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山西省大同一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试 理



2013~2014 学年度第一学期期末试卷 高 二 数 学(理)

第Ⅰ卷

客观卷(共 36 分)

一、选择题(共 12 小题,每题 3 分,共 36 分) 1.设 p, q 是两个命题: p : log 1 (| x | ?3) ? 0,q : x 2 ?
2

5 1 x ? ? 0

,则 p 是 q 的 6 6

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.?p:? x0∈R,sin x0≥1 C.?p:? x0∈R,sin x0>1 3.下列命题:

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B. ?p:? x∈R,sin x≥1 D. ?p:? x∈R,sin x>1

2.已知命题 p:? x∈R,sin x≤1,则

→ → → → ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA= 0 ; ②若 a, b 共线,则 a 与 b 所在直线平行 → → → → ③对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中 x、y、z∈ R),则 P、A、B、C 四点共面. 其中不正确命题的个数是 A.0 B.1 1 B. 5
2 2

C.2 3 C. 5

D.3 7 D. 5

4.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是 A.1

5.方程 ( x ? y) ? ( xy ?1) ? 0 表示的曲线是 A.两条直线 B.一条直线和一双曲线 C.两个点 D.圆

6.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方 程为 A.y=± 2x B.y=±2x C.y=± 2 x 2 1 D.y=± x 2

x a

2

y b

2

2) 且与 7.过点 (?3,

x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点的椭圆的方程是 9 4
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 15 10

x2 y2 ? ?1 225 100

C.

x2 y 2 ? ?1 10 15
B.相交

D.

x2 y2 ? ?1 100 225
D.无法确定

8.以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是 A.相离 C.内切

9.已知 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,左、右焦点为 F1,F2,点 P 是△MF1F2 的内心,连 接 MP 并延长交 F1F2 于 N,则 A. |MP| 的值为 |PN|

x a

2

y b

2

a a2-b2

B.

b a2-b2

C.

a2-b2 b

D.

a2-b2 a

10.直线 x ? ky ? 3 与双曲线 A. 1 个 11.已知 F1,F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 只有一个公共点,则 k 的值有 9 4
C. 3 个 D.无数多个

B. 2 个

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点, M 为椭圆上一点, MF2 垂直于 x a 2 b2

轴,且 ?F 1MF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

x2 y 2 ? ? 1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是 12.已知点(4,2)是直线 l 被椭圆 36 9
A. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

第 II 卷

主观题(共 64 分)

二、填空题(共 4 小题,每题 3 分,共 12 分) 13.命题: “若 x ? 1, 则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是___________________________.
2

→ → → → → 14.平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,向量AB、AD、AA1两两的夹角均为 60°,且|AB|=1,|AD| → → =2,|AA1|=3,则|AC1|等于______. 15.设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是______.
2

x2 y 2 3 16.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k ? k ? 0? a b 2
的直线与 C 相交于 A, B 两点,若 AF ? 3FB ,则 k =______. 三、解答题(共 5 小题) 17. (本小题 8 分) 1 1 ?1 ? x 已知 c>0, 设命题 p: 函数 y=c 为减函数. 命题 q: 当 x∈? ,2?时, 函数 f(x)=x+ > x c ?2 ? 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围.

18. (本小题 10 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC=2,E 是 PC 的中点,作 EF⊥BP 交 BP 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

19.(本小题 10 分) 如图,四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1) 证明:PA⊥BD; (2) 若 PD=AD,求二面角 A?PB?C 的余弦值.

20. (本小题 12 分) 已知两定点 F1(- 2,0),F2( 2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2 的点 P 的轨迹是曲 线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)设过点(0,-1)的直线与曲线 E 交于 A,B 两点.如果|AB|=6 3,求直线 AB 的方程.

21. (本小题 12 分) 已知直角坐标平面内点 A( x, y) 到点 F1 (?1,0) 与点 F2 (1,0) 的距离之和为 4 . (1)试求点 A 的轨迹 M 的方程; (2) 若斜率为

1 3 的直线 l 与轨迹 M 交于 C 、 点 P(1, )为轨迹 M 上一点, 记直线 PC D 两点, 2 2

的斜率为 k1 ,直线 PD 的斜率为 k 2 ,试问: k1 ? k2 是否为定值?请证明你的结论.

高二数学 一、ACCDBC ACACCD
2

参考答案

二、13.若 x ? 1或x ? ?1 ,则 x ? 1 14.5 15.6 16. 2 1 5 1 1 三、17.若命题 p 为真,则 0<c<1,由 2≤x+ ≤ 知,要使 q 为真,需 <2,即 c> . x 2 c 2 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ;当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 2
? ? ? 1 综上可知,c 的取值范围是?c?0<c≤ 2 ? ? ?

或c≥1?.
? ?

? ?

18.证明:以 D 为坐标原点,射线 DA,DC,DP 分别为

x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设 DC=2
(1) 连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG.依题意得

A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1). 因为底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为(1,1,0) ,
→ → → → 且PA=(2,0,-2),EG=(1,0,-1).所以PA=2EG,这表明 PA∥EG.而 EG? 平面 EDB 且 PA?平面 EDB,所以 PA∥平面 EDB. → (2)依题意得 B(2,2,0),PB=(2,2,-2). →

DE=(0,1,1) ,故PB?DE=0+2-2=0,所以 PB⊥DE, 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD.
2 2 2

→ →

19. (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD.又 AD∩PD=D.所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2) 解:如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线

DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D?xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1).
→ → →

AB=(-1, 3,0),PB=(0, 3,-1),BC=(-1,0,0). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),
→ ? ?n?AB=0, 则? → ? ?n?PB=0.

?-x+ 3y=0, 即? ? 3y-z=0.

