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2015秋高中数学 1.3函数的性质课件 新人教A版必修1


1.3.1单调性与最大(小)值 (第一课时)

德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己 为实验对象,共做了 163 次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重 学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据. 时间间隔 t 记忆量 y(百分 比) 0分 钟 100% 20 分 钟 58.2% 60 分 钟 44.2% 8~9 小 时 35.8% 1天 33.7% 2天 27.8% 6天 25.4% 一个 月 21.1%

观察这些数据,可以看出:记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.当自变量(时间间隔 t)逐渐增大 时,你能看出对应的函数值(记忆量 y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就 是著名的艾宾浩斯曲线 ).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗? 通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(可以借助信息技术画图象)

记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大;以时间间隔 t 为 x 轴,以记忆量 y 为 y 轴建立平 面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线, 它表明了遗忘的规律.随着时间的推移, 记忆保持量在递减, 刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理 解和记忆.

问题 1:如图所示为一次函数 y=x,二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象,它们的图象有什么变 化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数 y=x2的图象在y 轴左侧是 下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在 y轴右侧是下降的.

问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?

函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y 是自变量为x时对应的函数值的大小.
问题3:如何理解图象是上升的?

按从左向右的方向看函数的图象 ,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函 数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大 ,也就是 对应的函数值随着逐渐增大 .也就是说从左向右看图象上升 ,反映了函数值随着 自变量的增大而增大. 问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的 定义?

1. 增函数定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量的值 x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数. 问题5:增函数的定义中,把“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时, 都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?
总结:可以.增函数的定义:由于当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的 不等号“<”,也就是说前面是“<”,后面也是“<”,步调一致;“当x1>x2时,都有 f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一 致.因此我们可以简称为:步调一致增函数. 问题6:增函数的定义中,“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变 化趋势?函数的图象有什么特点? 函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.

问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?
2、减函数定义 一般地,设函数f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I内某个区间D上的任 意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区 间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数. 减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值 随着自变量的增大而减小.总结:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减 函数),那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调递增(或减)区间. 问题8:函数 y=f (x)在区间D 上具有单调性,说明了函数 y=f (x)在区 间D上的图象有什么变化趋势? 函数y=f(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大( 减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.

例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在 每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

解 : 函 数 y=f(x) 的 单 调区 间是 [ -5,2), [ -2,1), [ 1,3), [ 3,5 ] . 其 中 函 数 y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.

例 2 物理学中的玻意耳定律 p=

k (k 为正常数)告诉我们, V

对于一定量的气体,当其体积 V 减少时,压强 p 将增大. 试用函数的单调性证明.
解:利用函数单调性的定义只要证明函数 p=

k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. V

例 3(1)画出已知函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象; (2)证明函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间(-∞,1]上是增函数; (3)当函数 f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数 m 的取值范围.

解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示. (2)设x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3) =(x22-x12)+2(x1-x2) =(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<2. ∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数. ( 3 )函数 f(x)=-x2+2x+3 的对称轴是直线 x=1 ,在对称轴的左侧是增函 数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实 数m的取值范围是(-∞,1].

1、已知函数 f(x)是 R 上的增函数,设 F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函数单调性定义证明 F(x)是 R 上的增函数;

a (2)证明函数 y=F(x)的图象关于点( ,0)成中心对称图形. 2
解:(1)设x1、x2∈R,且x1<x2.则 F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)] =[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]. 又∵函数f(x)是R上的增函数,x1<x2,∴a-x2<a-x2. ∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1). ∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0. ∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函数.

a (2)设点 M(x0,F(x0))是函数 F(x)图象上任意一点,则点 M(x0,F(x0))关于点( ,0)的 2
对称点 M′(a-x0,-F(x0)). 又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)) =f(a-x0)-f(x0) =-[f(x0)-f(a-x0)] =-F(x0), ∴点 M′(a-x0,-F(x0))也在函数 F(x)图象上, 又∵点 M(x0,F(x0))是函数 F(x)图象上任意一点,

a ∴函数 y=F(x)的图象关于点( ,0)成中心对称图形. 2

2、(1)写出函数 y=x2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点? (2)写出函数 y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

(3)定义在[-4,8]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数 y=f(x)的图象, 并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性 有什么特点? (4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.

