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河北省沧州市南皮县2015-2016学年度八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版



河北省沧州市南皮县 2015-2016 学年度八年级数学上学期期中试题
一、认真选一选。 (本大题共 16 个小题,10 小题,每小题 3 分;116 小题,每小题 3 分,共 42 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列分式的值不可能为 0 的是( )

A.

B.

C.

r />
D. )

2.彤彤做错了下列计算题中的一道题,你认为她做错的题是( A. =

B. (



2

3

=﹣

C.

=

D.

=x(x+1) )

3.如图是数学老师给玲玲留的习题,玲玲经过计算得出的正确的结果为(

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列说法:①

= 是分式方程;②x=1 或 x=﹣1 是分式方程

=0 的解;③分式方程

=

转化成一元一次方程时,方程两边需要同乘 x(x+4) ;④解分式方程时一定会出现增根,其中正确 的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.2015 年 8 月 31 日慧聪网报道,爱唱响内蒙音乐夏令营 9 月开启,某学校组织部分学生参加夏令 营,李老师从夏令营咨询处带回如图所示的两条信息,则原来报名参加夏令营的学生有( )

1

A.100 人 B.150 人 C.200 人 D.250 人 2 2 6.已知下列命题:①同旁内角互补;②若 a=b,则 a =b ;③有一个内角是直角的三角形是直角三角 形;④若 a>0,b>0,则 a+b>0,其中逆命题属于假命题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.下列四个图形中,属于全等图形的是( )

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ 8.如图,已知△ABC≌△EDF,点 F,A,D 在同一条直线上,AD 是∠BAC 的平分线,∠EDA=20°,∠ F=60°,则∠DAC 的度数是( )

A.50° B.60° C.100° D.120° 9.如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是(



A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC 10.如图,在四边形 ABCD 中,连接 BD,E,F 为 BD 上两点,且 BE=DF,连接 AE,CE.若 AD=BC,AD ∥BC,则图中的全等三角形有( )

A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 11. 的算术平方根为( )

A.9 B.﹣9 C.3 D.﹣3 12.2015 年 4 月 17 日河北新闻报道,一季度全省全部财政收入累计完成 1063.7 亿元,比 2014 年

2

同期增长 6.7% (增长率= 年一季度全省全部财政收入累计完成(结果精确到十分位) ( ) A.996.9 亿元 B.996.90 亿元 C.997.0 亿元 D.996.91 亿元 3 3 2 2 13.若 x =(﹣2) ,y =(﹣1) ,则 x+y 的值为( ) A.﹣3 B.﹣1 C.3 D.﹣1 或﹣3 14.如图,实数 ﹣6 在数轴上表示的大致位置是( )

) , 则 2014

A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 15.若 =x,则 x 的值有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 16.下列说法:①任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示;②无限小数都是无理数;③无 理数和无理数相加还是无理数;④带根号的数都是无理数,其中不正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、仔细填一填(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案写在题中横线上) 17.先化简分式 ,再从不等式﹣1≤x≤0 中选择一个整数代入,则原分式是

的值为 . 18.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AB,D,E,M 分别为 AC,AB,BE 的中点,连接 DM,以 DM 为 边作△DMN,连接 FN,且 DM=DN.若∠B=∠C=∠MDN=60°,AB=6,则 FN 的长度为 .

19.

的绝对值是

,相反数是

,倒数是



20.比较大小:6﹣

. (填“>”“<”或“=”) .

三、利用所学知识解决以下问题. (本大题共 6 个小题,共 66 分,解答应学出文字说明、证明过程) 21.按要求完成下列各小题

(1)计算:

3

(2)解方程:

=1.

22.王林在《数学报》上看见一道作图题,请你帮他完成. 如图,B,C 分别为射线 BA,CD 的端点,连接 BC,按要求完成下列各小题. (保留作图痕迹,不要 求写作法,标明各顶点字母) (1)在 BC 的右侧,作∠BCE=∠BCD,交射线 BA 于点 E; (2)在(1)的条件下,求作△CBF(点 F 在∠BCD 内) ,使得△BCE≌△CBF.

23.请根据如图所示的对话内容回答下列问题.

