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】8.已知变

量 x , y 满足

?x ? y ? 2 ? 0 3x ? y ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则u= x ?1 ?y ? 2 ? 0 ?
? 1 1? B. ? ? , ? ? ? 2 5?

的值范围是 (



? 5 14 ? A. ? , ? ?2 5 ?

? 1 5? C. ?? , ? ? 2 2?

? 5 14 ? D. ? ? , ? ? 2 5?

【知识点】线性规划 E5 【答案】 【解析】A解析:画出约束条件所表示的平面区域可知,该区域是由点 所 围 成 的 三 角 形 区 域 ( 包 括 边 界 ),

,记点

,得





所以

的取值范围是

.故选择A.

5

【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形,目标函数可化为:

u?

y ?3 ?3 ? ?1,3? 连线的斜率的范围加 3 求得. x ?1 ,表示为可行域的点与点

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】8.已知变

量 x , y 满足

?x ? y ? 2 ? 0 3x ? y ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则u= x ?1 ?y ? 2 ? 0 ?
? 1 1? B. ? ? , ? ? ? 2 5?

的值范围是 (



? 5 14 ? A. ? , ? ?2 5 ?

? 1 5? C. ?? , ? ? 2 2?

? 5 14 ? D. ? ? , ? ? 2 5?

【知识点】线性规划 E5 【答案】 【解析】A解析:画出约束条件所表示的平面区域可知,该区域是由点 所 围 成 的 三 角 形 区 域 ( 包 括 边 界 ),

,记点

,得





所以

的取值范围是

.故选择A.

【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形,目标函数可化为:

u?

y ?3 ?3 ? ?1,3? 连线的斜率的范围加 3 求得. x ?1 ,表示为可行域的点与点

【数学文卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412) 】8.已知变量 x , y 满

6



?x ? y ? 2 ? 0 3x ? y ? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则u= x ?1 ?y ? 2 ? 0 ?

的值范围是 (



? 5 14 ? A. ? , ? ?2 5 ?

? 1 1? B. ? ? , ? ? ? 2 5?

? 1 5? C. ?? , ? ? 2 2?

? 5 14 ? D. ? ? , ? ? 2 5?

【知识点】线性规划 E5 【答案】 【解析】A解析:画出约束条件所表示的平面区域可知,该区域是由点 所 围 成 的 三 角 形 区 域 ( 包 括 边 界 ),

,记点

,得





所以

的取值范围是

.故选择A.

【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形,目标函数可化为:

u?

y ?3 ?3 ? ?1,3? 连线的斜率的范围加 3 求得. x ?1 ,表示为可行域的点与点

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考 ( 201501 ) 】 15 . 设 点 P ( x, y ) 满 足 条 件

?x ? 0 ? ?y ? 0 ? y ? 2x ? 2 ?

? , 点 Q( a, b) (a? 0,b

0满 ) 足


OP ? OQ ? 1 恒成立,其中 O 是坐标原点, 则 Q 点的轨迹所围成图形的面积是
【知识点】简单线性规划的应用.E5

1 【答案】 【解析】 2 解析:∵ OP ? OQ ? 1 ,∴ ax ? by ? 1 ,

7

∵作出点 P(x,y)满足条件

?x ? 0 ? ?y ? 0 ? y ? 2x ? 2 ?

的区域,如图,

OP ? OQ ? 1 即 ax ? by ? 1 ,
且点 Q(a,b)满足 OP ? OQ ? 1 恒成立,

x b y ? 只须点 P(x,y)在可行域内的角点处:A(1,0) ,B(0,2) ,a

? 1 成立即可,

? a ? ?1 ? ? ?a ? 1 1 ? ? ? b? 2 b ? 1 ? 2 ? ? a ? 0, b ? 0 ?a ? 0, b ? 0 ∴? ,即 ? ,
1 1 1 它表示一个长为 1 宽为 2 的矩形,其面积为: 2 ,故答案为 2 .
【思路点拨】由已知中在平面直角坐标系中,点 P(x,y) ,则满足 OP ? OQ ? 1 的点 Q 的