解:(1)函数 y=x2-2x 的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线 x=1; 区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线 x=1 对称,而单调性相反. (2)函数 y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是 y 轴即直线 x=0;区间 (-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线 x=0 对称,而单调性相反. (3)函数 y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示

函数 y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1] 和区间[5,8]关于直线 x=2 对称,而单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线 x=2 对 称,而单调性相反.

(4)可以发现结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在直线 x=m 两 侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下: 不妨设函数 y=f(x)在对称轴直线 x=m 的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直 线 x=m 的对称区间是[2m-b,2m-a]. 由于函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,则 f(x)=f(2m-x). 设 2m-b≤x1<x2≤2m-a,则 b≥2m-x1>2m-x2≥a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函数 y=f(x)在[a,b]上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数 y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数. ∴当函数 y=f(x)在对称轴直线 x=m 的右侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直 线 x=m 的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反. 因此有结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在对称轴两侧的对称 单调区间内具有相反的单调性.

3、.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则 a 的取值范围是 ______.

分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞),
2 ? 1 ?2a ? a ? 1 ? 0, ∴? 2 解得 a< 或 a>1. 3 ? ?3a - 4a ? 1 ? 0.

∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0. ∴0<a<5.∴0<a< 答案:(0,

1 1 或 1<a<5,即 a 的取值范围是(0, )∪(1,5). 3 3

1 )∪(1,5) 3

小结 本节学习了 ①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.

作业

课本 P39 习题 1.3A 组 2、3、4.

1.3.1单调性与最大(小)值 (第二课时)

某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为 10 000 m2 的矩形新厂址,新厂址的 长为 x m,则宽为

10000 m,所建围墙 ym,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽 x

各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙 y 最短?

此题意在求函数 y=2(x+

10000 ),x>0 的最小值. x

问题 1:如图所示,是函数 y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的 共同特征.

函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B, 函数y=f(x)图象有最高点 C. 也就是说 ,这三个函数的图象的共同特征是都有最 高点.

问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系? 分析后得出:函数图象上任意点 P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值 , 纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
问题3:你是怎样理解函数图象最高点的? 图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. 问题4:问题1中,在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如图所示,设点C的 坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C?

由于点 C 是函数 y=f(x)图象的最高点,则点 A 在点 C 的下方,即对定义域内任意 x, 都有 y≤y0,即 f(x)≤f(x0),也就是对函数 y=f(x)的定义域内任意 x,均有 f(x)≤f(x0)成立.

问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为 函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义? 1. 函数最大值的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x) 的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?

f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图 象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.

问题7:函数最大值的几何意义是什么?
函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用。 问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么? 函数 y=-2x+1,x∈(-1,+∞) 没有最大值,因为函数 y=-2x+1,x∈(-1,+∞) 的图象没 有最高点. 问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点? 不是,因为该函数的定义域中没有-1. 问题10: 由这个问题你发现了什么值得注意的地方? 讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时, 这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点. 问题11:类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.

2、函数最小值的定义是: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. 函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标. 问题12:类比问题9,你认为讨论函数最小值应注意什么? 讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这 个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.

例 1 求函数 y=

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

解:设 2≤x1<x2≤6,则有 f(x1)-f(x2)=

2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) 2 2 = = ? x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

∵2≤x1<x2≤6,∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.

2 在区间[2,6]上是减函数. x ?1 2 所以,当 x=2 时,函数 y= 在区间[2,6]上取得最大值 f(2)=2; x ?1 2 2 当 x=6 时,函数 y= 在区间[2,6]上取得最小值 f(6)= . x ?1 5
∴f(x1)>f(x2),即函数 y=

例 2:画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,指出函数的单调区间和最大值.

解:函数图象如图所示.

由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0]和(1, +∞)上是下降的,最高点是(± 1,4), 故函数在(-∞,-1) , [0,1]上是增函数;函数在[-1,0] , (1,+∞)上是减函 数,最大值是 4.

例 3“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18, 那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少 (精确到 1m)?
解:画出函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象,如图所示, 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻,纵 坐标就是这时距离地面的高度.

