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高考数学导数的应用典型错误解析


导数的应用典型错误解析
导数作为一种工具, 在解决数学问题时极为方便,尤其是利用导数求函数的单调 性、极植、最值、和切线的方程,但是笔者在教学过程中,发现导数的应用还存 在许多误区。 一、导数的定义理解不清

例 1. 已知函数 错解:因为

,求

剖析:错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清,导数

函数在某一点 处的导数,就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量 的比值在自变量的增量趋近于零时的极限,分子分母中的自变量的增量△x 必须 保持对应一致,它是非零的变量,它可以是 , 等。

二、 例 2. 函数 错解:

为极值的充要条件理解不清 在 ,由题意知 处有极值 10,求 a、b 的值。

,且 即 解之得 ,且 或 为极值的必要条件当作了充要条件,

剖析:错误的主要原因是把 为极值的充要条件是 且 当

附近两侧的符号相反,所以后面应该加上: 时



附近两侧的符号相反,

当 在 所以 ∴(

时, 附近两侧的符号相同, 舍去。 时, 的图象见下面左图, 时, 的图象见下面右图。)

三、函数的单调区间不完善 例 3. 求函数 的单调增区间。

错解:由题意得

又因为函数的定义域是 所以函数的单调递增区间是(0,1)和(1, 剖析:错解错在对函数在 (或 )。 处是连续

处是否连续没有研究,显然函数在

的,所以函数的单调递增区间是

。 (函数的图象见下图)对于

) 的解集中的断开点的连续性, 我们要进行研究, 不能草率下结论。

四、函数单调的充要条件理解不清

例 4. 已知函数



内单调递减,求实数 a 的取值范围。

错解: 内恒成立

,由函数



内单调递减知







内恒成立

因此

剖析:错误的主要原因是由于对函数 件是 当 时 (或 在 )且

在 D 上单调递增(或递减)的充要条 在 D 任一子区间上不恒为零没有理解。而

恒成立,所以不符合题意,舍去。

五、求函数的最值没有考虑函数的不可导点。 例 5. 求 在 上的最大值和最小值。

错解:由题意得 令 得

∴当 当

和 3 时,函数的最大值是 时,函数的最小值是 1

剖析: 错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察,因为函数 的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。所以后面应该加 上:在定义域内不可导的点为:

∴当 当 函数

和 3 时,函数的最大值是 或 2 时,函数的最小值是 0 的图象如图

六、求函数的极值没有考虑函数的不可导点

例 6. 求



上的极值。

错解:由题意得 令 当 ∴ ,得 时, 在 附近两侧的符号相反,左正右负

,是函数的极大值点。

剖析: 错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察,因为函数 的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。所以后面还应该加上:在 定义域内不可导的点为: 经计算, 在 和 在 附近两侧的符号相反,左负右正

附近两侧的符号相反,左负右正 是函数的两个极小值点

∴函数的极大值为 极小值为 (函数的图象见上图)


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