(1)求该魔方的棱长; (2)求该长方体纸盒的长. 24.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=50°,D 为△ABC 内一点,连接 BD,CD,E 为△ABC 外一点,连 接 CE,DE,已知 BD=CD,E=AB,CD 平分∠ECA. (1)试判断点 D 是否在∠A 的平分线上,并说明理由; (2)求∠E 的度数.

25.2014 年 12 月 25 日,石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开, 该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书,从投标书中得知如图所示的信息. (1)求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天? (2)已知甲施工单位每天的施工费为 18.3 万元,乙施工单位每天的施费为 15.6 万元.根据实际情 况,该工程由甲、乙两个施工单位共同完成,需要预算约多少万元?(不足一天按一天算)

26.问题背景: (1)如图 1:在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F 分别是 BC,CD 上的

4

点.且∠EAF=60°.探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延 长 FD 到点 G.使 DG=BE.连结 AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的 结论应是 . 探索延伸: (2) 如图 2, 若在四边形 ABCD 中, AB=AD, ∠B+∠D=180°. E, F 分别是 BC, CD 上的点, 且∠EAF= ∠BAD, 上述结论是否仍然成立,并说明理由.

5

河北省沧州市南皮县 2015~2016 学年度八年级上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、认真选一选。 (本大题共 16 个小题,10 小题,每小题 3 分;116 小题,每小题 3 分,共 42 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列分式的值不可能为 0 的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】分式的值为零的条件. 【分析】分式的值为零时:分子等于零且分母不等于零,据此进行判断. 【解答】解:A、分子是 4,而 4≠0,则该分式的值不为零.故本选项正确; B、当 x﹣2=0 即 x=2 时,该分式的值为零.故本选项错误; C、当 4x﹣9=0 即 x= 时,该分式的值为零.故本选项错误; D、当 2x+1=0 即 x=﹣0.5 时,该分式的值为零.故本选项错误; 故选:A. 【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分子为 0; (2)分母不为 0.这两个条件缺一不可. 2.彤彤做错了下列计算题中的一道题,你认为她做错的题是( A. = )

B. (



2

3

=﹣

C.

=

D.

=x(x+1)

【考点】分式的乘除法. 【分析】利用分式乘除运算法则分别化简求出结果,进而判断. 【解答】解:A、 = ,正确,不合题意;

B、 (



2

3

=﹣

,正确,不合题意;

6

C、

=

,正确,不合题意;

D、

=

×

=x,故原式错误,符合题意.

故选:D. 【点评】此题主要考查了分式的乘除运算,正确掌握运算法则是解题关键. 3.如图是数学老师给玲玲留的习题,玲玲经过计算得出的正确的结果为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】分式的化简求值. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 a+b=ab=3 代入进行计算即可.

【解答】解:原式=

+2

=

+2,

当 a+b=ab=3 时,原式=

+2=3.

故选 C. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

4.下列说法:①

= 是分式方程;②x=1 或 x=﹣1 是分式方程

=0 的解;③分式方程

=

转化成一元一次方程时,方程两边需要同乘 x(x+4) ;④解分式方程时一定会出现增根,其中正确 的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】解分式方程;分式方程的定义;分式方程的解;分式方程的增根. 【专题】计算题;分式方程及应用. 【分析】利用分式方程的定义,分式方程的解,以及分式方程的增根判断即可. 【解答】解:① = 是分式方程,正确;

7

②x=1 或 x=﹣1 是分式方程

=0 的解,分母为 0,应为增根,错误;

③分式方程 = 转化成一元一次方程时,方程两边需要同乘 x(x+4) ,正确; ④解分式方程时不一定会出现增根,错误. 则正确的有 2 个, 故选 B. 【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式 方程求解.解分式方程一定注意要验根. 5.2015 年 8 月 31 日慧聪网报道,爱唱响内蒙音乐夏令营 9 月开启,某学校组织部分学生参加夏令 营,李老师从夏令营咨询处带回如图所示的两条信息,则原来报名参加夏令营的学生有( )

