9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

第9讲 空间几何体的表面积和体积


沛县中学高三教案

《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座
—空间几何体的表面积和体积
一.课标要求: 课标要求:
了解球,棱柱,棱锥,台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) .

二.命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体,旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素 的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握 多面体与旋转体的概念,性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题 转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用"割 补法"等求解. 由于本讲公式多反映在考题上,预测 008 年高考有以下特色: (1)用选择,填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积,体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素 有关的计算问题;

三.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底h=S 直截面h S 侧+2S 底 S 底h S 侧+S 底
1 S 底h 3 1 h(S 上底+S 下底 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

+ S下底 S下底 )

表中 S 表示面积,c′,c 分别表示上,下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长. 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πr h(即πr l)
2 2

圆锥 πrl πr(l+r)

圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r 1+r 2)
2 2



S侧 S全
V

4πR

2

1 2 πr h 3

1 2 2 πh(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l,h 分别表示母线,高,r 表示圆柱,圆锥与球冠的底半径,r1,r2 分别表示圆台 上,下底面半 径,R 表示半径.

四.典例解析
题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长.
第 1 页 共 13 页

沛县中学高三教案

解:设长方体的长,宽,高,对角线长分别为 xcm,ycm,zcm,lcm 依题意得:

2( xy + yz + zx) = 20 4( x + y + z ) = 24

(1) ( 2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm). 点评: 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主, 而直棱柱中又以正方体, 长方体的表面积多被考察. 我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线,内切)与面积,体积之间的关系. 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠ A1AB=∠A1AD=

π

3

.

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积.

图1 图2 解析: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD.作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N.由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON. ∴点 O 在∠BAD 的平分线上. (2)∵AM=AA1cos

π

3 AM 3 ∴AO= = 2. π 2 cos 4

=3×

1 3 = 2 2

又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

9 9 = , 2 2

∴A1O=

3 2 3 2 ,平行六面体的体积为 V = 5 × 4 × = 30 2 . 2 2

题型 2:柱体的表面积,体积综合问题 例 3. (2000 全国,3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体对角线的长 是( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

解 析 : 设 长 方 体 共 一 顶 点 的 三 边 长 分 别 为 a=1 , b =
第 2 页 共 13 页

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为

沛县中学高三教案

l= a + b + c =
2 2 2

6 ;答案 D.

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积,体积的几何要素—棱长. 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E,F 分别为 AB,AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为 V1,V2 的两部分,那么 V1:V2= ____ _. 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh. ∵E,F 分别为 AB,AC 的中点, ∴S△AEF=

1 S, 4

V 1=

1 1 1 7 h(S+ S+ S )= Sh 3 4 4 12
5 Sh, 12

V2=Sh-V1=

∴V1:V2=7:5. 点评:解题的关键是棱柱,棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用 统一的量建立比值得到结论即可. P 题型 3:锥体的体积和表面积 例 5. (2006 上海,19)在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, 的菱形, ∠DAB=60 , PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积? 解: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO, 于是 PO=BOtan60°= 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= A B E O D C

1 ×2 3 × 3 =2. 3

点评:本小题重点考查线面垂直,面面垂直,二面角及其平面角,棱锥的体积.在能力方面主要考查 空间想象能力. 例 6. 2002 京皖春文, 在三棱锥 S—ABC 中, ( 19) ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°, AC=BC=5, 且 SB=5 (如图所示) (Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC. 解析: (Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC. 又 AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC. 由于∠ACB=90°,即 BC⊥AC,由三垂线定理,得 SC⊥BC. (Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC. ∴∠SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角. 在 Rt△SCB 中,BC=5,SB=5

5.



5 ,得 SC= SB 2 BC 2 =10.
第 3 页 共 13 页

沛县中学高三教案

在 Rt△SAC 中 AC=5,SC=10,cosSCA=

AC 5 1 = = , SC 10 2

∴∠SCA=60°,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60°. (Ⅲ)解:在 Rt△SAC 中, ∵SA= SC AC
2 2

= 10 2 5 2 = 75 ,

S△ABC=

25 1 1 ACBC= ×5×5= , 2 2 2 1 1 25 125 3 S△ACBSA= × × 75 = . 3 2 6 3

∴VS-ABC=

点评:本题比较全面地考查了空间点,线,面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力,并进 行一定的逻辑推理. 题型 4:锥体体积,表面积综合问题 例 7.ABCD 是边长为 4 的正方形,E,F 分别是 AB,AD 的中点,GB 垂直于正方形 ABCD 所在的 平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离? 解:如图,取 EF 的中点 O,连接 GB,GO,CD,FB 构造三棱锥 B-EFG.

