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4.6正、余弦定理及其应用举例(作业)



限时作业 22 正、余弦定理及其应用举例 一、选择题 1.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c.若 a=c=+,且 A=75°,则 b 等于( ).

A.2

B.4+2

C.4-2 D.2.(2011 安徽蚌埠模拟)△ABC 中,角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,b,c, 若=,则△ABC 一定是( A.等腰三角形 ).

B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角 B 的值为( A. B. C.或 D.或 4.(2011 重庆高考,文 8)若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( A. B. C. D. 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边边长分别是 a,b,c.若 a2-b2=bc,sin C=2sin B,则 A=( A.30° B.60° ). C.120° D.150° ). ).

6.(2011 江苏扬州模拟)如图,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β ,α (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于( A. B. C. D. 二、填空题 ).

7.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在 观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 .

8.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15°的看台 的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰 角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 5 米(如图所示), 旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒,升旗手应 以 米/秒的速度匀速升旗.

9.(2011 河南郑州模拟)在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶ 5∶6,给出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC 一定是钝角三角形; ③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;④若 b+c=8,则△ABC 的面积为. 其中正确结论的序号是 三、解答题 10.(2011 福建泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向 相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同 时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里的 C 处的乙船. .

(1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与成θ 角,求 f(x)=sin2θ sin x+cos2θ cos x(x∈R)的值域.

11.在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边,锐角 B 满足 sin B=. (1)求 sin 2B+cos2 的值; (2)若 b=,当 ac 取最大值时,求 cos 的值.

12.(2011 辽宁高考,文 17)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin A sin B+bcos2 A=a.

(1)求; (2)若 c2=b2+a2,求 B.

一、选择题 1.A 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 解析:在△ADC 中,由正弦定理得=,所以 AC==, 在 Rt△ABC 中,AB=ACsin β =.故选 A. 二、填空题 7.a km 8.0.3 9.②③ 解析:由条件可设∴故①不正确;由余弦定理可得 cos A=-,A=120°,故②正确; 由正弦定理得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3,故③正 确;当 b+c=4k=8 时, 则 k=2,故三角形三边分别为 7,5,3,所以 S△ABC=bcsin A=×5×3 ×sin 120°=,故④不正确. 三、解答题

10.解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120°=700. ∴BC=10,即所求距离为 10 海里.

(2)∵=,∴sin θ =, ∵θ 是锐角,∴cos θ =, f(x)=sin2θ sin x+cos2θ cos x=sin x+cos x=sin, ∴f(x)的值域为. 11.解:(1)∵锐角 B 满足 sin B=, ∴cos B=, ∵sin 2B+cos2=2sin B·cos B+=2sin Bcos B+=2××+=. (2)∵cos B==, ∴ac=a2+c2-2≥2ac-2 ∴ac≤3,当且仅当 a=c=时等号成立. ∴ac 取到最大值时,cos A====. ∴sin A===. ∴cos=cos Acos-sin Asin =×-×=. 12.解:(1)由正弦定理得,sin2 Asin B+sin Bcos2 A=sin A,即 sin B(sin2 A+cos2 A)=sin A. 故 sin B=sin A,所以=. (2)由余弦定理和 c2=b2+a2,得 cos B=.

由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+)a2. 可得 cos2 B=,又 cos B>0,故 cos B=,所以 B=45°.



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