A.100 人 B.150 人 C.200 人 D.250 人 【考点】分式方程的应用. 【分析】首先设原来报名参加夏令营的学生有 x 人,则最终参加报名参加夏令营的学生有 2x 人,根 据题意可得等量关系:原来每位学生所交的钱数﹣最终每位学生所交的钱数=80 元,根据等量关系 列出方程,再解即可. 【解答】解:设原来报名参加夏令营的学生有 x 人,由题意得: ﹣ =80, 解得:x=100, 经检验:x=100 是原分式方程的解. 故选:A. 【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方 程.注意不要忘记检验. 6.已知下列命题:①同旁内角互补;②若 a=b,则 a =b ;③有一个内角是直角的三角形是直角三角 形;④若 a>0,b>0,则 a+b>0,其中逆命题属于假命题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题与定理. 【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到各命题的逆命题,然后分别根据同旁内角的定义、平 方根的定义、直角三角形的定义和有理数的性质判断四个逆命题的真假. 【解答】解:①同旁内角互补的逆命题为互补的角为同旁内角,此逆命题为假命题; 2 2 2 2 ②若 a=b,则 a =b ,它的逆命题为若 a =b ,则 a=b,此逆命题为假命题; ③有一个内角是直角的三角形是直角三角形,它的逆命题为直角三角形有一个内角为直角,此逆命 题为真命题;
2 2

8

④若 a>0,b>0,则 a+b>0,它的逆命题为若 a+b>0,则 a>0,b>0,此逆命题为假命题. 故选 C. 【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两 部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果?那么?” 形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 7.下列四个图形中,属于全等图形的是( )

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ 【考点】全等图形. 【分析】根据全等形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案. 【解答】解:②和④可以完全重合,因此全等的图形是②和④. 故选:D. 【点评】此题主要考查了全等图形,关键是掌握全等图形的概念. 8. 如图, 已知△ABC≌△EDF, 点 F, A, D 在同一条直线上, AD 是∠BAC 的平分线, ∠EDA=20°, ∠F=60°, 则∠DAC 的度数是( )

A.50° B.60° C.100° D.120° 【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据全等三角形的性质求出∠B 和∠C,根据三角形内角和定理求出∠BAC,根据角平分线 定义求出即可. 【解答】解:∵△ABC≌△EDF,∠EDA=20°,∠F=60°, ∴∠B=∠EDF=20°,∠F=∠C=60°, ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°, ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠DAC= ∠BAC=50°, 故选 A. 【点评】本题考查了全等三角形的性质,三角形内角和定理,角平分线定义的应用,能根据全等三 角形的性质求出∠B 和∠C 是解此题的关键. 9.如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是( )

9

A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC 【考点】全等三角形的判定. 【分析】本题可以假设 A、B、C、D 选项成立,分别证明△ABC≌△DEF,即可解题. 【解答】解:∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠A=∠D,

(1)AB=DE,则△ABC 和△DEF 中,

,∴△ABC≌△DEF,故 A 选项错误;

(2)∠B=∠E,则△ABC 和△DEF 中,

,∴△ABC≌△DEF,故 B 选项错误;

(3)EF=BC,无法证明△ABC≌△DEF(ASS) ;故 C 选项正确;

(4)∵EF∥BC,AB∥DE,∴∠B=∠E,则△ABC 和△DEF 中,

,∴△ABC≌△DEF,故 D 选

项错误; 故选:C. 【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定,注意题干中“不能”是解题的关键. 10. 如图, 在四边形 ABCD 中, 连接 BD, E, F 为 BD 上两点, 且 BE=DF, 连接 AE, CE. 若 AD=BC, AD∥BC, 则图中的全等三角形有( )

A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 【考点】全等三角形的判定. 【分析】求出 DE=BF,根据平行线性质求出∠ADE=∠CBF,根据 SAS 推出△ADE≌△CBF,推出 AE=CF, 根据 SAS 推出△ADB≌△CBD,推出 AB=CD,根据 SSS 推出△ABE≌△CDF 即可. 【解答】解:∵BD=BD,BE=DF, ∴DE=BF, ∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠CBF, 在△ADE 和△CBF 中

∴△ADE≌△CBF(SAS) , ∴AE=CF, 在△ADB 和△CBD 中

10

∴△ADB≌△CBD(SAS) , ∴AB=CD, 在△ABE 和△CDF 中

∴△ABE≌△CDF(SSS) , 即有 3 对全等三角形, 故选 C. 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质的应用,能正确运用定理进行推理是 解此题的关键.

11.