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h,BD= 4 2 ,EF = 2 2 ,CO=

3 ×4 2 = 3 2 . 4

GO = CO 2 + GC 2 = (3 2 ) 2 + 2 2 = 18 + 4 = 22 .
而 GC⊥平面 ABCD,且 GC=2. 由 V B EFG = VG EFB ,得

1 1 EFGOh = S △EFB 6 3

点评: 该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解. 构造以点 B 为顶点, △EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化 了运算. 例 8. (2006 江西理,12)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球) 球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD 与三 棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1,S2,则必有( ) A A.S1<S2 B.S1>S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定 解:连 OA,OB,OC,OD, O D 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD F VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+ B E SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AEF 公共,故选 C C
第 4 页 共 13 页

沛县中学高三教案

点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积,表面积首先要 转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系. 题型 5:棱台的体积,面积及其综合问题 例 9. (2002 北京理,18)如图 9—24,在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中,上,下底面平行且均为矩形, 相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于 E,F 两点,上,下底面矩形的长,宽 分别为 c,d 与 a,b,且 a>c,b>d,两底面间的距离为 h. (Ⅰ)求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (Ⅱ)证明:EF‖面 ABCD; (Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式 V 估=S 中截面h 来计算.已知它的体积公式是 V=

h 6

(S 上底面+4S 中截面+S 下底面) ,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明. (注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面) (Ⅰ)解:过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面,交底面于 PQ,过 B1 作 B1G⊥PQ,垂足为 G. 如图所示:∵平面 ABCD‖平面 A1B1C1D1,∠A1B1C1=90°, ∴AB⊥PQ,AB⊥B1P. ∴∠B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1H⊥PQ,垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大 小相等,故四边形 B1PQC1 为等腰梯形. ∴PG=

2h 1 (b-d) ,又 B1G=h,∴tanB1PG= (b>d) , 2 bd 2h 2h ,即所求二面角的大小为 arctan . bd bd


∴∠B1PG=arctan

(Ⅱ)证明:∵AB,CD 是矩形 ABCD 的一组对边,有 AB‖CD, 又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线, ∴AB‖面 CDEF. ∵EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线, ∴AB‖EF. ∵AB 是平面 ABCD 内的一条直线,EF 在平面 ABCD 外, ∴EF‖面 ABCD. (Ⅲ)V 估<V. 证明:∵a>c,b>d, ∴V-V 估=

h a+c b+d a+c b+d (cd + ab + 4 ) h 6 2 2 2 2

=

h [2cd+2ab+2(a+c) (b+d)-3(a+c) (b+d) ] 12 h (a-c) (b-d)>0. 12

=

∴V 估<V. 点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线,面平行这一常规运算置于非规则几何体(拟柱 体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛 普生公式之间计算误差的问题,是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能.
第 5 页 共 13 页

沛县中学高三教案

例 10. (1998 全国,9)如果棱台的两底面积分别是 S,S′,中截面的面积是 S0,那么( (1) A. 2

)

S0 = S + S ′

B. S 0

= S ′S

C.2S0=S+S′ D.S02=2S′S )

(2) (1994 全国,7)已知正六棱台的上,下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为( A.32

3

B.28

3

C.24

3

D.20

3

解析: (1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为 A; (2)正六棱台上下底面面积分别为:S


=6

3 3 22=6 3 ,S 下=6 42=24 3 ,V 台= 4 4

1 h( S 上 + S 上 S 下 + S 下 ) = 28 3 ,答案 B. 3
点评:本题考查棱台的中截面问题.根据选择题的特点本题选用"特例法"来解,此种解法在解选择 题时很普遍,如选用特殊值,特殊点,特殊曲线,特殊图形等等. 题型 6:圆柱的体积,表面积及其综合问题 例 11. (2000 全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比 是( ) A.

1 + 2π 2π

B.

1 + 4π 4π

C.

1 + 2π

π

D.

1 + 4π 2π

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2πr. ∴S 全=2πr2+(2πr)2=2πr2(1+2π).S 侧=h2=4π2r2, ∴

S 全 1+ 2π .答案为 A. = S侧 2π

点评:本题考查圆柱的侧面展开图,侧面积和全面积等知识. 例 12. (2003 京春理 13,文 14)如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入 一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r

.

解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加πR2r.恰好是半径为 r 的实心铁球的体积,因此有

4 3 πr = 3

πR2r.故

R 2 3 2 3 = .答案为 . 3 r 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析,解决问题的能力. 题型 7:圆锥的体积,表面积及综合问题 例 13. (2002 京皖春,7)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图 (1)
第 6 页 共 13 页



沛县中学高三教案

所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( A.

