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弧度制



1.角的概念的推广
⑴“旋转”形成角

复习引入

B O

α

A

一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方 向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫 做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端 点O叫做角α的顶点.

>
⑵.“正角”与“负角”、“0角”(课件)

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按 顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边 的角: α=210°,β=-150°,γ=660°,
2100

6600

-1500

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为 这时形成了一个角,并把这个角叫做零角.

?
?

度量角的大小第一种单位制—角度制的定义:
初中几何中研究过角的度量,当时是用度做单位

来度量角,1°的角是如何定义的?
?

规定周角的

1 360

作为1°的角,我们把用度做单
n?r l? 180

位来度量角的制度叫做角度制,有了它,可以计 算弧长,公式为

?

3.探究: α,l,r之间具有怎样的关系呢?
P r O α l

1.1.2 弧度

1. 定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为

1弧度的角它的单位是rad 读作弧度,这种用“弧度”做
单位来度量角的制度叫做弧度制. 如下图,依次是1rad , 2rad , 3rad ,αrad
2r

r
1rad

r r

2rad

r

3r
3rad

l
? rad

r

r

探究:

⑴平角、周角的弧度数,(平角=? rad,周角=2? rad)
⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的 弧度数是0.

⑶角?的弧度数的绝对值

? ?

l r

(l为弧长,r为半径).

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位进制 不同,就像度量长度一样有不同的方法,千米、米、厘 米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同 的观察、处理方法,因此结果就有所不同. ⑸用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相 同(都是0)用角度制和弧度制来度量任一非零角,单 位不同,量数也不同.

角度制与弧度制的换算: ∵ 360?=2? rad ∴ 1?= ∴180?=? rad

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?

例1 把下列弧度数化为角度数:

3 ⑴ ?rad ; 5
⑴ 252° ; 例3 用弧度制表示:

⑵ 3.5 rad

例2 把下列角度数化为弧度数: ⑵ 11°15′

1 终边在轴上的角的集合 2 终边在轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合

注意几点:

1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行;
2.今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号

“rad”可以省略 如:3表示3rad
3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住:
角度 弧度 角度 0° 0 210° 30° π/6 225° 45° π/4 240° 60° π/3 270° 90° π/2 300° 120° 2π/3 315° 135° 3π/4 330° 150° 5π/6 360° 180° π

弧度

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6



4.应确立如下的概念:角的概念推广之 后,无论用角度制还是弧度制都能在角 的集合与实数的集合之间建立一种一一

对应的关系
正角 零角 负角
正实数 零 负实数

任意角的集合

实数集R

1.弧长公式:

l ?r??
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的 绝对值与半径的积. 2.扇形面积公式:

1 S ? lR 2
其中是扇形弧长,是圆的半径.

例4.求图中公路弯道处弧AB的长(精
确到1m)图中长度单位为:m

例5. 已知扇形的周长是6cm,该扇形的中 心角是1弧度,求该扇形的面积. 例6. 将下列各角化成0到2∏的角加上的形式: ⑴

19 ? 3



? 315

?

课堂练习:
1.下列各对角中终边相同的角是( A.
?
2 和?

)
?
3 和 22? 3

?
2

? 2k?

(k∈Z)

B.

?

C. ? 7? 和 11?
9 9

D.

20? 122? 和 3 9

2.若α=-3,则角α的终边在(

)

A.第一象限
C.第三象限 A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限
D.第四象限 ) B.第二象限 D.第四象限
.

3.若α是第四象限角,则π-α一定在(

5. ?为第四象限角,则2 ?在

课堂练习: 4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 一或第三象限角的集合为 来的2倍,则( ) .

,第

5.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原 A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
6.时钟经过一小时,时针转过了( ) A. ? B. ? ? C. ? D. 12 6 6

? ? 12

课堂小结:
1、定义: 弧度制定义、角度制与弧度制的互化

2、公式:
用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式 3、记住一些特殊角的度数与弧度数的对应值:
角度 弧度 角度 0° 0 210° 30° π/6 225° 45° π/4 240° 60° π/3 270° 90° π/2 300° 120° 2π/3 315° 135° 3π/4 330° 150° 5π/6 360° 180° π

弧度

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6



作业:
1、[感受· 理解] 课本第10页3,6,7,9 2、[思考· 运用] 课本第11页10

3、课课练第二课时



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