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人教版数学选修2-2知识点 强烈推荐


数学选修 2-2
导数及其应用 一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义: 瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? 我 们 称 它 为 函 数

x0 处的瞬时变化率是 lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,
?x ?0

?x

y ? f ( x)



x ? x0

处 的 导 数 , 记 作

f ?( x0 )



y? |x? x0

, 即

f ?( x0 ) = lim
2.

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

导数的几何意义:

曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割线 PPn 的 斜率是 k ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 趋近于 P 时,函数 n xn ? x0 k,即 k ? lim f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x ) 0
?x ?0

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率

xn ? x0

3.

导函数:当 x 变化时, 也记作

f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x) 的导函数.

y ? f ( x) 的导函数有时

y ? ,即
f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

f ?( x) ? lim

?x ?0

二.导数的计算 基本初等函数的导数公式:
1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 3 若 f ( x) ? sin x ,则 5 若 7 若 2 若 f ( x) ? x? ,则

f ?( x) ? ? x? ?1 ;

f ?( x) ? cos x

4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 6 若 8 若

f ( x) ? a x ,则 f ?( x) ? a x ln a
x ,则 f ?( x ) ? f ( x) ? loga

f ( x) ? ex ,则 f ?( x) ? ex
f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? 1
x

1 x ln a

导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)

2.

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 3. [ ]? ? g ( x) [ g ( x)]2
复合函数求导
y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则

y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数

y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 (a, b) 内

(1)如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增;(2)如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这 个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是:(1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 求函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤: (2) 是最小值. (1)求函数 y ? f ( x) 在 (a, b) 内的极值; 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,最小的

推理与证明
考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推 理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的 推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同 或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越 可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 1. 2. 它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在 n=1(或 n0 )时成立,这是递推的基础;B.假设在 n=k 时命题成立; C.证明 n=k+1 时 命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0 ,且 n ? N )结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:

数系的扩充和复数的概念 复数的概念
(1) 复数:形如 a ? bi(a ? R, b ? R) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi(a ? R, b ? R) 中,当 b

? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

复数的运算
1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1

? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则
(2)

( 1 ) z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i

z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i

(3)

z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2
2,几个重要的结论 (1) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) (2) z ? z ?| z |2 ?| z |2 (3)若 z 为虚数,则

| z |2 ? z 2
3.运算律 (1)

z m ? z n ? z m? n ;(2) ( z m )n ? z mn ;(3) ( z1 ? z2 )n ? z1n ? z2n (m, n ? R)

4.关于虚数单位 i 的一些固定结论: (1) i
2

? ?1

(2 ) i

3

? ?i

(3) i

4

?1

(2) i

n

? i n ? 2 ? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0



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