? ?a ? 1 ? ? 2b ? 1 ? a ? 0, b ? 0 坐标满足 ? ,画出满足条件的图形,即可得到点 Q 的轨迹围成的图形的面积.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】13.顶点在原点,经过圆 C:x ? y ? 2 x ? 2 2 y ? 0 的圆心且准线与 x 轴垂直
2 2

的抛物线方程为 . 【知识点】抛物线 圆 H3 H7 【答案】 【解析】 y ? 2 x
2

解析:因为圆的圆心坐标为

?1, ? 2 ? ,设抛物线方程为 y

2

? ax ,将圆心坐标代入得 a=2,
8

所以所求抛物线的方程为 y ? 2 x .
2

【思路点拨】 求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程, 再利用条件求待定的系 数即可.

14.设 x, y 满足约束条件:

? x, y ? 0 ? ? x ? y ? ?1 ? x? y ?3 ?

;则 z ? x ? 2 y 的取值范围



【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】[-3,3] 解析: 作出不等式组表示的平面区域如图, 当动直线 z=x-2y 分别经过 A,B 两点时目标函数 取得最大值与最小值,又 A 坐标为(3,0),B 坐标为(1,2),分别代入目标函数得 z=3 和 z=-3, 所以 z ? x ? 2 y 的取值范围是[-3,3].

. 【思路点拨】由线性约束条件求目标函数的最值或值域问题,关键是正确地画出平面区域, 分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标, 即可解答. 【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】13.顶点在原点,经过圆 C:x ? y ? 2 x ? 2 2 y ? 0 的圆心且准线与 x 轴垂直
2 2

的抛物线方程为 . 【知识点】抛物线 圆 H3 H7 【答案】 【解析】 y ? 2 x
2

解析:因为圆的圆心坐标为
2

?1, ? 2 ? ,设抛物线方程为 y

2

? ax ,将圆心坐标代入得 a=2,

所以所求抛物线的方程为 y ? 2 x . 【思路点拨】 求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程, 再利用条件求待定的系

9

数即可.

14.设 x, y 满足约束条件:

? x, y ? 0 ? ? x ? y ? ?1 ? x? y ?3 ?

;则 z ? x ? 2 y 的取值范围



【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】[-3,3] 解析: 作出不等式组表示的平面区域如图, 当动直线 z=x-2y 分别经过 A,B 两点时目标函数 取得最大值与最小值,又 A 坐标为(3,0),B 坐标为(1,2),分别代入目标函数得 z=3 和 z=-3, 所以 z ? x ? 2 y 的取值范围是[-3,3].

. 【思路点拨】由线性约束条件求目标函数的最值或值域问题,关键是正确地画出平面区域, 分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标, 即可解答. 【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】13.顶点在原点,经过圆 C:x ? y ? 2 x ? 2 2 y ? 0 的圆心且准线与 x 轴垂直
2 2

的抛物线方程为 . 【知识点】抛物线 圆 H3 H7 【答案】 【解析】 y ? 2 x
2

解析:因为圆的圆心坐标为
2

?1, ? 2 ? ,设抛物线方程为 y

2

? ax ,将圆心坐标代入得 a=2,

所以所求抛物线的方程为 y ? 2 x . 【思路点拨】 求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程, 再利用条件求待定的系 数即可.

10

14.设 x, y 满足约束条件:

? x, y ? 0 ? ? x ? y ? ?1 ? x? y ?3 ?

;则 z ? x ? 2 y 的取值范围



【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】[-3,3] 解析: 作出不等式组表示的平面区域如图, 当动直线 z=x-2y 分别经过 A,B 两点时目标函数 取得最大值与最小值,又 A 坐标为(3,0),B 坐标为(1,2),分别代入目标函数得 z=3 和 z=-3, 所以 z ? x ? 2 y 的取值范围是[-3,3].

