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对数和对数函数练习



对数与对数函数 一、选择题: 1.

log8 9 的值是( log 2 3
2



A.

2 3

B. 1

C.

3 2

D. 2 )

2.若 log2 [log 1 (lo

g2 x)] = log 3 [log 1 (log3 y)] = log 5 [log 1 (log5 z )]=0,则 x、y、z 的大小关系是( A . z< x< y B . x< y< z C . y< z< x
3

D . z< y< x )A.

5

3.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于(

3 2

B.

5 4

C.0

D.

1 2
D.

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 2a + b 等于( )A. 1+ a + b lg 15
x 的值为 ( y

B.

a + 2b 2a + b C. 1+ a + b 1? a + b
D. 4 或

a + 2b 1? a + b

5.已知 2 lg(x-2y)=lgx+lgy,则

) A. 1

B. 4

C. 1 或 4

6.函数 y= log 1 (2 x ? 1) 的定义域为(
2

) A. (

1 ,+∞) 2

B. [1,+∞ ) )

C. (

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1)

7.已知函数 y=log 1 (ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是(
2

A. a > 1 B . 0≤ a< 1 C . 0< a< 1 x e 5 8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于( )A.e B.5
?1 9.若 f ( x) = loga x(a > 0且a ≠ 1), 且f (2) < 1, 则f ( x) 的图像是(

D . 0≤ a≤ 1 C.ln5 D.log5e )
y

y O x O

y x O

y x O

x

A

B

C

D )

10.若 y = ? log 2 ( x 2 ? ax ? a) 在区间 (?∞,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是( A. [2 ? 2 3, 2] B. ?? 2 ? 2 3, 2

??

)

C. 2 ? 2 3, 2 ??

(

??

D. 2 ? 2 3, 2 )

(

)

11.设集合 A = {x | x 2 ? 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0 |}, 则A ∩ B 等于( A. {x | x > 1} 12.函数 y = ln B. {x | x > 0} C. {x | x < ?1}

D. {x | x < ?1或x > 1} ()

x +1 , x ∈ (1,+∞) 的反函数为 x ?1

A

y=

ex ?1 ex +1 ex ?1 ex +1 , x ∈ ( 0 , + ∞ ) y = , x ∈ ( 0 , + ∞ ) y = , x ∈ ( ?∞ , 0 ) y = , x ∈ (?∞,0) B. C . D . ex +1 ex ?1 ex +1 ex ?1

二、填空题: 13.计算:log2.56.25+lg

1 1+log2 3 +ln e + 2 = 100




14.函数 y=log4(x-1)2(x<1=的反函数为 15.已知 m>1,试比较(lgm)0.9 与(lgm)0.8 的大小

. .

16.函数 y =(log 1 x)2-log 1 x2+5 在 2≤x≤4 时的值域为
4 4

三、解答题: 17.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

18.已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

19.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值,并求此时 f(x)的最小值?

21.已知函数 f(x)=loga(a-ax)且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明 函数图象关于 y=x 对称。

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a+1、a+2,其中 a≥1,求 △ABC 面积的最大值.

参考答案 一、选择题: ADBCB
二、填空题:13. 三、解答题:

CDCBA AB

25 13 ≤ y≤8 ,14.y=1-2x(x∈R), 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8,16. 2 4
2 a

17.解析:先求函数定义域:由 2-ax>0,得 ax<2,又 a 是对数的底数,∴a>0 且 a≠1,∴x<

由递减区间[0,1]应在定义域内可得

2 >1,∴a<2,又 2-ax 在 x∈[0,1]是减函数 a

∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1,∴1<a<2 18、解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立.当 a2-1≠0 时,其充要条件是:
2 ?? 5 ??a ? 1 > 0 解得 a<-1 或 a> 又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. ?? 2 2 3, ?? ??Δ = (a + 1) ? 4(a ? 1) < 0

所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3 a =10,a=10b. b

19、解析:由 f(-1)=-2 ,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1,∴

又由 x∈R,f(x)≥2x 恒成立.知:x2+(lga+2)x+lgb≥2x,即 x2+xlga+lgb≥0,对 x∈R 恒成立, 由 Δ=lg2a-4lgb≤0,整理得(1+lgb)2-4lgb≤0,即(lgb-1)2≤0,只有 lgb=1,不等式成立. 即 b=10,∴a=100.∴f(x)=x2+4x+1=(2+x)2-3,当 x=-2 时,f(x) min=-3. 21.解析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1∵a>1,∴ a
x2

> a x1 ,于是 a- a x2 <a- a x1

则 loga(a-a a x2 )<loga(a- a x1 ) 即 f ( x 2) < f ( x 1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 (3)证明:令 y=loga(a-ax)(x<1),则 a-ax=ay,x=loga(a-ay) - ∴f 1(x)=loga(a-ax)(x<1) 故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-ax)(x<1=图象关于 y=x 对称. 22.解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a+2,log2(a+2)),则△ABC 的 面积 S=

[log2 a + log 2 (a + 1)] [log2 (a + 1) + log 2 (a + 2)] + ? [log2 a + log 2 (a + 2)] 2 2

(a + 1) 2 1 a(a + 2)(a + 1) 2 1 = log 2 = log 2 2 a(a + 2) 2 [a(a + 2)]2
1 1 a 2 + 2a + 1 1 = log 2 (1 + 2 ) = log 2 2 2 a + 2a 2 a + 2a
因为 a ≥ 1 ,所以 S max =

1 1 1 4 log 2 (1 + ) = log 2 2 3 2 3



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