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2012年广州高二数学水平测试试题(附答案)



秘密★启用前

2012 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,

用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 本次考试不允许使用计算器. 5. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题 1. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1,3} ,则 CU A ? ( A. ? B. {1,3} C. {2, 4,5} ) D.
4 3

) D. {1, 2,3, 4,5}

2. 已知点 P(3, ?4) 是角 ? 终边上一点,则 tan ? ? ( A. ?
4 3

B. ?

3 4

C.

3 4

3. 若直线 y ? ax ? 3 与直线 y ? ?2 x ? a 垂直,则实数 a 的值为( A. ?2 B. 2 C. ?



1 1 D. 2 2 4. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 9 的矩形框,不考虑焊接损耗,则需要铁丝的长度至少为 ( ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 3

5. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 P ,分别以 A 、 B 、 C 、 D 为圆 心,1 为半径作圆,在正方形 ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为 M (阴 影部分) ,则点 P 取自区域 M 的概率为( ) ? ? ? ? A. B. C. 1 ? D. 1 ? 2 4 4 2 6. 某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为( 1 1 1 A. B. C. D. 1 6 3 2 7. 函数 f ( x) ? x ?
2 的零点所在的区间为( x





1

? 1? A. ? 0, ? ? 2?

?1 ? B. ? ,1? ?2 ?

? 3? C. ?1, ? ? 2?

?3 ? D. ? , 2 ? ?2 ?

?1? 8. 已知等差数列 {an } 的首项为 4 ,公差为 4 ,其前 n 项和为 S n ,则数列 ? ? 的前 n 项和为( ? Sn ?



A.

n 2( n ? 1)

B.

1 2n(n ? 1)

C.

2 n( n ? 1)

D.

2n n ?1

???? ??? ? CD 9. 在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 ,则 AC ? ? (
A. ?2 B. 2 C. 4

) D. ?4

10. 设函数 f ( x) 的定义域为 R ,若存在与 x 无关的正常数 M ,使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 恒成立, 则称 f ( x) 为有界泛函. 则下面四个函数中,属于有界泛函的是( ① f ( x) ? 1 A. ①② 二、填空题 11. 已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, 2) ,则函数 f ( x) 的 定义域为 .
i=1,S=0


x x ? x?2 D. ②④
2

② f ( x) ? x 2 B. ③④

③ f ( x) ? 2 x sin x C. ①③

④ f ( x) ?

开始

1 1 1 12. 如图给出的是计算 S ? 1 ? ? ? ? ? 值的一个程序框图,当 2 3 n 程序结束时, n 的值为 .

i<2013?




输出 S

13. 已知 ?ABC 的三个顶点坐标分别是 A(2, 4, 0) , B(2, 0,3) ,
C (2, 2, z ) ,若 ?C ? 90? ,则 z 的值为

1 S=S + i
结束

.
i=i+1

x?3 ? ? 14. 设实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是 ?x ? y ? 4 ? 0 ?

.

三、解答题 15. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(3,1) , C (1,0) . (1)求以点 C 为圆心,且经过点 A 的圆 C 的标准方程; (2)若直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 9 ? 0 ,判断直线 l 与(1)中圆 C 的位置关系,并说明理由.

2

16. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x, x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

?? 6 ?? ? ? ?? ? (2)若 f ? ? ? ? ? , ? ? ? 0, ? ,求 f ? 2? ? ? 的值. 3? 5 3? ? ? 2? ?

17. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 N 名学生作为样本,得到这 N 名学 生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: 分组 [3,6) [6,9) [9,12) [12,15) 合计 频数 10 n 4 2 N 频率 m p q 0.05 1
3 6 9 12 15 次数 a 频率/组距

(1)求出表中 N , p 及图中 a 的值;

(2)在所给样本中,从参加社区服务的次数不少于 9 次的学生中任选 2 人,求至少有一人参加 社区服务次数在区间 [12,15] 内的概率.

18. 如图, AB 是 ? O 的直径,点 C 是 ? O 圆周上不同于 A 、B 的任意一点,PA ? 平面 ABC ,点 E 是

AB 线段 PB 的中点,点 M 在 ? 上,且 MO / / AC .
(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)求证:平面 EMO / / 平面 PAC .

P C A M E B

O

3

19. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? ? ?2n (n ? N * , ?为常数) ,且 a1 , a2 ? 2 , a3 成等差数列.
n2 9 (1) ? 的值; (2) 求 求数列 {an } 的通项公式; (3) 设数列 {bn } 满足 bn ? , 求证:bn ? . an ? 3 16

20. 设 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 ( x ? R) . (1)若函数 f ( x) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值.