. 【思路点拨】由线性约束条件求目标函数的最值或值域问题,关键是正确地画出平面区域, 分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标, 即可解答. 【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

?3x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 考 (201501) 】 10. 设 x, y 满足约束条件 ? , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0)
3 2 ? 的最大值为 12,则 a b 的最小值为
25 A. 6 8 B. 3 11 C. 3

D.4

【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.E5 E6 【答案】 【解析】D 解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,

11

当直线 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 取得最大 12, ∴ 4a + 6b = 12 ? 2a 3b = 6.

3 2 骣 3 2 2a + 3b + =琪 琪+ ? a b 6 ∴a b 桫

1 骣 6b 6a b a b a 琪 12 + + =2+ + ? 2 2 ? 琪 6桫 a b a b a b

4


3 2 + 即 a b 的最小值为 4.故答案为:4.
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域,根据目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 的最大值 为 12 得到 2a+3b=6,再用乘积进而用基本不等式解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

?3x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 考 (201501) 】 10. 设 x, y 满足约束条件 ? , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0)
3 2 ? 的最大值为 12,则 a b 的最小值为
25 A. 6 8 B. 3 11 C. 3

D.4

【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.E5 E6
12

【答案】 【解析】D

解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,

当直线 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 取得最大 12, ∴ 4a + 6b = 12 ? 2a 3b = 6.

3 2 骣 3 2 2a + 3b + =琪 琪+ ? a b 6 ∴a b 桫

1 骣 6b 6a b a b a 琪 12 + + =2+ + ? 2 2 ? 琪 6桫 a b a b a b

4


3 2 + 即 a b 的最小值为 4.故答案为:4.
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域,根据目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 的最大值 为 12 得到 2a+3b=6,再用乘积进而用基本不等式解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
?x ? y ? 3 ? ?1 ? x ? y ? 2x y x (201501) 】4.若实数 , 满足线性约束条件 ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 (



A. 0 B. 4 C. 5 D. 7 【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】C
?x ? y ? 3 ? ?1 ? x ? y ? 2x 解析:作出约束条件 ? 2 对应的可行域, (如图阴影) ,变形目标函数可得
13

y=-2x+z,经平移直线可知,当斜率为-2 的直线(红色虚线)经过点 A(2,1)时,目标 函数取最大值 z=2× 2+1=5,所以选 C

. 【思路点拨】 可先作出线性约束条件对应的可行域, 再结合目标函数的几何意义数形结合解 答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
?x ? y ? 3 ? ?1 ? x ? y ? 2x y (201501) 】4.若实数 x , 满足线性约束条件 ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 (



A. 0 B. 4 C. 5 D. 7 【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】 【解析】C
?x ? y ? 3 ? ?1 ? x ? y ? 2x 解析:作出约束条件 ? 2 对应的可行域, (如图阴影) ,变形目标函数可得

y=-2x+z,经平移直线可知,当斜率为-2 的直线(红色虚线)经过点 A(2,1)时,目标 函数取最大值 z=2× 2+1=5,所以选 C

.

14

【思路点拨】 可先作出线性约束条件对应的可行域, 再结合目标函数的几何意义数形结合解 答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

( 201501 ) 】 5. 已知点 P ( x, y ) 在不等式组

?x ? 2 ? 0 ? ?y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

表示的平面区域上运动,则

z ? x ? y 的取值范围是(
A.

) C.

? ?2, ?1?

B.

? ?2,1?

? ?1, 2?
?x ? 2 ? 0 ? ?y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

D.

?1, 2?