的算术平方根为(



A.9 B.﹣9 C.3 D.﹣3 【考点】算术平方根. 【分析】利用平方根和算术平方根的定义求解即可. 【解答】解: 的算术平方根 3,

故选 C. 【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义.解题时注意正数的平方根有 2 个,算术平方 根有 1 个. 12.2015 年 4 月 17 日河北新闻报道,一季度全省全部财政收入累计完成 1063.7 亿元,比 2014 年

同期增长 6.7% (增长率=

) , 则 2014

年一季度全省全部财政收入累计完成(结果精确到十分位) ( ) A.996.9 亿元 B.996.90 亿元 C.997.0 亿元 D.996.91 亿元 【考点】近似数和有效数字. 【专题】计算题. 【分析】由于 2015 比 2014 年同期增长 6.7%,所以 2015 一季度全省全部财政收入累计完成是 2014 一季度全省全部财政收入累计完成的量的(1+6.7%)倍,于是用 1063.7 除以(1+6.7%)即可. 【解答】解:2014 年一季度全省全部财政收入累计完成的数量为 ≈996.9(亿元) . 故选 A. 【点评】本题考查了近似数和有效数字:经过四舍五入得到的数为近似数;从一个数的左边第一个 不是 0 的数字起到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.近似数与精确数的接近程度, 可以用精确度表示.一般有,精确到哪一位,保留几个有效数字等说法. 13.若 x =(﹣2) ,y =(﹣1) ,则 x+y 的值为(
3 3 2 2



11

A.﹣3 B.﹣1 C.3 D.﹣1 或﹣3 【考点】实数的运算. 【分析】分别求出 x 和 y 的值,然后代入求解. 3 3 2 2 【解答】解:∵x =(﹣2) ,y =(﹣1) , ∴x=﹣2,y=±1, 则 x+y=﹣2+1=﹣1,或 x+y=﹣2﹣1=﹣3. 故选 D. 【点评】本题考查了实数的运算,解答本题的关键是掌握平方根和立方根的求法.

14.如图,实数

﹣6 在数轴上表示的大致位置是(



A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 【考点】实数与数轴. 【分析】先估算出 的取值范围,再由不等式的基本性质即可得出结论.

【解答】解:∵16<21<25, ∴4< ∴﹣2< ∴实数 <5, ﹣6<﹣1, ﹣6 在数轴上表示的大致位置是 B 点.

故选 B. 【点评】本题考查的是实数与数轴,熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键.

15.若

=x,则 x 的值有(



A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】立方根. 【分析】利用立方根的定义求解即可. 【解答】解:因为 =x,

可得:x=1 或 0, 则 x 的值有 2 个. 故选 C. 【点评】此题主要考查了立方根的定义.解题关键是注意一个数的立方根有 1 个. 16.下列说法:①任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示;②无限小数都是无理数;③无 理数和无理数相加还是无理数;④带根号的数都是无理数,其中不正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】无理数. 【分析】根据无理数的三种形式求解.

12

【解答】解:①任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示,该说法正确; ②无限不循环小数都是无理数,故原说法错误; ③无理数和无理数相加不一定是无理数,故原说法错误; ④开方开不尽的数都是无理数,故原说法错误; 错误的有 3 个. 故选 C. 【点评】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:①开方开不尽的数, ②无限不循环小数,③含有 π 的数. 二、仔细填一填(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案写在题中横线上) 17.先化简分式 ,再从不等式﹣1≤x≤0 中选择一个整数代入,则原分式是

的值为 2 . 【考点】分式的化简求值. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选取合适的 x 的值代入进行计算即可.

【解答】解:原式=

÷

=

?

=



当 x=﹣ 时,原式=

=2.

故答案为:2. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 18.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DF∥AB,D,E,M 分别为 AC,AB,BE 的中点,连接 DM,以 DM 为 边作△DMN,连接 FN,且 DM=DN.若∠B=∠C=∠MDN=60°,AB=6,则 FN 的长度为 .