)

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2
3 ,则这个圆锥的全面积是(
D.9π )

(2) (2001 全国文, 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3) A.3π B.3



C.6π

解析: (1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 B—ADE 体积之差,又∵求得 AB=1. ∴ V = VC ADE VB ADE = (2)∵S=

1 5 1 3π π 3 π 3 1 = ,答案 D. 3 2 3 2

1 1 absinθ,∴ a2sin60°= 3 , 2 2

∴a2=4,a=2,a=2r, ∴r=1,S 全=2πr+πr2=2π+π=3π,答案 A. 图 点评:通过识图,想图,画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理 能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向. 例 14. (2000 全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲 面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( ) A.

1 3 2

B.

1 2

C.

1 2

D.

1 4 2

解析:如图所示,由题意知,

1 2 1 πr h= πR2h, 3 6

∴r=

R . 又△ABO∽△CAO, 2

r OA R2 R 2 ∴ = ,∴OA =rR= , OA = 4 , OA R 2 2
∴cosθ=



OA 1 ,答案为 D. = R 42

点评:本题重点考查柱体,锥体的体积公式及灵活的运算能力. 题型 8:球的体积,表面积 例 15.已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 AB = BC = CA = 2 ,求 球的表面积. 解:设截面圆心为 O′ ,连结 O′A ,设球半径为 R , 则 O′A =

2 3 2 3 × ×2 = , 3 2 3
2 2 2

在 Rt O′OA 中, OA = O′A + O′O ,
第 7 页 共 13 页

沛县中学高三教案

∴R =(
2

2 3 2 1 2 ) + R , 3 4

∴R =

4 , 3
2

∴ S = 4π R =

64 π. 9

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系. 例 16.如图所示,球面上有四个点 P,A,B,C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, 求这个球的表面积.

解析:如图,设过 A,B,C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面的距离为 d. 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′.

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a. sin 60° 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC, ∴P,O,O′共线,球的半径 R= r + d .又 PO′= PA r = a
2 2
2 2

2

3 2 2 a = a, 3 3

∴OO′=R -

3 3

a=d= R r ,(R-
2 2

3 3

a)2=R2 – (

6 2 3 a) ,解得 R= a, 3 2

∴S 球=4πR2=3πa2. 点评:本题也可用补形法求解.将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球 的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R= 题型 9:球的面积,体积综合问题 例 17. (2006 四川文,10)如图,正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 A, B, C , D 在球 O 的同一个大 圆上,点 P 在球面上,如果 VP ABCD =

3 a,下略. 2

A. 4π B. 8π (2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体 棱长为 6 ,求球的表面积和体积. 解析: 如图, (1) 正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 A, B, C , D 在球 O 的
第 8 页 共 13 页

16 ,则球 O 的表面积是( 3 C. 12π D. 16π

)

沛县中学高三教案

同 一 个 大 圆 上 , 点 P 在 球 面 上 , PO ⊥ 底 面 ABCD , PO=R , S ABCD = 2 R , VP ABCD =
2

16 ,所以 3

1 16 2 R 2 R = ,R=2,球 O 的表面积是 16π ,选 D. 3 3
(2)作轴截面如图所示,

CC ′ = 6 , AC = 2 6 = 2 3 ,
设球半径为 R , 则 R = OC + CC ′
2 2 2

= ( 6) 2 + ( 3) 2 = 9
∴ R = 3, ∴ S球 = 4π R = 36π , V球 =
2

4 π R 3 = 36π . 3

点评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几 何要素. 例 18. (1)表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积. (2) 正四面体 ABCD 的棱长为 a, O 是内切球, O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球, 球 球 求球 O1 的体积. 解: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA′ = 14 , AC = 又∵ 4π R = 324π ,∴ R = 9 ,
2

2a ,

∴ AC =

AC ′2 CC ′2 = 8 2 ,∴ a = 8 ,
新疆 王新敞
奎屯

∴ S表 = 64 × 2 + 32 × 14 = 576

(2)如图,设球 O 半径为 R,球 O1 的半径为 r,E 为 CD 中点,球 O 与平面 ACD,BCD 切于点 F,
第 9 页 共 13 页

沛县中学高三教案

G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H

新疆 王新敞
奎屯

新疆 王新敞 奎屯

由题设

AG =

AE 2 GE 2 =

6 a 3

新疆 王新敞 奎屯



△AOF∽△AEG



6 aR 6 R 3 = ,得 R = a 12 3 3 a a 6 2

新疆 王新敞 奎屯



△AO1H∽△AOF



6 a 2R r r 6 3 = ,得 r = a R 24 6 aR 3
3

新疆 王新敞 奎屯



V球O1

4 4 6 6 3 = πr 3 = π a = a 3 3 24 1728

新疆 王新敞 奎屯

点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等. 题型 10:球的经纬度,球面距离问题 例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球半径大约为