【知识点】简单线性规划.E5

【答案】 【解析】C

解析:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部,

其中 A(2,0) ,B(2,1) ,C(0,1) 设 z = x - y ,将直线 l: z = x - y 进行平移, 观察 x 轴上的截距变化,当 l 经过点 C 时,z 达到最小值;l 经过点 A 时,z 达到最大值

- 1, 2 ∴z 最小值=F(0,1)=﹣1,z 最大值=F(2,0)=2,即 z = x - y 的取值范围是 ,故选:
C. 【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函 数 z = x - y 对应的直线进行平移,观察 x 轴上的截距变化,得出目标函数的最大、最小值, 即可得到 z = x - y 的取值范围.

[

]

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性

15

测试(201501)word 版】6.设 x, y 满足约束条件 是( ▲ ) 。 A. [1,5] B. [2,6]

?x ? 0 ? ?y ? x ?4 x ? 3 y ? 12 ?

x ? 2y ? 3 x ? 1 取值范围 ,则
D. [3,11]

C. [3,10]

【知识点】线性规划 E5 【答案】D【解析】解析:根据约束条件画出可行域,

2 ? y ? 1? x ? 2y ? 3 y ?1 k? ? 1? x ? 1 ,即为可行域的点到点 ? ?1, ?1? 的斜 x ?1 x ? 1 ,令 ∵目标函数为
率的范围问题,由图像可知:当直线 l 过

A? 0,4?

时, k 最大,此时目标函数最大为 11 ,

当直线 l 过

B ? 0,0 ?

时, k 最小,此时目标函数最小为 3.故选择 D.

【思路点拨】再根据约束条件画出可行域,利用几何意义求最值,只需求出当直线 l 过

A? 0,4?

时, k 最大,此时目标函数最大为 11 ,当直线 l 过

B ? 0,0 ?

时, k 最小,此时目标

函数最小为 3.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】4.若

x, y 满足约束条件
A.2 B. 4

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?x ? 3y ? 2 ?
C.

,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( D. ? 4



?2

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案】C

16

【解析】由

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?x ? 3y ? 2 ?

可行域知, z ? 2 x ? y 在(0,2)处取得最小值,z=2 ? 0-2=-2.

【思路点拨】根据可行域及目标函数的单调性确定在(0,2)处取得最小值求出。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性

测试(201501)word 版】15.若实数 x 、 y 满足 则实数 b 的值为 ▲ E5 。

?2 x ? y ? 0, ? ? y ? x, ? y ? ? x ? b, ?

且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,

【知识点】线性规划

9 【答案】 4 【解析】解析:由题得:b>0,

?2 x ? y ? 0, ? ? y ? x, ? y ? ? x ? b, ?

对应的可行域如图:

? y= ? x ? b ? ?2 x ? y=0

? b x= ? ? 3 ?? b 2b ? y= 2b ? B ( , ) ? 3 , ? 3 3 由图得,当目标函数过 B 时,z=2x+y 有最小

b 2b 9 9 2? ? ?3 b? 4 故答案为 4 . 3 3 值,所以 ,解得
【思路点拨】画出满足条件的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的 坐标,然后根据分析列出一个含参数 b 的方程组,消参后即可得到 b 的取值.

17

ab ?
E6 基本不等式

a?b 2

【数学理卷· 2015 届湖北省部分高中高三元月调考( 201501 ) 】 13. 设正数 a, b, c 满足

1 4 9 36 2b ? 3c ? ? ? ? a b c a ? b ? c ,则 a ? b ? c

.

ab ?
【知识点】基本不等式

a?b 2 E6

13 【答案】 6
1 4 9 36 ? ? ? a b c a ? b?c , 【解析】 :∵正数 a,b,c 满足
∴ ( a+b+c )

b 4a c 9a 4c 9b 1 4 9 b c 4 a 4 c 9 a 9b ? 14 ? 2 ? ? ? a b a c b c ? 36 a b c a a b c b c ( + + )=14+ + + + + + +2 +2
2b ? 3c 13 当且仅当 2c=3b=6a 时取等号.∴ a ? b ? c = 6 .
1 4 9 36 ? ? ? a b c a ? b?c , 【思路点拨】由于正数 a,b,c 满足