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质. 【专题】计算题;图形的全等. 【分析】由 ED 为三角形 ABC 中位线,得到 ED 与 BC 平行,由 DF 与 AB 平行且 D 为 AC 中点,得到 F 为 BC 中点,即 DF 为三角形 ABC 中位线,再由题意得到三角形 ABC 为等边三角形,继而得到 DE=DF,

13

利用等式的性质得到一对角相等,利用 SAS 得到三角形 DEM 与三角形 DFN 全等,利用全等三角形对 应边相等得到 FN=EM,求出 EM 的长即为 FN 的长. 【解答】解:∵ED 为△ABC 中位线, ∴ED∥BC,ED= BC, ∵DF∥AB,D 为 AC 中点, ∴F 为 BC 中点,即 DF 为△ABC 中位线, ∴DF= AB, ∵∠B=∠C=∠MDN=60°, ∴△ABC 为等边三角形,∠MDF+∠FDN=60°, ∴AB=BC=6,即 DE=DF=3, ∵M 为 EB 中点, ∴EM= EB= , ∵∠EDM+∠MDF=∠AED=∠B=60°, ∴∠FDN=∠EDM, 在△DEM 和△DFN 中,

, ∴△DEM≌△DFN(SAS) , ∴FN=EM= . 故答案为: 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的 判定与性质是解本题的关键.

19.

的绝对值是



,相反数是



,倒数是 ﹣





【考点】实数的性质. 【分析】分别根据绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义进行解答即可. 【解答】解: 相反数是 ﹣ , 的绝对值是 ﹣ ,

倒数是 故答案为:

= ﹣ , ﹣ ,﹣ ﹣ .

=﹣





【点评】本题考查的是实数的性质,熟知绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义是解答此题的

14

关键.

20.比较大小:6﹣



. (填“>”“<”或“=”) .

【考点】实数大小比较. 【分析】先将 【解答】解: 6﹣ ∵2 ∴6 ∴6﹣3 ∴6﹣ ﹣2 , . >0. . 化为最简形式,然后利用作差法比较大小即可. =2 , .

=6﹣3

故答案为:>. 【点评】本题主要考查的是比较实数的大小,掌握比较实数大小的方法是解题的关键. 三、利用所学知识解决以下问题. (本大题共 6 个小题,共 66 分,解答应学出文字说明、证明过程) 21.按要求完成下列各小题

(1)计算:

(2)解方程:

=1.

【考点】分式的混合运算;解分式方程. 【分析】 (1)先通分计算减法,再分解因式约分算除法; (2)利用解分式方程的步骤与方法求得方程的解即可.

【解答】解: (1)原式=

÷

=

?

=﹣



15

(2)

=1,

方程两边同乘(x+2) (x﹣2)得 2 (x﹣2) ﹣16=(x+2) (x﹣2) ﹣4x=8 解得:x=﹣2, 检验:当 x=﹣2 时, (x+2) (x﹣2)=0, 所以原分式方程无解. 【点评】此题考查分式的混合运算,解分式方程,掌握运算顺序与化简的方法以及解分式方程的步 骤与方法是解决问题的关键. 22.王林在《数学报》上看见一道作图题,请你帮他完成. 如图,B,C 分别为射线 BA,CD 的端点,连接 BC,按要求完成下列各小题. (保留作图痕迹,不要 求写作法,标明各顶点字母) (1)在 BC 的右侧,作∠BCE=∠BCD,交射线 BA 于点 E; (2)在(1)的条件下,求作△CBF(点 F 在∠BCD 内) ,使得△BCE≌△CBF.

【考点】全等三角形的判定. 【分析】 (1)根据作一个角等于已知角的画图方法做出即可; (2)分别以 B、C 为圆心,以 CE、BE 为半径作弧,两弧交于 F,连接 BF、CF 即可.

【解答】解: (1)如图所示:



(2)如图所示: . 【点评】本题考查了角的作法,全等三角形的判定的应用,能正确根据全等三角形的判定定理进行 画图是解此题的关键,培养了学生的动手操作能力.

16

23.请根据如图所示的对话内容回答下列问题.