由二次函数的知识,对于函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 当 t= ?

14.7 =1.5 时,函数有最大值, 2 ? (?4.9)

即烟花冲出去后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是 29m.

1、已知函数 f(x)=x+

1 ,x>0, x 1 ,x>0 的最小值. x

(1)证明当 0<x<1 时,函数 f(x)是减函数;当 x≥1 时,函数 f(x)是增函数. (2)求函数 f(x)=x+

解: (1)任取 x1、x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 ( f x1) -( f x2) = (x1+

x ? x1 ( x1 ? x2 )(x1 x2 ? 1) 1 1 ) - (x2+ ) = (x1-x2) + 2 = , x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0. 当 0<x1<x2<1 时,x1x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x1)>f(x2) ,即当 0<x<1 时,函数 f(x)是减函数. 当 1≤x1<x2 时,x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2),即当 x≥1 时,函数 f(x)是增函数.

(2)解法一:由(1)得当 x=1 时,函数 f(x)=x+ 又 f(1)=2,则函数 f(x)=x+

1 ,x>0 取最小值. x

1 ,x>0 取最小值是 2. x 1 解法二:借助于计算机软件画出函数 f(x)=x+ ,x>0 的图象,如图所示, x

由图象知,当 x=1 时,函数 f(x)=x+

1 ,x>0 取最小值 f(1)=2. x

2、求函数 y=

3? x (x≥0)的最大值. 1 ? 2x

解析:可证明函数 y=

3? x (x≥0)是减函数, 1 ? 2x 3? x ∴函数 y= (x≥0)的最大值是 f(0)=3. 1 ? 2x
? ? 1 ? x ? 1, 其图象如图所示. x ? 1,

3、求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值 ., ? ? 2 x , x ? ?1
解法一: (图象法)y=|x+1|+|x-1|= ?2,

?2 x, ?

由图象得,函数的最小值是 2,无最大值.

解法二: (数形结合)函数的解析式 y=|x+1|+|x-1|的几何意义是:y 是数轴上任意一点 P 到± 1 的对应点 A、B 的距离的和,即 y=|PA|+|PB|,如图所示,

观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2,即函数有最小值 2,无最大值.

4、某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为 8 元的商品 按 10 元一件的价格出售时,每天可销售 60 件,现在采用提高销售价格减 少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨 1 元,其销售量就要减少 10 件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.

解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则 y=(x-8)[60-(x-10)· 10] =-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16). 当且仅当x=12时,y有最大值160元, 即售价定为12元时可获最大利润160元.

小结
请同学们从下列几方面分组讨论: 1.函数的最值概念及几何意义如何? 2.你学了哪几种求函数最值的方法? 3.求函数最值要注意什么原则?

作业
课本第39页习题1.3A组5,B组 1,2.

1.3.2

奇偶性

请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一 组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的 数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例, 给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?

图象关于y轴对称

问题 1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

这两个函数之间的图象都关于y轴对称.

问题 2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢?填写表 1 和表 2,你发现 这两个函数的解析式具有什么共同特征? x f(x)=x2 表1 x f(x)=|x| 学生填表后,探究解析式具有的共同特征: x f(x)=x2 x f(x)=|x| -3 9 -3 3 -2 4 -2 2 -1 1 表1 -1 1 表2 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0 1 1 2 4 3 9 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

这两个函数的解析式都满足: f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值 相等,也就是说对于函数定义域内一个x,都有f(-x)=f(x). 问题3:请给出偶函数的定义?

1. 偶函数的定义: 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就 叫做偶函数. 问题4:偶函数的图象有什么特征? 偶函数的图象关于y轴对称. 问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗? 函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于y 轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2, f(-2) 不存在,即其函数的定义域中任意一个 x 的相反数 -x不一定也在定 义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数。

问题6: 偶函数的定义域有什么特征? 偶函数的定义域中任意一个 x的相反数-x一定也在定义域内, 此时称函数的定义域关于原点对称.
问题 7:观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 义和性质?

1 的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定 x

1. 奇函数的定义: 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇 函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点轴对称. 注:(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整 体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于 y 轴 对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这 种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法 称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质,而函 数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.