1 4 9 b c 4 a 4 c 9 a 9b 可得(a+b+c)( a + b + c )=14+ a + a + b + b + c + c ,再利用基本不等式的性质即可
得出.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】9.函数

y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在

2 1 ? 直线 m x ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m ? 0, n ? 0 ,则 m n 的最小值为(

)

A. 2 2

B.4

5 C. 2

9 D. 2

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用.E6
18

【答案】 【解析】D ∴函数

解析:∵x=﹣2 时,y=loga1﹣1=﹣1,

y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A (﹣2,﹣1) ,

∵点 A 在直线 mx+ny+2=0 上, ∴﹣2m﹣n+2=0,即 2m+n=2, ∵mn>0,

2 1 1 2n 2m ? 9 ? 2 1? 1? ? = ? 2m ? n ? ? ? ? ? ? 5 ? ? ?? m n 2 m n 2 m n ? ? ? ? 2 .故选 D. ∴m>0,n>0,
【思路点拨】根据对数函数的性质先求出 A 的坐标,代入直线方程可得 m、n 的关系,再利 用 1 的代换结合均值不等式求解即可.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

?3x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 考 (201501) 】 10. 设 x, y 满足约束条件 ? , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0)
3 2 ? 的最大值为 12,则 a b 的最小值为
25 A. 6 8 B. 3 11 C. 3

D.4

【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.E5 E6 【答案】 【解析】D 解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,

当直线 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 取得最大 12,
19

∴ 4a + 6b = 12 ? 2a 3b = 6.

3 2 骣 3 2 2a + 3b + =琪 琪+ ? a b 6 ∴a b 桫

1 骣 6b 6a b a b a 琪 12 + + =2+ + ? 2 2 ? 琪 6桫 a b a b a b

4


3 2 + 即 a b 的最小值为 4.故答案为:4.
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域,根据目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 的最大值 为 12 得到 2a+3b=6,再用乘积进而用基本不等式解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

?3x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 考 (201501) 】 10. 设 x, y 满足约束条件 ? , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0)
3 2 ? 的最大值为 12,则 a b 的最小值为
25 A. 6 8 B. 3 11 C. 3

D.4

【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.E5 E6 【答案】 【解析】D 解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,

当直线 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 取得最大 12,
20

∴ 4a + 6b = 12 ? 2a 3b = 6.

3 2 骣 3 2 2a + 3b + =琪 琪+ ? a b 6 ∴a b 桫

1 骣 6b 6a b a b a 琪 12 + + =2+ + ? 2 2 ? 琪 6桫 a b a b a b

4


3 2 + 即 a b 的最小值为 4.故答案为:4.
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域,根据目标函数 z ? ax ? by(a ? 0.b ? 0) 的最大值 为 12 得到 2a+3b=6,再用乘积进而用基本不等式解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 F F b 测试 (201501) word 版】 8. 已知双曲线 a 的左右焦点分别为 1 , 2 ,
| PF1 |2 P 为双曲线右支上的任意一点,若 | PF2 | 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范围是
( ▲ ) 。 A.

+? ? ?1,

B.

?1, 2 ?

C.

?1,

3? ?

D.

?1,3?
,所

【知识点】双曲线的性质 基本不等式 H6 E6 【答案】D【解析】解析:因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以

PF1 ? 2a ? PF2



| PF1 |2 | PF2 |

? PF2 ?

4a 2 4a 2 ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a PF2 PF2











PF2 ? 2a, PF1 ? 4a
D.