(1)求该魔方的棱长; (2)求该长方体纸盒的长. 【考点】立方根;算术平方根. 【分析】 (1)根据立方根,即可解答; (2)根据平方根,即可解答; 【解答】解: (1)设魔方的棱长为 xcm, 3 可得:x =216, 解得:x=6. 答:该魔方的棱长 6cm. (2)设该长方体纸盒的长为 ycm, 2 6y =600, 2 y =100, y=10. 答:该长方体纸盒的长为 10cm. 【点评】本题考查了平方根、立方根,解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义. 24.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=50°,D 为△ABC 内一点,连接 BD,CD,E 为△ABC 外一点,连 接 CE,DE,已知 BD=CD,E=AB,CD 平分∠ECA. (1)试判断点 D 是否在∠A 的平分线上,并说明理由; (2)求∠E 的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)点 D 在∠A 的平分线上,连接 AD,证明△ABD≌△ACD,即可解答; (2)证明△ECD≌△ACD,即可解答. 【解答】解: (1)点 D 在∠A 的平分线上. 如图,连接 AD,

17

在△ABD 和△ACD 中,

∴△ABD≌△ACD(SSS) , ∴∠BAD=∠CAD, ∴点 D 在∠A 的平分线上. (2)∵点 D 在∠A 的平分线上. ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=25°, ∵CE=AB,AB=AC, ∴CE=AC, ∵CD 平分∠ECA, ∴∠ECD=∠ACD, 在△ECD 和△ACD 中,

∴△ECD≌△ACD, ∴∠E=∠CAD=25°. 【点评】本题考查了全等三角形的性质与定理,解决本题的关键是证明三角形全等. 25.2014 年 12 月 25 日,石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开, 该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书,从投标书中得知如图所示的信息. (1)求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天? (2)已知甲施工单位每天的施工费为 18.3 万元,乙施工单位每天的施费为 15.6 万元.根据实际情 况,该工程由甲、乙两个施工单位共同完成,需要预算约多少万元?(不足一天按一天算)

【考点】分式方程的应用. 【分析】 (1) 首先设乙施工单位单独完成这项工程需要 x 天, 则甲施工单位单独完成这项工程需要 x 天, 根据题意可得等量关系: 甲 10 天的工作量+甲乙合作 50 天的工作量=1, 根据等量关系列出方程, 再解即可; (2)首先计算出甲乙合作需要的天数,再利用两对合作每天的费用×时间可得答案. 【解答】解: (1)设乙施工单位单独完成这项工程需要 x 天,由题意得:

+(

+ )×50=1,

解得:x=125, 经检验:x=125 是分式方程的解,

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×125=100(天) . 答:乙施工单位单独完成这项工程需要 125 天,甲施工单位单独完成这项工程需要 100 天;

(2)1÷( + )= ≈56(天) , 费用: (18.3+15.6)×56=1898.4(元) . 答:需要预算约 1898.4 万元. 【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方 程.注意不要忘记检验. 26.问题背景: (1)如图 1:在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F 分别是 BC,CD 上的 点.且∠EAF=60°.探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延 长 FD 到点 G.使 DG=BE.连结 AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的 结论应是 EF=BE+DF . 探索延伸: (2) 如图 2, 若在四边形 ABCD 中, AB=AD, ∠B+∠D=180°. E, F 分别是 BC, CD 上的点, 且∠EAF= ∠BAD, 上述结论是否仍然成立,并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)延长 FD 到点 G.使 DG=BE.连结 AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得 AE=AG,再证明 △AEF≌△AGF,可得 EF=FG,即可解题; (2) 延长 FD 到点 G. 使 DG=BE. 连结 AG, 即可证明△ABE≌△ADG, 可得 AE=AG, 再证明△AEF≌△AGF, 可得 EF=FG,即可解题. 【解答】证明: (1)在△ABE 和△ADG 中,

, ∴△ABE≌△ADG(SAS) , ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠EAF= ∠BAD, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF,

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在△AEF 和△GAF 中,

, ∴△AEF≌△AGF(SAS) , ∴EF=FG, ∵FG=DG+DF=BE+DF, ∴EF=BE+DF; 故答案为 EF=BE+DF. (2)结论 EF=BE+DF 仍然成立; 理由:延长 FD 到点 G.使 DG=BE.连结 AG, 在△ABE 和△ADG 中,

, ∴△ABE≌△ADG(SAS) , ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠EAF= ∠BAD, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF, 在△AEF 和△GAF 中,

, ∴△AEF≌△AGF(SAS) , ∴EF=FG, ∵FG=DG+DF=BE+DF, ∴EF=BE+DF; 【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证 △AEF≌△AGF 是解题的关键.

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