4

2012 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题 1-5 CADBC 二、填空题
+? 11. ? 0, ?

6-10 BDADB

12. 2012

13. 4 或﹣1

14.[8,34]

三、解答题
2 15.解: (1)依题意可设圆 C 的标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 0 ? ? r 2 2

因为圆 C 经过 A 点,将 A 点坐标代入标准方程,即 ? 3 ? 1? ? ?1 ? 0 ? ? r 2 ,得 r ? 5
2 2

所以圆 C 的标准方程为: ? x ? 1? ? y 2 ? 5
2

(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 16.(1)

1? 2? 0 ? 9 1 ? ( ?2)
2 2

?

10 5

? 2 5 ? r ,故直线 l 与圆 C 相离。

?1 ? 3 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? ? sin x ? cos x ? ?2 ? 2 ? ?

? ? ? ? ? 2 ? ? cos sin x ? sin cos x ? 3 3 ? ? ?? ? =2sin ? x ? ? 3? ?
所以 T ?
2? ? 2? 1

?? ? ?? 6 3 ? ? (2)∵ f ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? 3? 3 3? 5 5 ? ?
4 ? ?? 又∵ ? ? ? 0, ? ,∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 5 ? 2?

?? ? ?? 4 3 48 ? ? ? f ? 2? ? ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? 2sin 2? ? 2 ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3? 3 3? 5 5 25 ? ?
17.(1) N ? 2 ? 0.05 ? 40
n ? N ? 1 0? 4 2 ? ? 4 0 ? 0? 4 2 ? 1 ? 24

p ? n ? N ? 4 ?4 0 ? 0 . 6 组距=6﹣3=3 2 0

∴ a ? p ? 3 ? 0.20

(2)设在区间[9,12)的四名同学的名称为 A1,A2,A3,A4;区间[12,15]的两名同学的名称为 B1,B2
5

在不低于 9 次的同学共有以上 6 人,任选 2 人的情况有:{A1,A2};{A1,A3};{A1,A4};{A1,B1}; {A1,B2}; 2,A3}; 2,A4}; 2,B1}; 2,B2}; 3,A4}; 3,B1}; 3,B2}; 4,B1}; 4,B2}; 1,B2} {A {A {A {A {A {A {A {A {A {B 共 15 种情况, 其中至少有一人在区间[12,15]的同学有: 1,B1}; 1,B2}; 2,A3}; {A2,B1}; 2,B2}; {A {A {A ; {A {A3,B1};{A3,B2};{A4,B1};{A4,B2};{B1,B2}共 9 种情况, 故 P=9÷ 15=0.6 18.(1)证明:∵ PA ? 平面ABC , BC ? 平面ABC ∴ PA ? BC ∵ AB 是圆 O 的直径,且 C 在圆周上, ∴ ?ACB=90? ,即 AC ? BC 又∵ PA ? AC =A ,∴ BC ? 平面PAC (2)∵点 O 是圆心点,即是 AB 线段的中点,且点 E 是 PB 线段的中点 ∴ EO 是 ?PAB 的中位线,即 EO//PA 又∵ EO ? 平面PAC ,∴ EO//平面PAC ? ∵ MO//AC ,且 MO ? 平面PAC ,∴ MO//平面PAC ? 又∵ EO ? 平面EOM , MO ? 平面EOM ,且 EO ? MO=O ∴ 平面EOM//平面PAC 19.(1)∵ a1 , a2 +2 , a3 成等差数列,∴ 2 ? a2 +2 ? =a1 +a3 (1) ∵ an +1 =an +? ? 2n n ? N ? ,那么 a2 =a1 +2? (2) 将(2)(3)代入(1) , ,得
2a2 +4=a1 +a2 +4? ? a2 +4=a1 +4? ? a1 +2? +4=a1 +4? ? 2? +4=4? ? 2? =4 ? ? =2

a3 =a2 +4? (3)

∴将 ??=2 代入 an +1 =an +? ? 2n ,得 an +1 =an +2n +1 ,即 an +1 ? an ? 2n +1
? a2 ? a1 ? 22 a3 ? a2 ? 23 a4 ? a3 ? 24 ?? an ? an ?1 ? 2n