,可得 2a ? 4a ? 2c 解得 e ? 3 ,又因为双曲线离心率大于 1,故选择

PF1 ? 2a ? PF2 【思路点拨】因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 ,所以
2 2 | PF1 |2 ? PF ? 4a ? 4a ? 2 PF . 4a ? 4a ? 8a 2 2 PF2 PF2 | PF2 |

,解得

PF2 ? 2a, PF1 ? 4a

,再

利用

PF1 、 F1F2 、 PF2

之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版 】 13 . 函 数
1? x y? a ?1? a ?0 , ? a ? 1

的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

21

mx ? ny ?1 ? 0 ? mn ? 0?

1 1 ? 上,则 m n 的最上值为__________.

【知识点】指数函数 基本不等式 B6 E6 【答案】 【解析】 3 ? 2 2 解 析 : 因 为 点 A 坐 标 为 (1,2) , 则 有 m+2n=1 , 由 mn > 0 知 m > 0,n > 0 , 所 以

1 1 ? 1 1? 2n m ? ? ? ? ? ? m ? 2n ? ? 3 ? ? ? 3? 2 2 m n ?m n? m n .
【思路点拨】可利用 1 的代换,把所求的式子转化成基本不等式特征,利用基本不等式求最 值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版 】 13 . 函 数
1? x y? a ?1? a ?0 , ? a ? 1

的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ?1 ? 0 ? mn ? 0?

1 1 ? 上,则 m n 的最上值为__________.

【知识点】指数函数 基本不等式 B6 E6 【答案】 【解析】 3 ? 2 2 解 析 : 因 为 点 A 坐 标 为 (1,2) , 则 有 m+2n=1 , 由 mn > 0 知 m > 0,n > 0 , 所 以

1 1 ? 1 1? 2n m ? ? ? ? ? ? m ? 2n ? ? 3 ? ? ? 3? 2 2 m n ?m n? m n .
【思路点拨】可利用 1 的代换,把所求的式子转化成基本不等式特征,利用基本不等式求最 值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版 】 13 . 函 数
1? x y? a ?1? a ?0 , ? a ? 1

的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ?1 ? 0 ? mn ? 0?

1 1 ? 上,则 m n 的最上值为__________.

【知识点】指数函数 基本不等式 B6 E6 【答案】 【解析】 3 ? 2 2 解 析 : 因 为 点 A 坐 标 为 (1,2) , 则 有 m+2n=1 , 由 mn > 0 知 m > 0,n > 0 , 所 以

1 1 ? 1 1? 2n m ? ? ? ? ? ? m ? 2n ? ? 3 ? ? ? 3? 2 2 m n ?m n? m n .
22

【思路点拨】可利用 1 的代换,把所求的式子转化成基本不等式特征,利用基本不等式求最 值.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】14. 已知 b ? 0 ,直线 (b ? 1) x ? ay ? 2 ? 0 与直线 x ? b y ? 1 ? 0 互相垂直,则
2 2

的最小值

为__________. 【知识点】两直线位置关系 基本不等式 H2 E6 【答案】 【解析】2 解析:由两直线互相垂直可得斜率之积为-1,所以,因为 b 所以=b+,即最小为 2,故答案 为 2. 【思路点拨】由直线垂直可转换成代数关系,再运用基本不等式可解出答案.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】12.已 知 x ? 1 ,则函数

y ? 2x ?

4 2 x ? 1 的最小值为 a?b 2 E6

.

ab ?
【知识点】基本不等式 【答案】5

1 1 【解析】y=2x+2+ 2 x ? 1 ,y =(2x -1 )+ 2 x ? 1 + 3≥2+3=5,当且仅当 1 (2x -1 ) = 2 x ? 1 时,等号成立, 1 1 【思路点拨】y=2x+2+ 2 x ? 1 y =(2x -1 )+ 2 x ? 1 +3,利用基本不等式求得其最小值.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 F b 测试(201501)word 版】17.已知双曲线 a 的左右焦点分别为 1 ,
| PF1 |2 F2 , P 为双曲线右支上的任意一点,若 | PF2 | 的最小值为 8a ,则双曲线离心率的取值范
围是 ▲ 。 【知识点】双曲线的性质 基本不等式 H6 E6

23

【答案】

?1,3?【解析】解析:因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 PF1
| PF1 |2 | PF2 |
? PF2 ? 4a 2 4a 2 ? 4a ? 2 PF2 . ? 4a ? 8a PF2 PF2

? 2a ? PF2







, 当 且 仅 当

PF2 ? 2a, PF1 ? 4a


,可得 2a ? 4a ? 2c 解得 e ? 3 ,又因为双曲线离心率大于 1,故答案

?1,3? .

