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1.2.2 函数的表示法 第二课时



1.2.2 函数的表示法 第二课时 第二课时 分段函数及映射

[读教材· 填要点] 1.分段函数 如果函数 y=f(x),x∈A,根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围,有着------------------, 则称这样的函数为分段函数. 2.映射 设 A、 B 是两个非空的集合, 如果按某一个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的---------

-, 在集合 B 中都有---------的元素 y 与之对应,那么就称对应----------为从集合 A 到集合 B 的一 个映射. [小问 题· 大思维] 1.分段函数中,分几段就是几个函数,对吗?
?x+1 x≥1 ? 2.函数 y=? 的定义域是什么? ?x-1 x<0 ?

3.函数与映射有哪些联系与区别?

分段函数求值问题 x+1, x≤-2, ? ?2 [例 1] 已知函数 f(x)=?x +2x, -2<x<2, ? ?2x-1, x≥2. 5 求 f(-5),f(- 3),f(f(- ))的值. 2

在本例中,若 f(a)=3,则 a 为何值?

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解决分段函数问题,应注意以下两点: (1)给定自变量求函数值时,应根据自变量所在的范围,利用相应的解析式直接求值; (2)若给函数值求自变量,应根据每一段的解析式分别求解,但应注意要检验求得的值 是否在相应的自变量取值范围内.
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? ?3x, -1≤x≤1, 1.已知 f(x)=? 2 求 f(f(1))的值. ?x -4x+6, 1<x<5, ?

分段函数的应用 [例 2] 某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地运行到 260 km 处的 B 地,在 B 地停留 1.5 h 后, 再以 65 km/h 的速度返回 A 地, 试将汽车离开 A 地后行驶的路程 s 表示为时间 t 的函数. ————— —————————————

?1?从实际问题中抽象出函数模型,除了考虑函数解析式自身的限制条件,还要注意实 际问题对自变量取值范围的限制. ?2?求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同的定义域写出相应的函数解 析式,最后合并. ?3?最后应把数学问题转化到实际问题中.

2.如图所示,已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm, 腰长为 2 2 cm, 当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯 形 ABCD 有公共点) 时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 关 于 x 的函数解析式,并画出大致图象. 映射概念及应用 [例 3] 下列对应是 A 到 B 的映射的有( )

1-x ①A=R,B=R,f:x→y= ;②A={2012 年伦敦奥运会的火炬手},B={2012 年伦 x+1 敦奥运会的火炬手的体重},f:每个火炬手对应自己的体重;③A={非负实数},B=R,f: x→y=± x. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
[来源:Zxxk.Com]

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判断一个对应是否为映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合 A 中每一个元素 在集合 B 中是否均有对应元素.若有,看对应元素是 否唯一;集合 B 中有剩余元素不影响映 射的成立.说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可.
[来源:Z§xx§k.Com]

3.下列集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( A.A=B=N*,对应法则 f:x→y=|x-3|

)

?1,x≥0, ? B.A=R,B={0,1},对应法则 f:x→y=? ?0,x<0 ?

C.A=B=R,对应法 则 f:x→y=± x 1 D.A=Z,B=Q,对应法则 f:x→y= x
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某农户计划建一矩形羊圈,现有可作为围墙的材料总长度为 100 米,求羊圈的面积 S 与长 x 的函数关系.

1.以下几个论断: ①从映 射角度看,函数是其定义域到值域的映射; ②函数 y=x-1,x∈Z 且 x∈(-3,3]的图象是一条线段; ③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

④若 D1,D2 分别是分段函数的两个不同对应关系的值域,则 D1∩D2=?. 其中正确的论断有( A.0 个 B.1 个
2

) C.2 个 D.3 个
[来源:学科网 ZXXK]

x +1,x≤1 ? ? 2.设函数 f(x)=?2 ,则 f(f(3))=( ,x>1 ? ?x 1 A. 5 B.3 2 C. 3 13 D. 9 )

)

3.下列图形是函数 y=x|x|的图象的是(

4.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过 100 千米,票价是每千米 0.5 元;如果超过 100 千米,超过部分按每千米 0.4 元定价,则客运票价 y(元)与行程 x(千米)之 间的函数关系式是________. 5.已知从集合 A 到集合 B 的映射是 f1:x→2x-1,从 B 到 C 的映射是 f2:y→ 则从 A→C 的映射为________. 6.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距 d 是车速 v( 公里 /小时 ) 的平方与车身长 S( 米 ) 的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一 半.现假定车速为 50 公里/小时,车距恰好等于车身长,试写出 d 关于 v 的函数关系式(其 中 S 为常数).
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1 , 1+y2

一、选择题 1.下列集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是映射的是( A.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1,},f:A 中的数开方 C.A=Z,B=Q,f:A 中的数取倒数 D.A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值
? ?x<0?, ?10, 2.已知 f(x)=? 则 f(f(-7))的值为( ?10x, ?x≥0? ?

)

)

A.100

B.10

C.-10 D.-100 )

3.给出下列四个对应,其中是映射的是(

?b ?a≥b? ? 4.若定义运算 a⊙b=? ,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是( ?a ?a<b? ?

)

A.(-∞,1] B.(-∞,1)C.(-∞,+∞) D.(1,+∞) 二、填空题 x+2, x≤-1, ? ?2x, -1<x<2, 5.已知函数 f(x)=? x ? ? 2 , x≥2,
2

若 f(a)=3,则 a 等于________.

6.设集合 A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},点(x,y)在映射 f:A→B 的作用下对应的点是 (x-y,x+y),则 B 中点(3,2)对应的 A 中点的坐标为________. 7.已知 y=f(x)的图象如图所示:则 f(x)的定义域为________,值域 为________. 8.规定:区间[m,n]的长度为 n-m(n>m).设集合 A=[0,t](t>0), 集合 B=[a,b](b>a),从集合 A 到集合 B 的映射 f:x→y=2x+t,若集合 B 的长度比集 合 A 的长度大 5,则实数 t=________.

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