以上列等式的左边叠加得 a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? an ? a1
6

以上列等式的右边叠加得 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?
2 3 4 n

22 ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2

? 2n ?1 ? 4

即 an ? a1 ? 2n ?1 ? 4 ,又∵ a1 ? 1 ,∴ an ? 2n ?1 ? 4 ? a1 ? 2n ?1 ? 3 检验知 a1 ? 21?1 ? 3 ? 1 也成立,故通项公式为 an ? 2n ?1 ? 4 ? a1 ? 2n ?1 ? 3 (2)∵ bn ?
n2 n2 n2 ? n ?1 ? n ?1 ? 0 an ? 3 2 ? 3 ? 3 2
2 2 2

? n ? 1? n2 ? n ? 1? 2n?1 ? n ? 1? b ? n ?1 ? n ?1?1 ? n ?1 ? n ?1?1 ? 2 ? bn 2 2 2 n 2n 2
2 2

1 ? n ? 1? 1 ? n ?1? 1 ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1? 2 2 2 ? n ? 2 ?n ? n
1 ?1 ? ∵ ? ? ? 1? 在 n ? N ? 上单调递减, 2 ?n ?
2

2

b 1 ?1 ? 且当 n ? 2 时, ? ? ? 1? ? 1 ,即 n ?1 ? 1 ,∴ b1 ? b2 ? b3 2 ?n ? bn b 1 ?1 ? 当 n ? 3 时, ? ? ? 1? ? 1 ,即 n ?1 ? 1 ,∴ b3 ? b4 ? b5 ? ? 2 ?n ? bn
2

2

可知数列 ?bn ? 中 b3 为最大项,而 b3 ? ∴ bn ?
9 16

32 9 ? , 3?1 16 2

20.(1)因为 f ( x) 是偶函数,所以 f ( x) ? f (? x) 即 x2 ? x ? a ? 1 ? ? ? x ? ? ? x ? a ? 1
2

整理得 x ? a ? ? x ? a ,即 x ? a ? x ? a ,两边都平方,得
x 2 ? 2ax ? a 2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ,再次整理得 4ax ? 0

因为 x ? 0 不恒成立,故 a ? 0 (2)本题关键在于如何去掉绝对值的影响,由题意知
2 ?? 1? 3 ?? x ? ? ? ? a, x ? a ? x 2 ? x ? a ? 1, x ? a 2? 4 ? ?? f ( x) ? ? 2 ,则 f ( x) ? ? 2 ? x ? x ? a ? 1, x ? a 1? 3 ? ?? ?? x ? 2 ? ? 4 ? a, x ? a ? ??

7

(1)当 a ?

1 时, f ( x) 在区间 [a, ??) 上单调递增,其最小值为 f (a) ? a 2 ? 1 2
?1? 3 其最小值为 f ? ? ? ? a ?2? 4
2

1? ?1 ? ? 在区间 ? ??, ? 上单调递减,在 ? , a ? 上单调递增, 2? ?2 ? ?

1 ? 1? ?1? ?3 ? f (a) ? f ? ? ? a 2 ? 1 ? ? ? a ? ? a 2 ? a ? ? ? a ? ? ? 0 4 ? 2? ?2? ?4 ?

?1? 3 所以 f ( x) 在 R 上的最小值为 f ? ? ? ? a ?2? 4

(2)当 ?

1 1 ? a ? 时, f ( x) 在区间 [a, ??) 上单调递增,其最小值为 f (a) ? a 2 ? 1 2 2

在区间 ? ??, a ? 上单调递减,其取值范围为 ? f (a ), ?? ? , 即 f ( x) 在 R 上的最小值为 f (a) ? a 2 ? 1 又因为 ?
1 1 1 5 ? a ? ,所以 1 ? f (a) ? a 2 ? 1 ? ? 1 ? 2 2 4 4

1? 1 ? ? 1 ? (3)当 a ? ? , f ( x) 在区间 ? a, ? ? 上单调递减,在 ? ? , ?? ? 上单调递增, 2? 2 ? ? 2 ?

? 1? 3 其最小值为 f ? ? ? ? ? a ? 2? 4

f ( x) 在区间 ? ??, a ? 上单调递减,其取值范围为 ? f (a ), ?? ? ,

其中 f (a) ? a 2 ? 1

3 1? ? 1? ? 又因为 f ? ? ? ? f (a ) ? ? a ? ? a 2 ? 1? ? ? ? a ? ? ? 0 , 4 2? ? 2? ?

2

? 1? 3 即 f ? ? ? ? ? a 为最小值 ? 2? 4

综上所述,
1 3 时, f ? x ? min ? ? a 2 4 1 1 (2)当 ? ? a ? 时, f ( x) min ? a 2 ? 1 2 2 1 3 (3)当 a ? ? , f ? x ? min ? ? a 2 4

当(1)当 a ?

8



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