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2.2.1综合法和分析法(三)


综合法和分析法(3)

【学习目标】 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点。 【重点难点】 1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点; 2. 学会用综合法和分析法证明实际问题 , 并理解分析法和综合法之间的内 在联系。 3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质。 【知识梳理】 复习 1 综合法是由 导 。 复习 2 分析法是由 索 。 知识点一 综合法和分析法的综合运用 问题 已知 ? , ? ? k? ? (k ? Z ) ,且
2 sin ? ? cos? ? 2sin ? ,
sin ? ? cos? ? sin 2 ? ,

?

求证

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 。 ? 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? )

用 P 表示已知条件、定义、 定理、公理等,用 Q 表示要 证明的结论,则上述过程可 用框图表示为 试试 已知 tan ? ? sin ? ? a, tan ? ? sin ? ? b ,求证 (a 2 ? b 2 ) 2 ? 16 ab 反思:在解决一些复杂、技巧性强的题目时,我们可以把综合法和分析法结 合使用 【例题解析】 例 1
A ? B ? 45? 。

新知

已知 A, B 都是锐角,且 A ? B ?

?
2

, (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,求证:

变式 小结

已知

1 ? tan ? ? 1 ,求证: 3sin 2? ? ?4cos2? 。 2 ? tan ?

牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提,本例 中,三角公式发挥着重要作用。

例2

在四面体 P ? ABC 中, PD ? ?ABC , AC ? BC , D 是 AB 的中点,求 证: AB ? PC

变式

如果 a, b ? 0 ,则 lg

a ? b lg a ? lg b 。 ? 2 2

小结 本题可以单独使用综合法或分析法进行证明。 【当堂练习】 A1. 设实数 a, b, c 成等比数列,非零实数 x, y 分别为 a 与 b , b 与 c 的等 差中项,求证 ?
a x c ?2。 y

B2. 已知 A ? B ? ? ,且 A, B ? k? ? (k ? Z ) ,求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 。
2

5 4

?

【归纳小结】 1. 直接证明包括综合法和分析法. 2. 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写; 或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知” (分析),从“已 知”推“可知” (综合) ,双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间 的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.

【知识拓展】 综合法是“由因导果” ,而分析法是“执果索因” ,它们是截然相反的两种 证明方法,分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种 方法各有所长,在解决问题的问题中,综合运用,效果会更好,综合法与 分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐,在历年的高考中 均有体现,成为高考的重点和热点之一。

【当堂检测】

1. 给出下列函数① y ? x ? x3 ,② y ? x sin x ? cos x, ③ y ? sin x cos x, ④ y ? 2 x ? 2? x , 其中是偶函数的有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. m、n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题( ). ①?
?? // ? ?? ? ? ? ? // ? ;② ? ?m?? ?? // ? ?m // ? ?m ? ? ?m // n ③? ? ? ? ? ;④ ? ? m // ? ?m // ? ?n ? ?

其中为真命题的是( ) A.①④ B. ①③ C.②③ 3. 下列结论中,错用基本不等式做依据的是( A.a,b 均为负数,则 ? ? 2 C. lg x ? log x 10 ? 2 4. 题:
a b b a

D.②④ ).

B.

x2 ? 2 x2 ? 1

?2

D. a ? R? ,(1 ? a)(1 ? ) ? 4

1 a

设 α、β、r 是互不重合的平面,m,n 是互不重合的直线,给出四个命

①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β ②若 α⊥r,β⊥r,则 α∥β ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β ④若 m∥α,n⊥α,则 m⊥n 其中真命题是 . 5. 已知 p : 2 x ? 3 ? 1, q : x( x ? 3) ? 0 , 则 p 是 q 的 【课后作业】 1.

条件。
1 a 1 b 1 c

已知 a, b, c ? R? , a, b, c 互不相等且 abc ? 1 .求证: a ? b ? c ? ? ? 。

2. 已知 a, b, c, d 都是实数,且 a2 ? b2 ? 1, c2 ? d 2 ? 1 ,求证: | ac ? bc |? 1 。


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