PF1 ? 2a ? PF2 【思路点拨】因为 P 为双曲线右支上的任意一点,所以 ,所以
2 2 | PF1 |2 ? PF ? 4a ? 4a ? 2 PF . 4a ? 4a ? 8a 2 2 PF2 PF2 PF2 ? 2a, PF1 ? 4a | PF2 | ,解得 ,再

利用

PF1 、 F1F2 、 PF2

之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word

1 1 ? 版】13.若 m,n ? 0,且m+2n=1 ,则 m n 的最小值为________.
【知识点】基本不等式 E6 【答案】 【解析】 3 ? 2 2 解 析 : 因 为

m, ? 0,且 n

+ m , 2

n所 =

1 以

1 1 ? 1 1? 2n m ? ? ? ? ? ? m ? 2n ? ? 3 ? ? ? 3? 2 2 m n ?m n? m n .
【思路点拨】可利用 1 的代换,把所求的式子转化成基本不等式特征,利用基本不等式求最 值.

E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】 (22)(本小题满分 12 分)

f ( x) ?
设函数

bx ? ax, e ln x 为自然对数的底数
2 2 2

(1)若函数 f(x)的图象在点 (e , f (e )) 处的切线方程为 3 x ? 4 y ? e ? 0 ,求实数 a,b
24

的值; (2)当 b=l 时,若存在
2 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ?

,使

f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的最小值

【知识点】导数的几何意义;导数的应用;不等式的有关知识. B11 B12 E8

1 1 ? 2 【答案】 【解析】(1)a=1,b=1;(2) 2 4e

.

f ?( x) ?
解析: (1)由已知得 x>0,x≠1,

b(ln x ? 1)

? ln x ?

2

?a
.



f ? e2 ? ?

be2 e2 b 3 f ? ? e2 ? ? ? a ? ? ? ae 2 ? ? 4 4 ,解之得 a=1,b=1. 2 2 且

f ?( x) ?
(2)当 b=1 时,

ln x ? 1

? ln x ?

2

? a ?? 1 ? ? 1 ? a ? ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? a ? ? ? ? ln x ? ln x 2 ? 4 = ? ln x ?

2

2

1 1 1 ? ? x ? e2 f ? ? x ?max ? ? a 4 所以当 ln x 2 时, .
而命题“若存在 “当
2 x?? ? e, e ? ?

2 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ?

,使

f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于


时,有

f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a

又当

2 x?? ? e, e ? ?

时,

f ? ? x ?max ?

1 1 ?a f ? ? x ?max ? a ? 4 4. ,所以 f ? x ? min ? 1 4”

问题等价于: “当

2 x?? ? e, e ? ?

时,有

a?


e2 1 1 2 2 2 f x ? f e ? ? ae ? ? ? ? ? e , e min ? 上为减函数,则 4 时, f ? x ? 在 ? 2 4,

? ?

a?


1 1 ? 2 2 4e .
2

1 ? ? ? 1 1? 1 1 ? a, ? a ? f ?? x? ? ? ? ? ? ? ? a ? e, e 2 ? a? ? 4 ? 上的值域为 ? ?. 4 时,由于 ? ln x 2 ? 4 当 在?
(Ⅰ)当 ?a ? 0 ? a ? 0 时,

f ? ? x? ? 0

在?

? e, e 2 ? ?

