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09,10,11,12年北京高考圆锥曲线题选(文


09,10,11,12 年北京高考圆锥曲线题选(文
(2012 北京文) (19).(本小题共 14 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 + =1(a>b>0)的一个顶点为 a2 b2

A (2,0) ,离心率为

2 , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3
x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 3

(2011 北京文) (本小题共 14 分) 19. 已知椭圆 G :

右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三 角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积. (2010 北京文) (19) (本小题共 14 分)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) ,

( 2,0) ,离心率是
P,圆心为 P。

6 ,直线 3

椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 变化时,求 y 的最大值。

解: (Ⅰ)因为

c 6 ? ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 a 3

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 3
(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 2 由 ? x2 得 x ? ? 3(1 ? t ) 2 ? ? y ?1 ?3
2 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t )

解得 t ? ?

3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q( x, y ) 在 圆 P 上。所以

y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )
设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
2

?
6

)

当? ?

?
3

,即 t ?

1 ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2

(2009 北京文)19. (本小题共 14 分)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

3 ,右准线方程为 x ?

3 。 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x 2 ? y 2 ? 5 上,求 m 的值
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? ?c ? 3 ?a ?
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 由 ? 2 y2 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), ?1 ?x ? ? 2

∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2


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