例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5; (3)f(x)=x+ (4)f(x)=

1 ; x

1 . 2 x

解: (1)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以函数 f(x)=x4 是偶函数. (2)函数的定义域是 R,对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以函数 f(x)=x4 是奇函数. (3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-x+ f(x), 所以函数 f(x)=x+

1 1 =-(x+ )=x ?x

1 是奇函数. x

(4) 函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 对定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=

1 1 = =f(x), 2 2 x (? x )

所以函数 f(x)=

1 是偶函数. 2 x

例 2 已知函数 f(x) 是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数. 当 x∈(-∞,0) 时, f(x)=x-x4 , 则当x∈(0,+∞)时,f(x)=_______.
答案:-x-x4

例 3 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 是 x≠0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 、 x2 都 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2),且当 x>1 时 f(x)>0,f(2)=1, (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)试比较 f( ?

5 7 )与 f( )的大小. 4 2

解: (1)令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. 令 x1=x2=-1,得 f(1)=f[-1× (-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0. ∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1· x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)设 x2>x1>0,则 f(x2)-f(x1)=f(x1·

x2 x x )-f(x1)=f(x1)+f( 2 )-f(x1)=f( 2 ). x1 x1 x1

∵x2>x1>0,∴

x2 x >1.∴f( 2 )>0,即 f(x2)-f(x1)>0. x1 x1

∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(1)知 f(x)是偶函数,则有 f( ?

5 5 )=f( ). 2 2 5 5 7 7 由(2)知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f( )>f( ).∴f( ? )>f( ). 4 4 2 2

1、判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x2,x∈[-1,2];

x2 ? x2 (2)f(x)= ; x ?1
(3)f(x)= x 2 ? 4 + 4 ? x 2 ;

1? x2 ? x ?1 (4)f(x)= . 2 1? x ? x ?1

解: (1)因为它的定义域关于原点不对称,函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数又不是 偶函数.

x2 ? x2 (2)因为它的定义域为{x|x∈R 且 x≠1},并不关于原点对称,函数 f(x)= 既不是奇函 x ?1
数又不是偶函数. (3)∵x2-4≥0 且 4-x2≥0, ∴x=± 2, 即 f(x)的定义域是{-2,2}. ∵f(2)=0,f(-2)=0, ∴f(2)=f(-2) ,f(2)=-f(2). ∴f(-x)=-f(x) ,且 f(-x)=f(x). ∴f(x)既是奇函数也是偶函数.

(4)函数的定义域是 R. ∵f(-x)+f(x)=

1? x2 ? x ?1 1? x ? x ?1
2

?

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

=

1 ? x 2 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) 2 ( 1 ? x 2 ? x ? 1)( 1 ? x 2 ? x ? 1)

=

1 ? x 2 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 2x ? 1 ( 1 ? x 2 ? x ? 1)( 1 ? x 2 ? x ? 1)

=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.

2、已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+ 3 x ,求 f(x).

解:当 x=0 时,f(-0)=-f(0),则 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,由于函数 f(x)是奇函数,则 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+ 3 ? x ]=-x2+ 3 x ,

?x 2 ? 3 x , x ? 0, ? 综上所得,f(x)= ?0, x ? 0, ?? x 2 ? 3 x , x ? 0. ?

3 已知 f(x) 是定义在 (-∞,+∞) 上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意 x、y,f(x) 都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1)、f(-1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.
解: (1)∵f(x)对任意 x、y 都有 f(x· y)=yf(x)+xf(y), ∴令 x=y=1 时,有 f(1· 1)=1· f(1)+1· f(1). ∴f(1)=0. ∴令 x=y=-1 时,有 f[(-1)· (-1)]=(-1)· f(-1)+(-1)· f(-1). ∴f(-1)=0. (2)是奇函数. ∵f(x)对任意 x、y 都有 f(x· y)=yf(x)+xf(y), ∴令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将 f(-1)=0 代入得 f(-x)=-f(x), ∴函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.

小结 本节主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质 ?

作业
课本 P39 习题 1.3A 组 6,B 组 3.



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