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2.3.1



复习
1.等差数列的定义:

?an? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式:
an ? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质:
⑴an ? am ? (n ? m)d .

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

情景1
一个堆放铅笔的 V形架,最下面第一 层放一支铅笔,往上 每一层都比它下面多 放一支,就这样一层 一层地往上放。最上 面一层放100支。求 这个V形架上共放着 多少支铅笔?

即求S=1+2+3+· · · · · · +100=?

高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工 匠家庭,幼时家境贫困, 但聪敏异常。上小学四 年级时,一次老师布置 了一道数学习题:“把 从1到100的自然数加起 来,和是多少?”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

求 S=1+2+3+· · · · · · +100=? 你知道高斯是 怎么计算的吗? 高斯算法:
首项与末项的和:
第2项与倒数第2项的和:

1+100=101,
2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和: ······

3+98 =101,

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 100 ? 5050. 于是所求的和是: 101? 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?
m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

情景2
如图,是一堆钢管,自上而下每层钢管数为 4、 5、6、7、8、9、10,求钢管总数。

即求:S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法:

还有其它算 法吗?

S=(4+10) +(5+9)+(6+8)+7 = 14×3+7=49.

S=4+5+6+7+8+9+10.
S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得:

倒序相加法

2S ? (4 ?10) ? (5 ? 9) ? (6 ? 8) ? (7 ? 7) ? (8 ? 6) ? (9 ? 5) ? (10 ? 4)

? (4 ? 10) ? 7.

(4 ? 10) ? 7 ?S ? ? 49. 2

两种求和法 :

高斯算法
倒序相加法

探究
设等差数列?an ?的前n项和为Sn ,即Sn ? a1 ? a2 ? L ? an .
怎样求一般等差数列的前n项和呢?

Sn ? a1 ? a2 ? L ? an . Sn ? an ? an?1 ? L ? a1.
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an ? a1 )

? n(a1 ? an ).

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? L ? an ? a1

n( a1 ? an ) ? Sn ? . 2

思路2

Sn ? a1 ? a2 ? L ? an ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? L ? [a1 ? (n ? 1)d ]. Sn ? an ? an?1 ? L ? a1

? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? L ? [an ? (n ? 1)d ].
相加得: 2 S n ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? L ? (a1 ? an ) 1444444444444442 444444444444443
n个

? n(a1 ? an ).
n(a1 ? an ) ? Sn ? . 2

思路3

Sn ? a1 ? a2 ? L ? an ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? L ? [a1 ? ( n ? 1)d ].

Sn ? an ? an?1 ? L ? a1 ? [a1 ? (n ? 1)d ] ? [a1 ? (n ? 2)d ] ? [a1 ? (n ? 3)d ] ? L ? a1 .

相加得 2Sn ? [2a1 ? (n ?1)d ] ? n.

( n n ? 1) ? S n ? na1 ? d. 2

等差数列的前n项和公式
公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ? 1) d

公式2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

等差数列中五个基本量:a1、an、d、n、Sn之间有几个等量关系?

a1、an、d、n、Sn五个量中“知三求二”. (方程的思想)

公式记忆

—— 类比梯形面积公式记忆

( n a1 ? an ) Sn ? 2

( n n ?1) Sn ? na1 ? d 2

a1

n

an

举例
例1、计算:

(1)1 ? 2 ? 3 ? L (2)1 ? 3 ? 5 ? L

n(n ? 1) ? n; ? 2 2 ? n ? (2n ? 1);

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

? n(n ? 1) (3)2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n; (4)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? L ? (2n ? 1) ? 2n.
(4)解:原式 ? [1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ?1)] ? (2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n).
又解:原式 ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ? L ? [(2n ?1) ? 2n].

例2、 等差数列 ? 10, ?6, ?2, 2, L 前多少项的和是54? 解:设该等差数列为 ?an ? , 其前n项和是Sn ,
则a1 ? ?10, d ? ?6 ? ( ?10) ? 4, Sn ? 54. 根据等差数列前项和公式,得 n( n - 1) - 10n ? ? 4 ? 54 2 整理得 n2 ? 6n ? 27 ? 0 解得 n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去)
( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

因此,等差数列 - 10, - 6, - 2, 2, ? 前9项的和是54

注:本题体现了方程的思想.

例3、数列?an ? 为等差数列,若a1 ? a2 ? a3 ? 12,
a8 ? a9 ? a10 ? 75, 求 S10 .

10 ? 9 ? S10 ? 10a1 ? d ? 145. 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 12, 又解: ? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? 87. 由? ?a8 ? a9 ? a10 ? 75
Sn ?

?a1 ? a2 ? a3 ? 12, ?a1 ? d ? 4, ?a1 ? 1, 解: ?? ?? 由? ?a1 ? 8d ? 25 ?d ? 3. ?a8 ? a9 ? a10 ? 75

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

Q a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8,
?3(a1 ? a10 ) ? 87即(a1 ? a10 ) ? 29.

整体运算 的思想!

10(a1 ? a10 ) S10 ? ? 5(a1 ? a10 ) ? 5 ? 29 ? 145. 2

例4、在等差数列?an ? 中,

已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 .

解: a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36

? a2 ? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16 ? 18 ?
16(a1 ? a16 ) S16 ? ? 8(a1 ? a16 ) 2 ( n a ?a ) S ? ? 8 ?18 ? 144. 2
1 n n

Sn ? na1 ?

( n n ? 1) d 2

练习
1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和
与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通

项公式。
解: ? S4 ? 24, ? 4a1 ? 6d ? 24, ?? ? ?(5a1 ? 10d ) ? (2a1 ? d ) ? 27 ? S5 ? S2 ? 27 ? a1 ? 3, ?? ? an ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2n ? 1. ?d ? 2

2、已知等差数列?an ?中,a6 ? 20, 求S11 .
解: a6 ? 20 ? a1 ? a11 ? 2a6 ?
11(a1 ? a11 ) S11 ? ? 11a6 ? 220. 2

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 Sn ?

小结

1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )Sn ? na1 ? d 2

3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;已知首项、公差用

公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察, 灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求 a1+an的值. 4、数学方法:观察、尝试、归纳、类比等. 数学思想:类比思想、整体思想、方程思想等.

作业

课本46页A组 1、 2、3、4、5、6



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