恒成立,故

f ? x?

在?

? e, e 2 ? ?

上为增函数,

于是

f ? x ?min ? f ? e ? ? e ? ae ?

1 4 ,不合题意.

25

(Ⅱ)当 ? a ? 0 即

0?a?

1 2 4 时,由 f ? ? x ? 的单调性和值域知,存在唯一 x0 ? ? e, e ? 使

f ? ? x? ? 0 f ? ? x? ? 0
a?
所以

,且满足:当

x ? ? e, x0 ?

时,

f ? ? x? ? 0

,f(x)为减函数;当

x ? ? x0 , e 2 ?

时,

,f(x)为增函数;所以

f ? x ?min ? f ? x0 ? ?

x0 1 ? ax0 ? 2 ln x0 4 , x0 ? ? e, e ? .

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 0?a? 2 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 ,与 4 矛盾.

1 1 ? 2 综上得 a 的最小值为 2 4e .
2 2 2 【思路点拨】 (1) 由点 (e , f (e )) 在切线方程为 3 x ? 4 y ? e ? 0 及
2 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ?

f ? ? e2 ? ?

b 3 ?a ? ? 4 4

得 a,b 的值; (2)命题“若存在 “当
2 x?? ? e, e ? ?

,使

f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于

时,有

f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a

” ,这样把问题转化为最值问题,然后利用

函数最值,以及导数,确定涉及到的函数的最值,进而求得实数 a 的最小值. 【典例剖析】本题第二小问题是具有代表性的问题,由于 所以命题“若存在
2 x?? ? e, e ? ?

x1 , x2 的取值相互之间没有影响,

2 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ?

,使

f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于
2 x?? ? e, e ? ?

“存在

时,有

f ? x ? ? f ? ? x ?max ? a

” ,又当

时,

f ? ? x ?max ?

1 ?a 4 ,

所以

f ? ? x ?max ? a ?

1 1 2 f ? x? ? ? ? x ? e , e ? ? 时,有 4 . 所以问题等价于: 4” “存在 ,所以只需

使

f ? x ? min ?

1 4 即可.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试 (201501) word 版】 10. 在等腰三角形 ABC 中,AB ? AC ,D 在线段 AC ,AD ? kAC ( k 为常数,且 0 ? k ? 1 ) , BD ? l 为定长,则 ?ABC 的面积最大值为( ▲ )

26

l2 2 A. 1 ? k

l 2 B. 1 ? k

l2 2(1 ? k 2 ) C.

l 2 D. 2(1 ? k )

【知识点】不等式 E8 【答案】C【解析】解析: :如图所示,以 B 为原点,BD 为 x 轴建立平面直角坐标系,



A? x, y ? , y ? 0
2


2

AB ? AC,
2

? AD ? kAC ? kAB
2

, 得

即 :

A
2

? D

2

, k

2 ? (x B ) ?l A

( ?y

2

), ?k

x 整?

2

y 理

y ?

? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2lx ? l 2 1? k 2

? ? x2 ?

2l l2 k 2l 2 x ? ? 1? k 2 1 ? k 2 ?1 ? k 2 ?2
? l2 2 ?1 ? k 2 ?

, 即

ym

a ? x

kl 1? k 2



BD ? l, ∴

?S

ABC max

?

?

1 ?S k

ABD max

?

l2 2(1 ? k 2 ) . .故答案为

【思路点拨】 如图所示, 以 B 为原点, BD 为 x 轴建立平面直角坐标系, 设

A? x, y ? , y ? 0
2



据题意得到? AD ? kAC ? kAB ,两边平方得到关系式,利用勾股定理化简后表示出 y , 变形后利用二次函数的性质求出 y 的最大值,进而确定出三角形 ABD 面积的最大值,根据

AD ? kAC 即可得出三角形 ABC 面积的最大值.
非选择题部分(共 100 分) 注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用. 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

E9 单元综合

27



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