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平面与平面垂直的判定



修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久,必须 使水坝面和水平面成适当的角度;发射人 造地球卫星时,也要根据需要,使卫星的 轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.

1.半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部 分,其中的每一部分都叫做半平面.

半 平 面

半 平 面

2.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成

的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角
的棱,每个半平面叫做二面角的面.

棱为l,两个面分
别为?、?的二面角记

l
P

Q

为 ?-l-? , 或P-l-Q

?

?

3.画二面角 ⑴ 平卧式:

?
l
B

A

? ?
A l B A

?

B

⑵ 直立式:

?

?

一、二面角的平面角

? ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角

注意:
二面角的平面角必须满足:
(1)角的顶点在棱上

(2)角的两边分别在 两个面内 (3)角的边都要垂直于二面角的棱

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

S

N M D C

A

A

B

B

D
中点

C

端点

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

N M D C

E
A

G

F

B

中点

二、面面垂直的定义:
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
β

a
A α b

(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?

观察:为什么教室的门转到 任何位置时,门所在平面都 与地面垂直?

问题:
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

如果一个平面过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直.

三、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直. β 符号:
a?? a ??
a

?? ? ?

α

A

简记:线面垂直,面面垂直
线线垂直

线面垂直

面面垂直

例 1 如图 ,AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于圆 O 所在的
平面,C是圆O上不同于A、B的任意一点,求证:平 面PAC⊥平面PBC 证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC
PA ? 平面ABC ? ? BC ? 平面ABC ? BC ? AC ? PA ? BC PA ? AC ? A
P

C A
B

? BC ? 平面PAC
BC ? 平面PBC

O

? 平面PAC⊥平面PBC

探究: 如图所示:在Rt△ABC中,∠ABC=900 ,P为 △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,你能发现 哪些平面互相垂直,为什么?
P

PA ? 平面ABC PA ? 平面PAC

? 平面PAC⊥平面ABC
BC ? 平面PAB

同理:平面PAB⊥平面ABC
A B C

BC ? 平面PBC

? 平面PAB⊥平面PBC



小结
面面垂直.

1.二面角和二面角的平面角的概念.

2.直二面角

3.面面垂直的判定定理:

线面垂直,则面面垂直.

a ? ?? ? ?? ? ? a ??? 4.思想:转化;平面化



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