6370km )
(2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB = BC = AC = 12cm ,求球心到经过这三点的截面 的距离. 解: (1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半径, ∴ OK ⊥ AK , 设 C 是北纬 40 的纬线长,
第 10 页 共 13 页

沛县中学高三教案

∵ ∠AOB = ∠OAK = 40 , ∴ C = 2π AK = 2π OA cos ∠OAK = 2π OA cos 40

≈ 2 × 3.14 × 6370 × 0.7660 ≈ 3.066 × 10 4 (km)
答:北纬 40 纬线长约等于 3.066 × 10 km .
4

(2)解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O′ , 设球心为 O ,连结 OO′ ,则 OO′ ⊥ 平面 ABC , ∵ AO′ =

3 2 × 12 × = 4 3 , 2 3
2 2

∴ OO′ = OA OA′ = 11 , 所以,球心到截面距离为 11cm . 例 20.在北纬 45 圈上有 A, B 两点,设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧长为 求 A, B 两点间的球面距离. 解:设北纬 45 圈的半径为 r ,则 r =

2 π R ( R 为地球半径) , 4

2 R ,设 O′ 为北纬 45 圈的圆心, ∠AO ' B = α , 4

∴α r = ∴α =

2 2 2 π R ,∴ Rα = πR, 4 2 4
,∴ AB =

π
2

2r = R ,

∴ ABC 中, ∠AOB =

π
3

,

所以, A, B 两点的球面距离等于

π
3

R.

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进而求出这两点 的球面距离.

五.思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
2

(2)体积:V=

2 3 a; 12 2 a; 2
第 11 页 共 13 页

(3)对棱中点连线段的长:d=

沛县中学高三教案

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下 列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c. 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6

④底面△ABC=
2

1 2

a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ;

⑤S △ABC=S△BHCS△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC ⑦

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 ⑧外切球半径 R= a 2 + b2 + c2 ; 2
S AOB + S BOC - S ABC a+b+c

⑨内切球半径 r=

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β,母线与下底面所成角为α,母线为 l,高为 h,底面半径为 r,则 sinα=cos α+

β
2

=

β
2

h , l

=90° cosα=sin

β
2

=

r . l

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α,母线为 l,高为 h,上,下底面半径分别为 r ′,r, 则 h=lsinα,r-r′=lcosα. ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R - d .
2 2

4.经度,纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

第 12 页 共 13 页

沛县中学高三教案

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度: 某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平面所成的二面角 的度数. 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数.

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫 做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, θ 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
新疆 王新敞
奎屯

第 13 页 共 13 页


赞助商链接

更多相关文章:
第09讲 空间几何体的表面积和体积
32页 免费 空间几何体的表面积和体积 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题
要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 名称 棱柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台...可得该几何体的表面积是 D (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π (2008 ...
第09讲___空间几何体的表面积和体积
第09讲___空间几何体的表面积和体积第09讲___空间几何体的表面积和体积隐藏>> 第九讲一、复习目标要求 空间几何体的表面积和体积 了解球、棱柱、棱锥、台的...
...第一轮复习教案第9讲 空间几何体的表面积和体积
www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育 2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案第 9 讲 空间几何体的表面积和体积一.课标要求: 了解球、棱柱、...
2014高考数学新编:第09讲 空间几何体的表面积和体积
17 第 1 页共 20 页 《新课标》高三数学(人教版)第一轮复习单元讲座 第九讲一.课标要求:了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)...
人教版高数必修二第3讲:空间几何体的表面积和体积(学生版)
人教版高数必修二第3讲:空间几何体的表面积和体积(学生版)_数学_高中教育_...( ) A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 1 练习 2:一个圆柱的高缩小为...
...空间几何体表面积体积的求解 Word版含解析
2017届高三文科数学(通用版)二轮复习:专题限时集训9 空间几何体表面积体积的求解 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习资料 专题限时集训(九) 空间...
...重点强化专题限时集训9空间几何体表面积体积的求...
2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训9空间几何体表面积体积的求解文20180223389 - 专题限时集训(九) 空间几何体表面积体积的求解 [建议 A、B ...
...一轮复习必备精品第9讲:空间几何体的表面积和体积
2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料 第9讲一.【课标要求】 空间几何体的表面积和体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不...
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
题型 5:棱台的体积面积及其综合问题 例 9. (...第三步研究拟柱体的近似计算 公式与可精确计算体积...高二第1讲 空间几何体及... 21页 免费 《空间...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图