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高中数学立体几何专题(证明题)训练



立体几何专题训练 1.在四棱锥
P-ABCD 中,PA=PB.底面 ABCD 是 菱形,且∠ABC=60° .E 在棱 PD 上,满足 DE= 2PE,M 是 AB 的中点. (1)求证:平面 PAB⊥平面 PMC; (2)求证:直线 PB∥平面 EMC.

P E

A M B C

D

>2.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,D、E 分别是 CC1 和 AB1 的中点,点
F 在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3. (1)若 M 为 AB 中点,求证:BB1∥平面 EFM; (2)求证:EF⊥BC。

3. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , P 分别是 BC, A1D1 的中点,M、N
AE, CD1 的中点, AD ? AA1 ? a, AB ? 2a
(1)求证: MN // 面 ADD1 A 1 (2)求三棱锥 P ? DEN 的体积

分别是

4

如图 1,等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=AD, ? ABC= 60 ,E 是 BC 的中点,如图 2,
?

将三角形 ABE 沿 AE 折起,使平面 BAE ? 平面 AECD,F.P 分别是 CD,BC 的中点, (1)求证:AE ? BD (2)求证:平面 PEF ? 平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC,并说明理由。 A D B

B

E

C

A

P

D F

E

C

5,如图,

ABCD 为矩形,CF⊥ 平面 ABCD,DE⊥ 平面 ABCD,

AB=4a,BC= CF=2a, P 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PCF⊥ 平面 PDE; (2)求四面体 PCEF 的体积. E F

D A P B

C

6 如图,等腰梯形 ABEF 中, AB // EF , AB =2,
AD ? AF ? 1 , AF ? BF , O 为 AB 的中点,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直. (Ⅰ )求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ )设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (Ⅲ )求三棱锥 C ? BEF 的体积.
C

D O

B

M E

A

F

7 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, ?ABC ? 900 , E 、 F 分别为 AC1 、 B1C1 的中点, D 为 1
棱 CC1 上任一点. (Ⅰ )求证:直线 EF ∥平面 ABD ;(Ⅱ )求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1B1

A B

C

D

A1

E F B1

C1

8 已知正六棱柱 ABCDEF ? A B1 C1 D E1 F 的所有棱长均为 2,G 1 1 1
为 AF 的中点。 (1)求证: F G ∥平面 BB1 E1 E ; 1 (2)求证:平面 F AE ⊥平面 DEE1 D1 ; 1 (3)求四面体 EGFF1 的体积。

9 如图① E , F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点, ?B ? 90? ,沿 EF 将三 , 角形 ABC 折成如图② 所示的锐二面角 A ? EF ? B ,若 M 为线段 AC 中点.求证: 1 1 (1)直线 FM // 平面 A1 EB ;

(2)平面 A FC ? 平面 A BC . 1 1



A1
E F M E B B
图①

F C



图②

10 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB1, AC1 ? 平面 A1 BD, D 为 AC 的中
点. (Ⅰ)求证: B1C // 平面 A BD ; 1 (Ⅱ)求证: B1C1 ? 平面 ABB A ; 1 1 (Ⅲ)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD ? 平 面 BDE ,并说明理由.
A1 B1 C1

B A D

C

11 已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点.
(Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积

D1
A1

C1

B1
D

E

C
B

A

12

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 A B C D,

AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E
是 PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;

P E

A
B

D

C

13 如图是表示以 AB=4,BC=3 的矩形 ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何
体,其中四边形 EFGH 为截面.已知 AE=5,BF=8,CG=12. (1)作出截面 EFGH 与底面 ABCD 的交线 l; (2)截面四边形 EFGH 是否为菱形?并证明你的结论; (3)求 DH 的长. E D A B C F H G

14

已知 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF⊥ 平面 CDE; (2)求证:AF∥ 平面 BCE; (3)求四棱锥 C-ABED 的体积.

15 如图,菱形 ABCD 所在平面与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,已知 BD=2AF,且点 M
是线段 EF 的中点. (1)求证:AM∥ 平面 BDE; (2)求证:平面 DEF⊥平面 BEF. E M C F B

D

A

16 如图:正四棱柱 AC1 中,
E为棱DD1的中点,O是底面正方形ABCD中心 ,且 EO ? AB1 ,
(1)求证:该正四棱柱为正方体;

(2)若 AB ? a,求四棱锥A - OBB1E 的体积.

17 如图:M、N、K 分别是正方体 ABCD — A1B1C1D1 的棱 AB、CD、 C1D1 的中点,

(1)求证: AN ∥平面 A1MK ;
(2)求证: 平面A B1C ? 平面A MK. 1 1

18 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点,
(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC 1//平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.



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