因此可取 n=( 3,1, 3).

→ ? ?m?PB=0, 设平面 PBC 的法向量为 m,则? ?m?→ BC=0. ?

可取 m=(0,-1,- 3),

-4 2 7 2 7 则 cos〈m,n〉= =- .故二面角 A?PB?C 的余弦值为- . 7 7 2 7 20.(1)解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1(- 2,0),F2( 2,0)为焦点的双曲线 的左支,且 c= 2,a=1,易知 b=1,故曲线 E 的方程为 x -y =1(x<0). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组?
2 2 2 2

? ?y=kx-1, ?x -y =1, ?
2 2

消去 y,得(1-k )x +2kx-2=0,又已知直线与双曲线左支交于两点 A,B,有

?Δ = k + -k ? 2k <0, ?x +x =1- -k -2 ? ?x x =1-k >0,
1-k ≠0,
2 1 2 2 1 2 2 2

2

2

, 解得- 2<k<-1.

又∵|AB|= 1+k ?|x1-x2|= 1+k ? = 1+k ? 依题意得 2
2

2

x1+x2
+k
2

2

-4x1x2 -k
2 2

? -2k2?2-4? -2 =2 ?1-k ? 2 1-k ? ?
+k
2

-k

2


2

-k -k
2 2

2

=6 3,整理后得 28k -55k +25=0,

4

5 5 5 5 2 2 ∴k = 或 k = ,又- 2<k<-1,∴k=- ,故直线 AB 的方程为 x+y+1=0. 7 4 2 2 21.解: (Ⅰ) 由题知 AF 1 ? AF 2 ?4 , F 1 F2 ? 2 则 AF 1 ? AF 2 ? F 1 F2
2 2 2

由椭圆的定义知点 A 轨迹 M 是椭圆其中 a ? 2, c ? 1 .因为 b ? a ? c ? 3 ,

所以,轨迹 M 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
1 x ? b , C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) 联立直线 l ? 的方程与 椭圆方程 2

(2)设直线 l 的方程为: y ?

1 ? y ? x ? b ?? (1) ? ? 2 得: ? 2 2 ? x ? y ? 1?? (2) ? 3 ?4
2 2 (1)代入(2)得: 3 x ? 4( x ? b) ? 12 化简得: x ? bx ? b ? 3 ? 0
2 2

1 2

当 ? ? 0 时,即, b ? 4(b ? 3) ? 0 也即, b ? 2 时,直线 l ? 与椭圆有两交点,
2 2

由韦达定理得: ?

? x1 ? x 2 ? ?b
2 ? x1 ? x 2 ? b ? 3



3 1 3 3 1 3 x1 ? b ? y2 ? x2 ? b ? 2 ? 2 2, k ? 2 ? 2 2 所以, k1 ? 2 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 3 1 3 x1 ? b ? x2 ? b ? 2 ?2 2 ? x1 ? x 2 ? (b ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 3 ? 2b 则 k1 ? k 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x 2 ? 1)

?

b 2 ? 3 ? (b ? 2)(?b) ? 3 ? 2b ?0 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
1? ? ? 2. - a - b +3 q 2

所以, k1 ? k 2 为定值。

实验班数学参考答案 4 4 8 1. ( , , ) 3 3 3

3.解: (Ⅰ)解:当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 , 由?

? x 2 ? 4 y, ? y ? kx ? 1,

消 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 .
2

(1)

令 ? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 .代入方程(1),解 A(2,1),B(-2,1). 设圆心 P 的坐标为 (0, a ) ,由 PM ? PB ,得 a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 . 故过 M , A, B 三点的圆的方程为 x +(y-1) =4. (Ⅱ)证明:据题意 P 处的切线方程为 y-y0=k(x-x0) 由?
2 2

?

x2 ? 4 y

? y ? y0 ? k ( x ? x0 )

消y得
2

x2 ? 4kx ? (4kx0 ? x0 ) ? 0
1 x0 2

2

令 ?= (?4k )2 ? 4(4kx0 ? x0 ) =0 得 k=

(Ⅲ)证明:设 M ( x0 , ? 1) ,切点分别为 A( x1 , 由(Ⅱ)知 k MA ?

x12 x2 ) , B ( x2 , 2 ) , 4 4

x1 x , k MB ? 2 , 2 2
1 1 x12 x1 ? ( x ? x1 ) 即 y ? x1 x ? x12 , 2 4 4 2

切线 MA 的方程为 y ?

切线 MB 的方程为 y ?

1 1 x2 2 x2 ? ( x ? x2 ) 即 y ? x2 x ? x2 2 . 2 4 4 2

1 1 x0 x1 ? x12 . 2 4 1 1 2 又因为切线 MB 也过点 M ( x0 , ? 1) ,所以得 ?1 ? x0 x2 ? x2 . 2 4 1 1 2 所以 x1 , x2 是方程 ?1 ? x0 x ? x 的两实根, 2 4
又因为切线 MA 过点 M ( x0 , ? 1) ,所以得 ?1 ? 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2x0 , x1 x2 ? ?4 .

① ②

因为

MA ? ( x1 ? x0 ,

x12 x2 ? 1) MB ? ( x2 ? x0 , 2 ? 1) 4 4 , , x12 x2 ? 1)( 2 ? 1) 4 4 x12 x2 2 1 2 ? ( x1 ? x2 2 ) ? 1 16 4 x12 x2 2 1 ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? ? ? ? 1. 16 4

所以 MA ? MB ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? (

? x1 x2 ? x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 2 ?

? x1 x2 ? x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 2 ?

将 x1 ? x2 ? 2x0 , x1 x2 ? ?4 代入,得 MA ? MB ? 0 . 所以以 AB 为直径的圆恒过点 M .



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