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高一数学测试题—正弦、余弦定理与解三角形练习



正弦、余弦定理与解三角形
1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° ( B.a=1,b= 2 ,∠A=30° C.b=c=1, ∠B=45° ( B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA (



姓名:


2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100° 3、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA





4、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形



D.等腰直角三角形 )

5、 A、 C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根, 设 B、 那么角 B ( A.B>60°B.B≥60°C.B<60° D.B ≤60° 6、满足 A=45°,c= 6 ,a=2 的△ABC 的个数记为 m,则 a m 的值为 A.4 B.2 C.1 D.不定 ( )

7、如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β , α (α <β ),则 A 点离地面 的高度 AB 等于 A.
a sin ? sin ? sin( ? ? ? ) a sin ? cos ? sin( ? ? ? )

( B.
a sin ? ? sin ? cos( ? ? ? ) a cos ? sin ? cos( ? ? ? )



A

C.

D.

D

?

?

C

B

8、 两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南 则 A,B 之间的相距 A.a (km) B. 3 a(km)
7 12

偏东 60°, )

( C. 2 a(km) D.2a (km)

9、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA=

, 则Δ ABC 是______三角形.

10、在Δ ABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为 12π ,则外接圆的半径为_____. 11、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=
1 4

(a2+b2-c2),那么角∠C=______.
31 32

12、在Δ ABC 中,a =5,b = 4,cos(A-B)=

,则 cosC=_______.

13、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB; ③sinC=
sin A ? sin B cos A ? cos B

④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B).

14.已知函数 f ? x ?

? ? ? ? 2 cos ? ? x ? ? 6 ? ?

(其中 ?

? 0 x? R

)的最小正周期为 1 0 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值;(Ⅱ)设 ? 、 ?

? ? ? ? 0, ? ? ? 2 ?

,

5 ? 6 ? f ? 5? ? ? ? ? ? 3 ? 5 ?

,

5 ? 16 ? f ? 5? ? ? ? ? 6 ? 17 ?

,求 c o s ? ?

? ?

? 的值.

15.在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , C ?
? ?

?
3

, b ? 5 , ? A B C 的面积为 1 0 3 .

(Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求 s in ? A ?

? ?

? 的值. 6 ?

19.设函数 f ( x ) ?

2 2

cos(2 x ?

?
4

) ? s in

2

x

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)设函数 g ( x ) 对任意 x ? R ,有 g ( x ?
[ ? ? , 0 ] 上的解析式.

?
2

) ? g ( x ) ,且当 x ? [ 0 ,

?
2

] 时, g ( x ) ?

1 2

? f ( x ) ,求函数 g ( x ) 在

20.已知向量 m ? (s in x ,1), n ? ( 3 A c o s x , (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x ) 的图象向左平移

??

?

A 3
?

?? ? c o s 2 x )( A ? 0 ) ,函数 f ( x ) ? m ? n 的最大值为 6.

个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
5? 24 ] 上的值域.

1 2

倍,纵坐

12

标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图象.求 g ( x ) 在 [ 0 ,

高一数学测试题—参考答案
正弦、余弦定理与解三角形 一、BDBBD AAC
14 3 3

二、(9)钝角 (10)

(11)

?
4

(12)

1 8

三、(13)分析:化简已知条件,找到边角之间的关系,就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
cos 60 ? ? a
2

? c

2

? b

2

?

a

2

? c

2

? b

2

?

1 2

? a

2

? c

2

? ac ? ac

? (a ? c)

2

? 0 ,
2

2 ac
? a ? c

2 ac

. 由 a=c 及 B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由 b 2
sin B cos A sin A cos B b a
2 2

tan A ? a

2

tan B ?

b sin A cos A

?

a

2

sin B

?

?

?

sin sin

2 2

B A

? sin A cos A ? sin B cos B , ? sin 2 A ? sin 2 B ,
sin A ? sin B cos A ? cos B



A=B



cos B

A+B=90°,∴△ABC 为等腰△或 Rt△. ③? 由余弦定理: c ?
? ( a ? b )( c
2

sin C ?
2

,由正弦定理: c (cos A ? cos B ) ? a ? b , 再

a

2

? b

2

? c

2

? c?
2

a

2

? c

2

? b

? a ? b

2 bc
? a
2

2 ac
? a
2

? b ) ? 0 ,? c
2

? b , ? ? ABC 为 Rt ?
2

.

④由条件变形为 sin(

A ? B)

sin( A ? B )

?

a a

2 2

? b ? b

2 2

?

sin( A ? B ) ? sin( A ? B ) sin( A ? B ) ? sin( A ? B )

?

a b

2 2

,?

sin A cos B cos A sin B

?

sin sin

2 2

A B

? sin 2 A ? sin 2 B , ? A ? B 或 A ? B ? 90 ?

.

∴△ABC 是等腰△或 Rt△. 点评:这类判定三角形形状的问题的一般解法是:由正弦定理或余弦定理将已知 条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简考察边或角的关系,从而确定三角形的形状. 有时 一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理,请同学们试试看.



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